基于位置和速度信息的GNSS衛(wèi)星坐標(biāo)多項(xiàng)式插值法*

宋傳峰 黨亞民 秘金鐘 薛樹(shù)強(qiáng)

(中國(guó)測(cè)繪科學(xué)研究院，北京 100830)

基于位置和速度信息的GNSS衛(wèi)星坐標(biāo)多項(xiàng)式插值法*

宋傳峰 黨亞民 秘金鐘 薛樹(shù)強(qiáng)

(中國(guó)測(cè)繪科學(xué)研究院，北京 100830)

用戶在對(duì)精密星歷或廣播星歷進(jìn)行多項(xiàng)式擬合與插值時(shí)，會(huì)受到龍格現(xiàn)象的影響。利用衛(wèi)星的位置和速度信息，可有效地減弱龍格現(xiàn)象的影響，8 h多項(xiàng)式插值弧段在檢核點(diǎn)處的殘差均在mm級(jí)。

全球?qū)Ш叫l(wèi)星系統(tǒng);精密星歷;廣播星歷;多項(xiàng)式插值;龍格現(xiàn)象

GNSS衛(wèi)星在導(dǎo)航定位中是動(dòng)態(tài)已知點(diǎn)，精確確定GNSS衛(wèi)星的坐標(biāo)是衛(wèi)星導(dǎo)航定位的基礎(chǔ)。衛(wèi)星的位置可以由廣播星歷或精密星歷計(jì)算得到。精密星歷由間隔15 min的離散數(shù)據(jù)點(diǎn)組成，要獲得任意時(shí)刻的衛(wèi)星坐標(biāo)，需要采用擬合或插值的方法。擬合或插值衛(wèi)星軌道的方法有拉格朗日插值、切比雪夫多項(xiàng)式等。在進(jìn)行多項(xiàng)式擬合或插值GNSS精密星歷時(shí)，為了達(dá)到需要的精度，常選擇較高階數(shù)的多項(xiàng)式，但隨著階數(shù)的增加，在擬合與插值節(jié)點(diǎn)處龍格現(xiàn)象尤為明顯［1－3］。傳統(tǒng)的做法是通過(guò)拼接相鄰天的星歷數(shù)據(jù)采用滑動(dòng)窗口的方法進(jìn)行計(jì)算，或多項(xiàng)式擬合時(shí)只取中間有效弧段，這樣不僅給用戶帶來(lái)了不便，而且數(shù)據(jù)利用率不高。

由于插值弧段在兩端缺少控制，在多項(xiàng)式插值時(shí)會(huì)產(chǎn)生龍格現(xiàn)象，而插值節(jié)點(diǎn)處的趨勢(shì)項(xiàng)信息能控制多項(xiàng)式的走向，有效地抑制龍格現(xiàn)象。本文利用衛(wèi)星的位置和速度信息進(jìn)行多項(xiàng)式擬合與插值，有效地減弱了龍格現(xiàn)象的影響，8 h插值弧段在檢核點(diǎn)處的殘差均在mm級(jí)，與IGS精密星歷精度相比完全可以忽略。

1 基于位置和速度信息的多項(xiàng)式插值法

由于速度與位置相比是無(wú)窮小量，若直接用式(1)求解參數(shù)顯然不合理。為了使速度信息在求取多項(xiàng)式系數(shù)時(shí)與位置信息起到相同的作用，需要合理確定觀測(cè)方程的權(quán)陣。

實(shí)際中，衛(wèi)星的位置和速度都是通過(guò)特定的函數(shù)模型計(jì)算得到的，如精密星歷中的衛(wèi)星位置和速度是在軌道積分過(guò)程中求解的，廣播星歷中衛(wèi)星位置和速度是按星歷發(fā)布時(shí)刻的軌道參數(shù)計(jì)算得到的。避開(kāi)不同函數(shù)模型之間的差異，則獲得任意時(shí)刻衛(wèi)星位置和速度觀測(cè)值的函數(shù)模型為:

僅考慮高次項(xiàng)，則式(4)可近似表示為:

忽略不同時(shí)刻衛(wèi)星位置間的相關(guān)性及同一時(shí)刻衛(wèi)星位置和速度間的相關(guān)性，僅考慮同一時(shí)刻衛(wèi)星位置和速度的觀測(cè)精度不同，則觀測(cè)方程權(quán)陣為:

弧段內(nèi)任意時(shí)刻衛(wèi)星坐標(biāo)為:

2 算例分析與比較

2.1 精密星歷的多項(xiàng)式插值

SP3格式的精密星歷給出了15 min等間隔的衛(wèi)星位置信息［4］，由于不直接包含速度信息，為了驗(yàn)證速度信息在多項(xiàng)式插值時(shí)的作用，先通過(guò)滑動(dòng)窗口的拉氏插值法計(jì)算出各節(jié)點(diǎn)的速度，然后再基于位置和速度信息將一較長(zhǎng)弧段表示成多項(xiàng)式。

使用IGS發(fā)布的1 686周第3天的最終精密星歷，利用16階多項(xiàng)式對(duì)G01號(hào)衛(wèi)星坐標(biāo)進(jìn)行多項(xiàng)式插值(m=n)，插值區(qū)間為2012-05-02 00:00～08:00(GPST)。為便于精度分析，每隔30 min選取一控制點(diǎn)進(jìn)行多項(xiàng)式系數(shù)計(jì)算，所有時(shí)間間隔15 min的節(jié)點(diǎn)均作為檢核點(diǎn)。圖1為利用位置和速度信息與僅利用位置信息進(jìn)行精密星歷多項(xiàng)式插值在檢核點(diǎn)處的衛(wèi)星三維坐標(biāo)殘差。

