拋物線(xiàn)與特殊三角形的面積探究

縱觀(guān)近幾年的中考試卷，考題中出現(xiàn)了大量的以?huà)佄锞€(xiàn)為載體，探究由拋物線(xiàn)上的點(diǎn)構(gòu)造有關(guān)特殊三角形的面積問(wèn)題.這類(lèi)題以直角坐標(biāo)系為背景，由邊和角的不確定性，考查了分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想.本文探究拋物線(xiàn)與有關(guān)特殊三角形的面積.

若二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A(yíng)（x1，0），B（x2，0）兩點(diǎn)，可知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，當(dāng)b2-4ac≥ 時(shí)，x=-b±b2-4ac2a.d是A、B兩點(diǎn)間的距離，則有d=xA-xB=b2-4aca.

在△ABC中，當(dāng)C是拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)時(shí)， AB邊上的高=yC=k=4ac-b24a，所以S△ABC=12xA-xB×yC=12×b2-4aca×4ac-b24a=b2-4ac34a2，

即S△ABC=b2-4ac38a2.（1）

在△ABC中，設(shè)C（h，k）是拋物線(xiàn)上任意一點(diǎn)，易知AB邊上的高=yc=k，

所以S△ABC=12xA-xB×yc=12×b2-4aca×k=12kab2-4ac，

即S△ABC=12kab2-4ac.（2）

當(dāng)C是拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)且△ABC為等腰直角三角形時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線(xiàn)，垂足為E，CE=BE.

又CE=yc=k=4ac-b24a=b2-4ac4a， BE=12d=12b2-4aca，所以b2-4ac4a=12b2-4aca， 即b2-4ac2a=b2-4aca.化簡(jiǎn)得b2-4ac=4.

所以S△ABC=12xA-xB×yc=12d×CE=

12×b2-4aca×b2-4ac4a=12×4a×44a=1a2，即S△ABC=1a2.（3）

當(dāng)C是拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)且△ABC為等邊三角形時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線(xiàn)，垂足為E，則有∠CBE=60°， BE=12d=b2-4ac2a， CE=yc=k=4ac-b24a=b2-4ac4a.在Rt△BCE中，CE=BEtan 60°=3BE.即b2-4ac4a=3×b2-4ac2a，化簡(jiǎn)得b2-4ac=12.

所以S△ABC=12xA-xB×yc=12× BE×CE=12×b2-4aca×b2-4ac4a=18×12×12a2=33a2.

即S△ABC=33a2.（4）

下面舉例說(shuō)明這幾個(gè)公式在解題中的應(yīng)用.

例1若二次函數(shù)y=x2 -（k+1 ）x+k-2的圖像與x軸交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為C，則S△ABC的最小值是.

解 b2-4ac=k2+2k+1-4（k-2）=k2-2k+9=k-12+8.當(dāng)k=1時(shí)，b2-4ac的最小值是8.

由公式S△ABC=（b2-4ac）38a2=838×12=8=22.

故S△ABC的最小值是22.

例2若二次函數(shù)y=-3x2 -4x-k+5的圖像與x軸交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為C，當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)，求k的值和S△ABC.

解因?yàn)閎2-4ac=16-4×（-3）×（5-k）=16+60-12k=12，即12k=64，所以k=163.所以S△ABC=33a2=33（-3）2=33.

例3若二次函數(shù)y=14-kx2 -x+k的圖像與x軸交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為C，當(dāng)k為何值時(shí)，△ABC為等腰直角三角形，并求S△ABC.

解因?yàn)閎2-4ac=（-1）2-414-kk=4，即4k2-k-3=0，所以k=1或k=-34，所以S△ABC=114-12=169或S△ABC=114--342=1.

例4已知二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖像與x軸交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（1，2），若S△ABC=8，求該二次函數(shù)的表達(dá)式.

解因?yàn)槎魏瘮?shù)y=x2+bx+c的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)C1，2，所以b+c=1.（1）

又S△ABC=8， 則有1221b2-4c=8，

即b2-4c=8.（2）

由（1）得c=1-b 代入（2）得b2-4（1-b）=8，即b2+4b-12=0.所以b=2 或b=-6，從而c=-1或 c=7.故該二次函數(shù)為y=x2+2x-1 或 y=x2 -6 x+7.

作者簡(jiǎn)介吳健，男，陜西咸陽(yáng)人，陜西省咸陽(yáng)市有突出貢獻(xiàn)專(zhuān)家、市十大杰出人物、市新世紀(jì)學(xué)術(shù)帶頭人，發(fā)表文稿2000余篇，著作多部.endprint

縱觀(guān)近幾年的中考試卷，考題中出現(xiàn)了大量的以?huà)佄锞€(xiàn)為載體，探究由拋物線(xiàn)上的點(diǎn)構(gòu)造有關(guān)特殊三角形的面積問(wèn)題.這類(lèi)題以直角坐標(biāo)系為背景，由邊和角的不確定性，考查了分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想.本文探究拋物線(xiàn)與有關(guān)特殊三角形的面積.

若二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A(yíng)（x1，0），B（x2，0）兩點(diǎn)，可知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，當(dāng)b2-4ac≥ 時(shí)，x=-b±b2-4ac2a.d是A、B兩點(diǎn)間的距離，則有d=xA-xB=b2-4aca.

