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    有趣的自然對(duì)數(shù)

    2014-09-21 07:25:32周繼振
    大學(xué)數(shù)學(xué) 2014年2期
    關(guān)鍵詞:素?cái)?shù)指數(shù)函數(shù)正整數(shù)

    周繼振, 許 峰

    (安徽理工大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系,安徽淮南232001)

    1 對(duì)數(shù)的歷史和自然對(duì)數(shù)

    現(xiàn)在的高中數(shù)學(xué)教課書,都是先介紹指數(shù)函數(shù),然后以指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)形式來介紹對(duì)數(shù)函數(shù). 但歷史的次序恰好相反,那就是先出現(xiàn)對(duì)數(shù)函數(shù),然后以對(duì)數(shù)函數(shù)反函數(shù)的形式研究指數(shù)函數(shù). 其中,自然對(duì)數(shù)的出現(xiàn),與數(shù)學(xué)分析的發(fā)展密不可分.

    對(duì)數(shù)函數(shù)的基本思想萌芽于古希臘阿基米德時(shí)代,產(chǎn)生于16世紀(jì),完善于18世紀(jì). 15和16世紀(jì)天文學(xué)的飛速發(fā)展需要對(duì)很多的數(shù)據(jù)進(jìn)行乘、除、乘方和開方運(yùn)算,繁難的運(yùn)算使得科學(xué)家迫切需要找到一種簡(jiǎn)便的計(jì)算方法,對(duì)數(shù)的出現(xiàn)有了歷史的需要. 第一個(gè)對(duì)對(duì)數(shù)的產(chǎn)生做出了實(shí)質(zhì)性貢獻(xiàn)的是德國(guó)數(shù)學(xué)家史蒂非,他的發(fā)現(xiàn)為對(duì)數(shù)的產(chǎn)生奠定了基礎(chǔ). 1617年,英國(guó)天文愛好者兼數(shù)學(xué)家納皮爾出版了《奇妙的對(duì)數(shù)定理的說明書》, 標(biāo)志著對(duì)數(shù)理論的產(chǎn)生. 與納皮爾幾乎同時(shí)獨(dú)立發(fā)現(xiàn)對(duì)數(shù)的還有瑞士的一個(gè)鐘表匠比爾吉,他用了8年時(shí)間編出了世界上最早的對(duì)數(shù)表,但他長(zhǎng)期不發(fā)表它. 直到1620年,在開普勒的懇求下才發(fā)表出來,這時(shí)納皮爾的對(duì)數(shù)已聞名全歐洲了.

    大名鼎鼎的牛頓后來也研究過對(duì)數(shù). 現(xiàn)在的對(duì)數(shù)記號(hào)是大數(shù)學(xué)家歐拉在1748年引入的,他首先開始了對(duì)指數(shù)函數(shù)做深入的研究. 復(fù)變函數(shù)的建立,使得人們對(duì)對(duì)數(shù)有了徹底的了解.

    設(shè)a,x>0,以a為底的x對(duì)數(shù)函數(shù)可表示為logax.自然對(duì)數(shù)就是底a取e,其中e是一個(gè)超越無理數(shù),約為2.71828. e可以通過對(duì)數(shù)列取極限得到,即

    自然對(duì)數(shù)有一個(gè)專用記號(hào):ln,其中l(wèi)和n分別是log和natural的第一個(gè)字母.

    2 自然對(duì)數(shù)與積分

    積分的幾何意義告訴我們,由曲線y=1/x,x=1,x=x>0和x軸所圍成的圖形面積可以用積分

    (1)

    來表示. 顯然(1)是一個(gè)變上限函數(shù),1/x的原函數(shù)是自然對(duì)數(shù)函數(shù). 為什么(1)式就是一個(gè)自然對(duì)數(shù)呢,我們需要證明它滿足對(duì)數(shù)的主要性質(zhì):

    F(a)+Fb=Fab.

    (2)

    下面來證明(2)式是成立的.

    根據(jù)變上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式可以得到

    (3)

    下面令a>0,記w=f(x)=ax,記G(x)=F(ax)=F(w). 運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的復(fù)合求導(dǎo)法則可得G′(x)=F′(w)f′(x),考慮到(3)式和f′(x)=a可得

    這就證明了F(x)和G(x)有相同的導(dǎo)數(shù). 根據(jù)拉格朗日中值定理可得F(x)和G(x)之間僅相差一個(gè)常數(shù)C,即

    G(x)=F(x)+C.

    為了求出常數(shù)C,只要令x=1. 由定義(1),可得F(1)=0,這是因?yàn)樗x的積分在x=1處上、下限相等. 故得到C=F(a). 所以對(duì)任何的x>0,可得

    F(ax)=F(a)+F(x).

    (4)

    再次令x=b,可得到公式(2).

    特別地,令a=x,可依次得到

    lnx2=2lnx,

    lnx3=3lnx,

    ……

    lnxn=nlnx.

    上式說明,當(dāng)x的值遞增時(shí),lnx的值趨于無窮. 另一方面,注意到對(duì)任意的x,有

    由此可得公式

    (5)

    最后,對(duì)任何的有理數(shù)r=p/q,這里p,q是兩個(gè)互質(zhì)的整數(shù),容易得到

    qlnxr=lnxq r=lnxp=plnx.

    這就給出了

    lnxr=rlnx.

