高等數(shù)學(xué)教學(xué)方法的研究與實踐

孫艷蕊

(東北大學(xué)理學(xué)院， 遼寧沈陽110819)

高等數(shù)學(xué)課是理、工、文、管、法諸學(xué)科重要的基礎(chǔ)課.它具有理論縝密，概念抽象，同時又具有應(yīng)用廣泛的特點.加之，高等數(shù)學(xué)的授課對象是一年級新生，對大學(xué)大量信息量的授課一時難以適應(yīng).這就給高等數(shù)學(xué)任課教師的授課提出了更高的要求.如果高等數(shù)學(xué)的教學(xué)過程只是概念、定理的講解和計算方法的推演，很容易使學(xué)生感到學(xué)習(xí)內(nèi)容枯燥.大堆的公式和繁瑣的理論推導(dǎo)也容易造成學(xué)生的懼怕心理.致使學(xué)生產(chǎn)生一定程度的心理障礙，因而不能主動、積極地去學(xué)習(xí).愛因斯坦曾經(jīng)說過:“教育應(yīng)該使提供的東西,讓學(xué)生作為一種寶貴的禮物來欣賞,而不是作為艱苦的任務(wù)來負擔(dān)”.因此，研究教學(xué)方法和教學(xué)手段，探討如何使課堂教學(xué)生動形象，如何使學(xué)生身心愉快地學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)是高等數(shù)學(xué)任課教師必須面對的課題.同時，為了適應(yīng)現(xiàn)代社會的需要，提高大學(xué)生的創(chuàng)新思維能力也成為高等數(shù)學(xué)任課教師義不容辭的責(zé)任.面對新形勢的要求，精心設(shè)計，反復(fù)總結(jié)歸納了以下幾點教法.在此寫出，與同行共同探討高等數(shù)學(xué)教學(xué)方法，以期提高教學(xué)水平.

1 從問題出發(fā)，激發(fā)學(xué)生的求知欲望

2 注重概念、理論的直觀化，減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)壓力

3 鼓勵學(xué)生大膽猜想，培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、分析問題的能力

從數(shù)學(xué)的發(fā)展過程可以看出，許多新的數(shù)學(xué)概念、定理、法則等的形成都經(jīng)歷了積累經(jīng)驗的過程，從大量觀察、猜想、計算……，歸納出其共性和本質(zhì)的東西.在教學(xué)中遵循數(shù)學(xué)的發(fā)展過程，注重啟發(fā)式教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察分析，歸納等發(fā)現(xiàn)問題，猜出結(jié)論，然后用嚴密的分析語言正確給出敘述，再進行嚴格的邏輯論證.例如，講解中值定理時，從幾何直觀引導(dǎo)學(xué)生給出Rolle中值定理，然后去掉端點函數(shù)值相等的條件，讓學(xué)生思考會有什么結(jié)論？大膽地寫出結(jié)論，再給出嚴格的敘述和證明，告訴學(xué)生這就是Lagrange中值定理；講解費爾馬定理、函數(shù)取極值的充分條件、曲線凹、凸的判斷時，畫出圖形，引導(dǎo)學(xué)生猜出條件和結(jié)論；講解常系數(shù)齊次線性微分方程的求解時，猜想它有指數(shù)函數(shù)形式的解，猜出二階常系數(shù)線性齊次微分方程通解的結(jié)構(gòu)及其求解法，進而歸納出n階常系數(shù)線性齊次微分方程通解的結(jié)構(gòu)及其求解法…….同時，鼓勵學(xué)生對已有的理論和方法提問，這樣既可以使學(xué)生能積極地、主動地去思考，充分調(diào)動學(xué)生的積極性，又可以教給學(xué)生研究問題的方法，培養(yǎng)學(xué)生研究問題的能力.為了實現(xiàn)素質(zhì)教育，我們不僅教會學(xué)生知識，更重要的是培養(yǎng)一種科學(xué)直覺的習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生研究問題的能力及創(chuàng)新精神.

4 結(jié)合身邊的實際問題，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

多數(shù)高等數(shù)學(xué)教材，都偏重于知識的傳授.學(xué)生既感受不到它的應(yīng)用性，也看不到它的發(fā)展前景，更預(yù)見不到數(shù)學(xué)訓(xùn)練對一個人素質(zhì)培養(yǎng)的作用.因此學(xué)生經(jīng)常問的一個問題就是“學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)有什么用？”學(xué)生缺乏學(xué)習(xí)的動力，缺少創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力，這顯然是不利于人才培養(yǎng)的.針對這一問題，在講課的過程中，盡量和實際問題結(jié)合起來，找一些身邊的例子來解決，讓學(xué)生感受到高等數(shù)學(xué)是一門應(yīng)用非常廣泛的課程，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.例如，在講函數(shù)概念時，讓學(xué)生討論外幣兌換中的損失問題；講完一元函數(shù)的連續(xù)性后，讓學(xué)生利用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)研究為什么在地面上椅子總能找到一個平衡位置放穩(wěn)；講函數(shù)極值問題時，讓學(xué)生解決核彈頭尺寸的設(shè)計問題、磁盤的存儲量問題及身邊的衣柜搬家問題等；講一元函數(shù)的微分時，讓學(xué)生研究100萬元錢存入銀行，銀行的年復(fù)利率按a%計，大約多少年后100萬元變?yōu)?00萬元；在講微分方程時，讓學(xué)生討論馬爾薩斯人口問題、治污問題等[1，5].這樣做既能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣又可以提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力.

