幾何對(duì)稱法在求取某些區(qū)域格林函數(shù)中的應(yīng)用

羅俊芝， 楊萬利， 劉艷霞

(裝甲兵工程學(xué)院基礎(chǔ)部，北京100072)

1 引 言

對(duì)于一個(gè)由曲面Γ所圍成的區(qū)域Ω而言，這個(gè)區(qū)域內(nèi)的狄利克雷問題

的解表示為

(1)

其中M0(x0,y0,z0)為區(qū)域Ω上的任意點(diǎn)，M的坐標(biāo)為(x,y,z)，n為區(qū)域Ω邊界的外法向量.

則(1)可進(jìn)一步表示為

,

(2)

其中稱G(M,M0)稱為格林函數(shù).

對(duì)任意函數(shù)f，上述的狄利克雷問題就轉(zhuǎn)化為求此區(qū)域內(nèi)的格林函數(shù)G，也就是把問題

轉(zhuǎn)化為求解一個(gè)特殊的狄利克雷問題

(3)

如果把問題(3)中的v表示出來，就可以得到G(M,M0)，進(jìn)而問題(1)就迎刃而解了. 格林函數(shù)法給出的解(2)是有限的積分形式，十分便于理論分析和研究.

雖然對(duì)于一般的區(qū)域Ω，求解上述問題(3)中的v并不是一件容易的事情，但是對(duì)于特殊區(qū)域上，文 [1]-[3]中利用電象法給出了格林函數(shù)的求法，該方法需要一定的物理知識(shí)作為儲(chǔ)備，如果物理知識(shí)不熟練，可能不容易對(duì)此問題進(jìn)行討論.本文應(yīng)用幾何對(duì)稱法研究問題(3)，進(jìn)而求得格林函數(shù).

2 幾何對(duì)稱法

2.1 平面對(duì)稱

假設(shè)空間區(qū)域上一點(diǎn)M(x0,y0,z0)，則 點(diǎn)M關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為鏡像對(duì)稱點(diǎn)，如M(x0,y0,z0)關(guān)于平面z=0的對(duì)稱點(diǎn)為M(x0,y0,-z0).設(shè)點(diǎn)P關(guān)于平面Ax+By+Cz=-D的對(duì)稱點(diǎn)為M1(x1,y1,z1)，則有[5]

x1=-2A(Ax0+By0+Cz0+D)+x0,

y1=-2B(Ax0+By0+Cz0+D)+y0,

z1=-2C(Ax0+By0+Cz0+D)+z0.

2.2 球?qū)ΨQ點(diǎn)

球?qū)ΨQ點(diǎn)指以一個(gè)特定的球面為基礎(chǔ)，球心O為中心, 球半徑為常數(shù)k，點(diǎn)P和對(duì)稱點(diǎn)P′滿足

OP·OP′=k2.

利用幾何對(duì)稱法求取某些區(qū)域的格林函數(shù)，就是結(jié)合區(qū)域的特點(diǎn)，給出區(qū)域內(nèi)任意點(diǎn)關(guān)于邊界曲面的對(duì)稱點(diǎn)，借助于幾何意義，構(gòu)造相應(yīng)的格林函數(shù).如果空間區(qū)域的邊界曲面為平面，則利用關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)；如果空間區(qū)域的邊界曲面為球面，則利用球?qū)ΨQ點(diǎn).

下面利用幾何對(duì)稱法求取某些區(qū)域的格林函數(shù).

3 半空間的格林函數(shù)

3.1 半空間區(qū)域Ω:z≥0

該區(qū)域上的狄利克雷問題對(duì)應(yīng)的格林函數(shù)為

其中v為調(diào)和函數(shù)，同時(shí)v滿足

圖1

根據(jù)幾何知識(shí)知，

代表的是MM0兩點(diǎn)的距離，若M取在Ω:z≥0的邊界Γ:z=0時(shí)，MM0兩點(diǎn)的距離顯然與M到M0關(guān)于邊界z=0的對(duì)稱點(diǎn)M1(x0,y0,-z0)的距離相等 (圖1)，所以選取

.