2.2 廣播星歷的多項(xiàng)式插值

廣播星歷精度稍差，但可直接獲得位置和速度信息。由文獻(xiàn)［5］可知，不同時(shí)刻發(fā)布的廣播星歷之間符合性不是很好，擬合成多項(xiàng)式時(shí)會(huì)產(chǎn)生跳躍。首先由插值弧段中間時(shí)刻附近發(fā)布的廣播星歷計(jì)算出間隔15 min的衛(wèi)星位置和速度，然后基于式(1)、(6)利用廣播星歷中的位置和速度信息，將廣播星歷擬合成一m階多項(xiàng)式。

圖2為利用位置和速度信息與僅利用位置信息進(jìn)行廣播星歷多項(xiàng)式插值在檢核點(diǎn)處的衛(wèi)星三維坐標(biāo)殘差。

2.3 結(jié)果分析

1)由圖1、2可知，僅利用位置信息進(jìn)行多項(xiàng)式插值時(shí)在插值弧段兩端產(chǎn)生了嚴(yán)重的震蕩現(xiàn)象，其最大誤差可達(dá)dm級(jí);而基于位置和速度信息的多項(xiàng)式插值，衛(wèi)星坐標(biāo)幾乎不受龍格現(xiàn)象的影響，其在檢核點(diǎn)處的殘差均在2 mm內(nèi)，這與星歷本身精度相比完全可以忽略。

圖1 精密星歷多項(xiàng)式插值衛(wèi)星三維坐標(biāo)殘差Fig.1 Satellite coordinates residuals of polynomial interpolation of precise ephemeris

圖2 廣播星歷多項(xiàng)式插值衛(wèi)星三維坐標(biāo)殘差Fig.2 Satellite coordinates residuals of polynomial interpolation of broadcast ephemeris

2)算例中，為了進(jìn)行精度分析，選取采樣間隔為30 min的控制點(diǎn)進(jìn)行多項(xiàng)式系數(shù)計(jì)算，但實(shí)際中若采用間隔為15 min或更小的控制點(diǎn)則將會(huì)獲得更高的插值精度。

3)算例分析表明，利用趨勢(shì)項(xiàng)信息可明顯減弱龍格現(xiàn)象，若使用更長(zhǎng)的插值弧段則需要提供更高階的趨勢(shì)項(xiàng)信息來(lái)減弱龍格現(xiàn)象的影響。

3 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)精密星歷多項(xiàng)式插值和廣播星歷多項(xiàng)式插值，驗(yàn)證了利用趨勢(shì)項(xiàng)信息能有效減弱龍格現(xiàn)象，但不同類型信息之間需要合理地配權(quán)。在實(shí)際應(yīng)用中，可考慮利用趨勢(shì)項(xiàng)信息來(lái)進(jìn)行多項(xiàng)式擬合或插值，其他插值方法也可以利用趨勢(shì)項(xiàng)信息來(lái)減弱龍格現(xiàn)象的影響。

1 洪櫻，歐吉坤，彭碧波.GPS衛(wèi)星精密星歷和鐘差三種內(nèi)插方法的比較［J］.武漢大學(xué)學(xué)報(bào):信息科學(xué)版，2006(6):516 －518.(Hong Ying，Ou Jikun，Peng Bibo.Three interpolation methods of precise ephemeris and clock offset of GPS satellite［J］.Geomatics and Information Science of Wuhan University，2006(6):516 －518)

2 Feng Y，Zheng Y.Efficient interpolations to GPS orbits for precise wide area applications［J］.GPS Solution，2009(9):67－72.

3 邱蕾，廖遠(yuǎn)琴，花向紅.基于IGS精密星歷的衛(wèi)星坐標(biāo)插值［J］.測(cè)繪工程，2008(4):15 －18.(Qiu Lei，Liao Yuanqin，Hua Xianghong.Interpolation methods for satellite coordinate based on IGS precise ephemeris［J］.Engineering of Surveying and Mapping，2008(4):15 －18)

4 劉剛，邵楠.兩種IGS精密星歷多項(xiàng)式插值方法的比較分析［J］.城市勘測(cè)，2012(10):107 －109.(Liu Gang，Shao Nan.Comparison and analysis of two methods for IGS precise ephemeris interpolation［J］.Urban Geotechnical Investigation and Surveying，2012(10):107 －109)

5 Horemuz M，Andersson J.Polynomial interpolation of GPS satellite coordinates［J］.GPS Solution，2006(10):67 －72.

POLYNOMIAL INTERPOLATION OF GNSS SATELLITE COORDINATES BASED ON POSITION AND VELOCITY INFORMATION

Song Chuanfeng，Dang Yamin，Bi Jinzhong and Xue Shuqiang
(Chinese Academy of Surveying and Mapping，Beijing 100830)

Polynomial fitting and interpolating of precise or broadcast ephemeris will be affected by Runge’s phenomenon.Satelites’position and velocity information were used to remove the influence of Runge’s phenomenon.The result shows that the outside precision of 8-hour fit interval can reach millimeter level.

GNSS;precise ephemeris;broadcast ephemeris;polynomial interpolation;Runge’s phenomenon

P228

A

1671-5942(2014)03-0108-03

2013-09-10

科技部863計(jì)劃重點(diǎn)項(xiàng)目(2011AA120503);科技部科技支撐計(jì)劃項(xiàng)目(2012BAB16B01);科技部863計(jì)劃項(xiàng)目(2013AA122501);北斗分析中心項(xiàng)目(GFZX0301040308-06)。

宋傳峰，男，1987年生，碩士研究生，主要從事GNSS衛(wèi)星定軌與測(cè)量數(shù)據(jù)處理的研究工作。E－mail:297933297@qq.com。