關(guān)于“函數(shù)的幾何性質(zhì)”的幾點(diǎn)說明

柴艷玲　李冬霞

摘 要： 函數(shù)的幾何性質(zhì)，是從數(shù)形結(jié)合的角度研究的.由于多種教材概念的不統(tǒng)一，部分學(xué)生對概念把握不準(zhǔn)，解題過程存在誤區(qū).針對這種情況，本文對函數(shù)的幾何性質(zhì)——單調(diào)性、有界性、奇偶性和周期性，做若干補(bǔ)充說明.

關(guān)鍵詞： 函數(shù) 單調(diào)性 有界性 奇偶性 周期性

函數(shù)，是高等數(shù)學(xué)的主要研究對象.函數(shù)的幾何性質(zhì)，是從數(shù)形結(jié)合的角度研究的.從高中數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)的過渡，學(xué)生必然首先接觸函數(shù)及其性質(zhì).由于大學(xué)數(shù)學(xué)教材和中學(xué)數(shù)學(xué)教材面向的對象不同，對一些概念的敘述就存在一定的差別.對經(jīng)歷過高考的大學(xué)生來說，其應(yīng)該對這些概念有一個宏觀的把握，也可以結(jié)合“整體與局部”等哲學(xué)概念，對抽象的數(shù)學(xué)知識做一個概括的總結(jié).而對高職高專的學(xué)生來講，在不影響正確解題的前提下，概念要盡量簡單、明了.

筆者根據(jù)多年的教學(xué)經(jīng)驗，參考大多數(shù)高職高專類學(xué)生熟知的教材，選用比較科學(xué)的定義，對函數(shù)的四種幾何性質(zhì)——單調(diào)性、有界性、奇偶性和周期性，做補(bǔ)充說明.

一、函數(shù)的單調(diào)性

定義1：設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間I上有定義.對于I中的任意兩數(shù)x■，x■，當(dāng)x■f（x■）），則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間I上單調(diào)遞增（或遞減）.

1.單調(diào)性是函數(shù)在某個區(qū)間上的性質(zhì)，是局部的.

這個區(qū)間可以是整個定義域，也可以是定義域內(nèi)部的某個子區(qū)間.若函數(shù)f（x）在整個定義域D上都滿足x■f（x■）），則稱函數(shù)f（x）在定義域D上單調(diào)遞增（或遞減）.例如，f（x）=x■，在定義域（-∞，+∞）上都是單調(diào)增加的.

但是一般的函數(shù)在整個定義域上并不單調(diào).此時，我們通常討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即函數(shù)在每個定義區(qū)間上的單調(diào)性.例如，f（x）=x■-3x，在區(qū)間（-∞，-1）和（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間（-1，1）內(nèi)單調(diào)遞減，在整個定義域（-∞，+∞）上不單調(diào).

中學(xué)數(shù)學(xué)中的常見題型是討論已知函數(shù)在某個區(qū)間上的單調(diào)性，而高等數(shù)學(xué)多是求已知函數(shù)的所有單調(diào)區(qū)間，討論函數(shù)在整個定義域上的單調(diào)性，通常利用導(dǎo)數(shù)法來求.

2.各單調(diào)區(qū)間不能寫成并集.

在用導(dǎo)數(shù)法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間后，通常把幾個單調(diào)性一致的區(qū)間并列寫出來，用逗號或者“和”字連接，一般不能寫成并集.

例如，f（x）=x■-3x的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1）和（1，+∞），不能寫成（-∞，-1）∪（1，+∞）.若不然，取x■=-■，x■=■∈（-∞，-1）∪（1，+∞），且x■f（x■），矛盾.

3.每個單調(diào)區(qū)間一般寫成開區(qū)間形式.

函數(shù)在某一點(diǎn)不具有單調(diào)性，在單調(diào)區(qū)間端點(diǎn)的取值、是否有定義，都不影響區(qū)間內(nèi)部函數(shù)的單調(diào)性.

初等函數(shù)在各個定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的，在端點(diǎn)處若有意義，必左連續(xù)（或右連續(xù)）.此時，單調(diào)區(qū)間可以隨之寫成閉的.

例如，f（x）=x■-3x的單調(diào)遞減區(qū)間（-1，1），可以寫成（-1，1]，[-1，1），或[-1，1].

對于某些非初等函數(shù)，例如，f（x）=x■，x≠0，1，x=0.在（-∞，0）內(nèi)單調(diào)遞減，在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增.雖然在x=0處有定義，但是兩個單調(diào)區(qū)間都不能包含端點(diǎn).

為避免此類錯誤，在沒有嚴(yán)格要求的情況下，筆者建議單調(diào)區(qū)間統(tǒng)一寫成開區(qū)間.

4.單調(diào)區(qū)間不能寫成點(diǎn)的集合.