興趣是最好的老師.學(xué)生對高等數(shù)學(xué)產(chǎn)生了學(xué)習(xí)的興趣，直接或間接地培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識，收到了好的教學(xué)效果.

5 注重學(xué)生歸納與類比能力的培養(yǎng)

華羅庚有句學(xué)習(xí)名言：“讀書要從厚到薄，再從薄到厚”.教書也一樣，這種過程的實現(xiàn)，我們是經(jīng)過歸納和類比達到的.首先對同一數(shù)學(xué)問題進行系統(tǒng)的歸納：例如極限的計算，將常見極限的類型及計算方法進行歸納，使學(xué)生能夠容易地掌握求極限的方法.對積分的計算、級數(shù)斂散性的判斷等都作類似的歸納.另外，對同類型的教學(xué)內(nèi)容進行歸納.例如，一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)及方向?qū)?shù)實質(zhì)都是變化率的問題，但它們之間也有區(qū)別，前二者要考慮左右極限即雙側(cè)極限，方向?qū)?shù)考慮的是單側(cè)極限；又如定積分、重積分、線面積分，其實質(zhì)都是分割、近似、求和、取極限，只是積分區(qū)域Ω分別為區(qū)間、平面區(qū)域、空間區(qū)域、平面曲線、空間曲線和空間曲面[4].學(xué)完這些內(nèi)容，讓學(xué)生考慮是否能給出一個統(tǒng)一表達式定義所有積分？ 類比Newton-Leibniz公式的實質(zhì)，給出Green公式，Gauss公式和Stokes公式，讓學(xué)生思考這些公式的本質(zhì)是什么，能否將上述四個公式歸納統(tǒng)一起來.這樣可以引導(dǎo)學(xué)生真正的去思考，去研究.

在教學(xué)過程中將歸納與類比結(jié)合起來，書越教越薄，越學(xué)越薄，學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和研究能力也得到了提高.

6 注重知識的拓寬，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維

為了培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，在教學(xué)中注意拓寬知識面，有意識地培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維.在講解經(jīng)典內(nèi)容的同時，適時有機地融入現(xiàn)代數(shù)學(xué)的知識和成果，開拓學(xué)生的視野，以利于學(xué)生的進一步深造，并留有學(xué)生獨立思考的余地，激發(fā)學(xué)生創(chuàng)造思維.引入部分現(xiàn)代應(yīng)用數(shù)學(xué)的內(nèi)容為學(xué)生將來解決實際問題，打開知識的大門.例如講一元函數(shù)極值的時候，利用最速降線問題將函數(shù)極值推廣到泛函極值，并介紹變分法.在定積分部分介紹Lebesgue積分，引導(dǎo)學(xué)生變換一個角度思考問題.在級數(shù)部分引進Koch曲線，介紹數(shù)學(xué)的最新分支——分形理論.通過微分方程穩(wěn)定性的討論，引入混沌理論初步[6].將多元函數(shù)極值與離散的優(yōu)化組合結(jié)合起來…….這樣做，花費的學(xué)時并不多，有些同學(xué)聽過了也可能很快就忘記了，但也可能對有些同學(xué)有影響，開拓了學(xué)生的視野，使同學(xué)們能從高等數(shù)學(xué)的范疇跳出去，看看高等數(shù)學(xué)后面的數(shù)學(xué)天地是什么樣的.數(shù)學(xué)修養(yǎng)在潛移默化下得到提高，而這正是我們教學(xué)的目的.

教學(xué)改革的目的是提高教學(xué)質(zhì)量，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維，培養(yǎng)現(xiàn)代化人才.如何實現(xiàn)這一目的，還需要我們不斷地探索.

[參 考 文 獻]

[1] 李心燦，等. 高等數(shù)學(xué)應(yīng)用250例[M]. 北京：高等教育出版社，1999：40-150.

[2] 徐利治. 談?wù)勎业囊恍?shù)學(xué)治學(xué)經(jīng)驗[J]. 數(shù)學(xué)通報, 2000 (5):1-4.

[3] 車向凱，謝崇遠，等. 高等數(shù)學(xué)(上)[M]. 北京：高等教育出版社，2005：12-19.

[4] 車向凱，謝崇遠，等. 高等數(shù)學(xué)(下)[M]. 北京：高等教育出版社，2005：135-220.

[5] George B，Thomas J. Thomas’ Calculus [M]. Tenth edition. Beijing：Higher Education Press, 2004：560-681.

[6] 車向凱，謝崇遠，等. 現(xiàn)代數(shù)學(xué)選講 [M]. 沈陽：東北大學(xué)內(nèi)部教材，1997：56-101.