,

則原拉普拉斯方程或者泊松方程的狄利克雷問題

的解可表示為

3.2 半空間區(qū)域Ω:Ax+By+Cz+D≥0

圖2

所以選取

設(shè)M0關(guān)于邊界平面Γ:Ax+By+Cz+D=0的對(duì)稱點(diǎn)M1(x1,y1,z1)[5]，則通過求解有

x1=-2A(Ax0+By0+Cz0+D)+x0,

y1=-2B(Ax0+By0+Cz0+D)+y0,

z1=-2C(Ax0+By0+Cz0+D)+z0，

從而

推論如果區(qū)域?yàn)槠矫鎱^(qū)域Π，即Π:y≥0，邊界為Γ:y=0，則平面域Π上的狄利克雷問題

因?yàn)?/p>

注意到v為調(diào)和函數(shù)且v滿足

G

M

，

其中

4 球域的格林函數(shù)

如果區(qū)域Ω為x2+y2+z2≤R2(圖3),此區(qū)域上的狄利克雷問題為

圖3

因?yàn)镚(M,，且v滿足

首先選取M0的球?qū)ΨQ點(diǎn)為M1(x1,y1,z1)(圖3).

所謂球?qū)ΨQ點(diǎn)滿足

R2=OM0·OM1.

當(dāng)M∈Γ時(shí)，

ΔOM0M～ΔOMM1.

選取

其中a為待定的常數(shù)，且滿足

易見v為x2+y2+z2≤R2上的解析函數(shù).

設(shè)∠M0OM=γ，rOM=ρ，則

格林函數(shù)

則原拉普拉斯方程或者泊松方程的狄利克雷問題

的解可表示為

因?yàn)镚的邊界為x2+y2+z2=R2，故

其中n為OM的方向.從而有

或者寫成球面坐標(biāo)形式

本文利用幾何對(duì)稱法求取特殊區(qū)域狄利克雷問題中的格林函數(shù).對(duì)于空間區(qū)域Ω，若點(diǎn)P為該區(qū)域Ω的任意一點(diǎn)，通過點(diǎn)P尋找該區(qū)域上的格林函數(shù)，關(guān)鍵是尋找點(diǎn)P關(guān)于該區(qū)域邊界的對(duì)稱點(diǎn).一般而言，如果區(qū)域是規(guī)則區(qū)域，區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)P關(guān)于規(guī)則區(qū)域邊界的對(duì)稱點(diǎn)需要根據(jù)區(qū)域的邊界特點(diǎn)，如果空間區(qū)域Ω的邊界曲面為平面，一般取點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)；如果區(qū)域Ω的邊界曲面為球面，一般取點(diǎn)關(guān)于球面的球?qū)ΨQ點(diǎn)；如果區(qū)域Ω的邊界為直線，一般取點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn).針對(duì)不同的區(qū)域，根據(jù)幾何意義，選取相應(yīng)的格林函數(shù)形式，該方法與利用物理知識(shí)獲得格林函數(shù)是殊途同歸，這將在數(shù)學(xué)物理的學(xué)習(xí)和科研中有著很好的參考價(jià)值.

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1] 王元明. 數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)[M]. 4版.北京：高等教育出版社，2012.

[2] 閆桂峰. 數(shù)學(xué)物理方法[M].北京：北京理工大學(xué)出版社，2009.

[3] 邵惠民. 數(shù)學(xué)物理方法[M].北京：科學(xué)出版社，2004.

[4] 王元明. 數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)與習(xí)題解答[M].北京：高等教育出版社，2012.

[5] 徐沈新.三維空間中的對(duì)稱問題[J].吉首大學(xué)學(xué)報(bào)( 自然科學(xué))，1991，12(5)：23-26.

[6] 楊紀(jì)華，楊志鑫. 二維調(diào)和方程Dirichlet問題格林函數(shù)的求解[J].寧夏師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué))， 2012，33(3)：15-18.

[7] 趙天玉，劉慶.反演變換在調(diào)和函數(shù)研究中的應(yīng)用[J].長(zhǎng)江大學(xué)學(xué)報(bào)( 自然科學(xué)版)，2009，6(3):1-4.