例如，f（x）=x■-3x的單調(diào)遞減區(qū)間（-1，1），不能寫成{x|-1

二、函數(shù)的有界性

定義2：設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間I上有定義，如果存在正數(shù)M，對任意的x∈I，總有|f（x）|≤M，則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間I上有界，并稱f（x）為區(qū)間I上的有界函數(shù).否則，稱函數(shù)f（x）在區(qū)間I上無界.

有界性是函數(shù)在某區(qū)間上的性質(zhì).有些函數(shù)在整個定義域內(nèi)有界，例如，f（x）=sinx在定義域（-∞，+∞）內(nèi)滿足|sinx|≤1，是有界的.但有些函數(shù)只在某個區(qū)間內(nèi)有界，例如，f（x）=e■在區(qū)間（-∞，0）內(nèi)有界，但在定義域（-∞，+∞）內(nèi)無界.一般來講，連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上是有界的.

函數(shù)的無界性可以用有界性的逆否命題來刻畫，如下：

設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間I上有定義，如果對任意的正數(shù)M，都存在一個x∈I，使得|f（x）|>M，則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間I上無界.

函數(shù)的單調(diào)性和有界性是函數(shù)在某個定義區(qū)間上的性質(zhì)，都是局部的性質(zhì).

三、函數(shù)的奇偶性

定義3：設(shè)函數(shù)f（x）的定義域D關(guān)于原點(diǎn)對稱.如果對任意一個x∈D，總有f（-x）=f（x）（或f（-x）=-f（x）），則稱函數(shù)f（x）為D上的偶函數(shù)（或奇函數(shù)）.否則，稱為非奇非偶函數(shù).

這里的D是函數(shù)的定義域，有的教材也說“設(shè)函數(shù)f（x）在對稱區(qū)間D上有定義”，但這是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?因為有些函數(shù)的定義域只是一些離散的點(diǎn)的集合，并不能構(gòu)成區(qū)間.

例如，函數(shù)y=■.

奇偶性是函數(shù)在整個定義域上的性質(zhì)，是整體的.要求定義域D必須關(guān)于原點(diǎn)對稱，這是函數(shù)成為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要條件.否則，函數(shù)為非奇非偶函數(shù).

四、函數(shù)的周期性

定義4：設(shè)函數(shù)f（x）在D上有定義，如果存在非零常數(shù)T，使得對任意一個x∈D，總有x+T∈D，并且f（x）=f（x+T），則稱f（x）為周期函數(shù)，T為這個函數(shù)的周期.若所有周期T中存在一個最小的正數(shù)，則稱它為最小正周期.

有些中學(xué)教材給出的定義中，要求T為正數(shù)，一般高等數(shù)學(xué)只要求為T非零常數(shù)，可正可負(fù).由于中學(xué)與大學(xué)教材定義不一樣，對周期函數(shù)的定義域與周期理解就存在異議.按照一般大學(xué)數(shù)學(xué)教材，我們可以得到關(guān)于周期函數(shù)的結(jié)論：（1）定義域雙側(cè)無界.（2）周期T，有正周期必有負(fù)周期；有負(fù)周期必有正周期；有正周期不一定有最小正周期.此時周期函數(shù)的性質(zhì)可變?yōu)椋?/p>

（1）若T是f（x）的周期，則-T也是f（x）的周期；

（2）若T是f（x）的周期，則kT也是f（x）的周期，其中k是非零整數(shù)；

（3）若T■、T■是f（x）的周期，則T■+T■也是f（x）的周期；

（4）若T是f（x）的最小正周期，則f（x）的所有周期組成的集合為{t|t=kT，k∈Z，且k≠0}；

（5）若f（x）是周期函數(shù)，則f（x）的定義域一定是雙側(cè)無界的.

周期性是函數(shù)整個定義域上的性質(zhì)，是整體的.這里要求定義域D必須是雙側(cè)無界的.在一般高職高專的數(shù)學(xué)教材中，所列周期函數(shù)都是三角函數(shù).

奇偶性和周期性都是函數(shù)在整個定義域上的性質(zhì)，是整體性質(zhì).

函數(shù)的單調(diào)性反映了函數(shù)圖像的走勢（上升或下降）；有界性體現(xiàn)的是函數(shù)值取值范圍的有限性；奇偶性反映了函數(shù)的對稱性（關(guān)于縱軸或者原點(diǎn)對稱）；周期性體現(xiàn)了函數(shù)的重復(fù)性.其中，單調(diào)性和有界性是函數(shù)在某個區(qū)間上的局部性質(zhì)，而奇偶性和周期性則是函數(shù)在整個定義域上的整體特征.從宏觀上把握函數(shù)的幾何性質(zhì)，有利于數(shù)學(xué)思維的形成，也能順利準(zhǔn)確地解決一些實際問題.

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鄭州城市職業(yè)學(xué)院教學(xué)改革重點(diǎn)項目“高職數(shù)學(xué)分層次教學(xué)的研究與實踐”（院科外〔2013〕6號）。