    (6)

    注意到無理數(shù)可以用一列有理數(shù)來逼近且lnx是連續(xù)函數(shù),故對(duì)任意的實(shí)數(shù)r,(6)式都是成立的.

    顯然,ln1=0. 因?yàn)閘nx是x的單調(diào)連續(xù)函數(shù),當(dāng)x增大時(shí)lnx趨于無窮. 根據(jù)連續(xù)函數(shù)的介質(zhì)定理,必然存在一個(gè)大于1的數(shù),使得當(dāng)x取此值時(shí)lnx=1. 按照歐拉的作法,這個(gè)數(shù)稱為e. 這樣從方程

    ln e=1

    (7)

    出發(fā),我們得到了e必然存在這一事實(shí).

    3 自然對(duì)數(shù)與素?cái)?shù)分布

    數(shù)論一直是數(shù)學(xué)的核心研究?jī)?nèi)容之一,高斯稱數(shù)論是數(shù)學(xué)的皇后,數(shù)論中最基本、最重要的一類問題是素?cái)?shù)問題. 若大于1的正整數(shù)p,它除了1和自身外沒有因子,則稱p是素?cái)?shù). 我們需要對(duì)因子作一點(diǎn)說明,設(shè)有三個(gè)正整數(shù)a,b和c,若滿足a=bc,則稱整數(shù)b是整數(shù)a的因子或除數(shù). 例如2,3,5,7是素?cái)?shù),但6就不是素?cái)?shù),因?yàn)?有2和3兩個(gè)因子. 關(guān)于素?cái)?shù)的猜想中,最著名的莫過于哥德巴赫猜想,該猜想的內(nèi)容是大于2的任意一個(gè)偶數(shù)都可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)之和. 簡(jiǎn)單的可以將哥德巴赫猜想陳述為1+1=2,該猜想的最好結(jié)果是有中國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)證明的1+2=3,就是說:每一個(gè)充分大的偶數(shù)是一個(gè)素?cái)?shù)和另一個(gè)至多為2素?cái)?shù)乘積的和. 關(guān)于素?cái)?shù)的問題中,人們自然要問素?cái)?shù)有多少個(gè),歐幾里得給出的答案是:無窮多個(gè). 歐幾里得用的證明是數(shù)學(xué)推理的一個(gè)典范. 素?cái)?shù)盡管有無窮多個(gè),但是它的分布卻是極不規(guī)則的,見本節(jié)最后的一個(gè)結(jié)論. 對(duì)于自然數(shù)n,用An表示整數(shù)1,2,3,…,n中素?cái)?shù)的個(gè)數(shù). 直接計(jì)算可得An的前幾個(gè)值:A5=A6=3,A7=A8=A9=A10=4,A11=A12=5,A13=A14=A15=A16=6,A17=A18=7,A19=8等等.

    可以看到,隨著n的增大,An也是增大的,但增長(zhǎng)的比較緩慢. 若取n為一個(gè)無限遞增的序列,例如

    n=10, 102, 103,…,

    則其對(duì)應(yīng)的An的值A(chǔ)10,A102,A103,…,它也無限增加. 因?yàn)樗財(cái)?shù)的個(gè)數(shù)是無限的,所以An將趨向于無窮. 若用比值A(chǔ)n/n表示前n個(gè)自然數(shù)中素?cái)?shù)的“密度”,讓人意想不到的是該 “密度”和對(duì)數(shù)函數(shù)有密切的聯(lián)系. 數(shù)學(xué)王子高斯通過手工計(jì)算,發(fā)現(xiàn)了素?cái)?shù)定理,即

    (8)

    這個(gè)比值所服從的簡(jiǎn)單規(guī)律,是整個(gè)數(shù)學(xué)中最著名的發(fā)現(xiàn)之一. 但高斯沒有給出該定理的證明,直到一百多年后,阿達(dá)瑪和瓦萊·布桑才給出定理的一個(gè)完整證明. 由(8)式可以得到一個(gè)結(jié)論:對(duì)任意給定的正整數(shù)m,必存在一個(gè)自然數(shù)k0,使得k0+1,k0+2,…,k0+m中不含素?cái)?shù). 實(shí)際上,假設(shè)這樣的k0不存在,則對(duì)任意自然數(shù)k,k+1,k+2,…,k+m中都至少含有一個(gè)素?cái)?shù). 故對(duì)任意的整數(shù)j,1到j(luò)m中至少含有j個(gè)素?cái)?shù). 這就給出了估計(jì):

    所以,

    這與(8)式是矛盾的.

    4 自然對(duì)數(shù)與調(diào)和級(jí)數(shù)

    則當(dāng)n→∞時(shí),sn和lnn僅相差一個(gè)常數(shù),下面給出證明. 利用微積分的基本知識(shí)容易證明不等式

    (9)

    根據(jù)(9)式的右端不等式得

    由(9)式的左端不等式得

    由上面的兩個(gè)估計(jì)式得

    lnn+1

    根據(jù)微積分中的夾逼準(zhǔn)則可得

    [參 考 文 獻(xiàn)]

    [1] 柯朗 R,羅賓 H. 什么是數(shù)學(xué)[M].斯圖爾特·I修訂. 左平,張飴慈譯.上海:復(fù)旦大學(xué)出版社,2005:579-582.

    [2] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編,數(shù)學(xué)分析[M]. 4版. 北京:高等教育出版社,2010:3-4.

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