魯津定理中mE=∞情形時(shí)的新證法

秦喜梅

(巢湖學(xué)院數(shù)學(xué)系,安徽巢湖238000)

眾所周知,“數(shù)學(xué)分析”考察的主要對象是定義在區(qū)間或區(qū)域上的連續(xù)函數(shù),而每一個(gè)可測集上的連續(xù)函數(shù)必定是L可測函數(shù). 反之,L可測函數(shù)未必是連續(xù)函數(shù),[0,1]上的Dirichlet函數(shù)就是一個(gè)反例.這說明“實(shí)變函數(shù)”則把研究對象擴(kuò)大到可測集上的可測函數(shù),同時(shí)運(yùn)用集合關(guān)系的分析方法來處理函數(shù)或函數(shù)列的性質(zhì).

英國分析學(xué)派的重要建立者Littlewood(1885-1977)提出過經(jīng)典的實(shí)變函數(shù)的以下三條原理:

① 任一可測集差不多就是開集(至多可數(shù)個(gè)開區(qū)間的并);

② 任一可測函數(shù)差不多就是連續(xù)函數(shù);

③ 任一逐點(diǎn)收斂的可測函數(shù)差不多就是一致收斂的.

魯津定理就是對這其中的第二條原理的精辟詮釋.魯津定理揭示了可測函數(shù)與連續(xù)函數(shù)的關(guān)系,更進(jìn)一步剖析了可測函數(shù)的結(jié)構(gòu),這樣就可以把關(guān)于可測函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為連續(xù)函數(shù)的問題,使得問題的討論的方法和角度多樣化.

2 主要結(jié)論

下面的引理是必要的.

引理如果集合E可測,則?ε>0,?閉集F,使得F?E,且m(EF)<ε.

在程其襄教授等編的《實(shí)變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)》(第二版第88頁)一書中,魯津定理敘述如下:

設(shè)f(x)是E上a.e.有限的可測函數(shù),則對任意δ>0,存在閉子集Fδ?E,使f(x)在Fδ上是連續(xù)函數(shù),且m(EFδ)<δ.

其證明從特殊到一般分成三種情況來討論:

(i)f(x)是E上的簡單函數(shù)；

(ii) mE<∞的情形；

(iii) mE=∞的情形.

下面給出mE=∞時(shí)的另外一種證法:

(1)

而

(2)

由式(1)和(2)式知

有

|f(x)-f(x0)|<ε.

?x∈Fi0∩U(x0,δ0),

有

|f(x)-f(x0)|<ε.

由于x0∈Fi0,Fi互不相交,且Fi0+1與Fi0-1是閉集,故

d(x0,Fi0-1)>0,d(x0,Fi0+1)>0.

根據(jù)Ei的特點(diǎn):

d(x0,Fi)>d(x0,Fi0-1),i=1,2,…,i0-2,

d(x0,Fj)>d(x0,Fi0+1),i=i0+2,i0+3,….

有

|f(x)-f(x0)|<ε.

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1] 夏道行,吳卓人,嚴(yán)紹宗,舒五昌. 實(shí)變函數(shù)論與泛函分析[M]. 北京: 高等教育出版社,1984.

[2] 嚴(yán)紹宗,童裕孫. 實(shí)變函數(shù)論與泛函分析 [M]. 北京: 經(jīng)濟(jì)科學(xué)出版社,1992.

[3] 鄭維行,王聲望. 實(shí)變函數(shù)與泛函分析概要[M]. 北京: 人民教育出版社,1980.

[4] 程其襄,張奠宙,魏國強(qiáng),胡善文,王漱石. 實(shí)變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)[M]. 2版. 北京: 高等教育出版社,2009.

[5] 周民強(qiáng). 實(shí)變函數(shù)論[M]. 北京: 北京大學(xué)出版社,2004.