在△ABC中，當(dāng)C是拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)時(shí)， AB邊上的高=yC=k=4ac-b24a，所以S△ABC=12xA-xB×yC=12×b2-4aca×4ac-b24a=b2-4ac34a2，

即S△ABC=b2-4ac38a2.（1）

在△ABC中，設(shè)C（h，k）是拋物線(xiàn)上任意一點(diǎn)，易知AB邊上的高=yc=k，

所以S△ABC=12xA-xB×yc=12×b2-4aca×k=12kab2-4ac，

即S△ABC=12kab2-4ac.（2）

當(dāng)C是拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)且△ABC為等腰直角三角形時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線(xiàn)，垂足為E，CE=BE.

又CE=yc=k=4ac-b24a=b2-4ac4a， BE=12d=12b2-4aca，所以b2-4ac4a=12b2-4aca， 即b2-4ac2a=b2-4aca.化簡(jiǎn)得b2-4ac=4.

所以S△ABC=12xA-xB×yc=12d×CE=

12×b2-4aca×b2-4ac4a=12×4a×44a=1a2，即S△ABC=1a2.（3）

當(dāng)C是拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)且△ABC為等邊三角形時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線(xiàn)，垂足為E，則有∠CBE=60°， BE=12d=b2-4ac2a， CE=yc=k=4ac-b24a=b2-4ac4a.在Rt△BCE中，CE=BEtan 60°=3BE.即b2-4ac4a=3×b2-4ac2a，化簡(jiǎn)得b2-4ac=12.

所以S△ABC=12xA-xB×yc=12× BE×CE=12×b2-4aca×b2-4ac4a=18×12×12a2=33a2.

即S△ABC=33a2.（4）

下面舉例說(shuō)明這幾個(gè)公式在解題中的應(yīng)用.

例1若二次函數(shù)y=x2 -（k+1 ）x+k-2的圖像與x軸交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為C，則S△ABC的最小值是.

解 b2-4ac=k2+2k+1-4（k-2）=k2-2k+9=k-12+8.當(dāng)k=1時(shí)，b2-4ac的最小值是8.

由公式S△ABC=（b2-4ac）38a2=838×12=8=22.

故S△ABC的最小值是22.

例2若二次函數(shù)y=-3x2 -4x-k+5的圖像與x軸交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為C，當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)，求k的值和S△ABC.

解因?yàn)閎2-4ac=16-4×（-3）×（5-k）=16+60-12k=12，即12k=64，所以k=163.所以S△ABC=33a2=33（-3）2=33.

例3若二次函數(shù)y=14-kx2 -x+k的圖像與x軸交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為C，當(dāng)k為何值時(shí)，△ABC為等腰直角三角形，并求S△ABC.

解因?yàn)閎2-4ac=（-1）2-414-kk=4，即4k2-k-3=0，所以k=1或k=-34，所以S△ABC=114-12=169或S△ABC=114--342=1.

例4已知二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖像與x軸交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（1，2），若S△ABC=8，求該二次函數(shù)的表達(dá)式.

解因?yàn)槎魏瘮?shù)y=x2+bx+c的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)C1，2，所以b+c=1.（1）

又S△ABC=8， 則有1221b2-4c=8，

即b2-4c=8.（2）

由（1）得c=1-b 代入（2）得b2-4（1-b）=8，即b2+4b-12=0.所以b=2 或b=-6，從而c=-1或 c=7.故該二次函數(shù)為y=x2+2x-1 或 y=x2 -6 x+7.

作者簡(jiǎn)介吳健，男，陜西咸陽(yáng)人，陜西省咸陽(yáng)市有突出貢獻(xiàn)專(zhuān)家、市十大杰出人物、市新世紀(jì)學(xué)術(shù)帶頭人，發(fā)表文稿2000余篇，著作多部.endprint

縱觀(guān)近幾年的中考試卷，考題中出現(xiàn)了大量的以?huà)佄锞€(xiàn)為載體，探究由拋物線(xiàn)上的點(diǎn)構(gòu)造有關(guān)特殊三角形的面積問(wèn)題.這類(lèi)題以直角坐標(biāo)系為背景，由邊和角的不確定性，考查了分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想.本文探究拋物線(xiàn)與有關(guān)特殊三角形的面積.

若二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A(yíng)（x1，0），B（x2，0）兩點(diǎn)，可知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，當(dāng)b2-4ac≥ 時(shí)，x=-b±b2-4ac2a.d是A、B兩點(diǎn)間的距離，則有d=xA-xB=b2-4aca.

在△ABC中，當(dāng)C是拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)時(shí)， AB邊上的高=yC=k=4ac-b24a，所以S△ABC=12xA-xB×yC=12×b2-4aca×4ac-b24a=b2-4ac34a2，

即S△ABC=b2-4ac38a2.（1）

在△ABC中，設(shè)C（h，k）是拋物線(xiàn)上任意一點(diǎn)，易知AB邊上的高=yc=k，

所以S△ABC=12xA-xB×yc=12×b2-4aca×k=12kab2-4ac，

即S△ABC=12kab2-4ac.（2）

當(dāng)C是拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)且△ABC為等腰直角三角形時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線(xiàn)，垂足為E，CE=BE.

又CE=yc=k=4ac-b24a=b2-4ac4a， BE=12d=12b2-4aca，所以b2-4ac4a=12b2-4aca， 即b2-4ac2a=b2-4aca.化簡(jiǎn)得b2-4ac=4.

所以S△ABC=12xA-xB×yc=12d×CE=

12×b2-4aca×b2-4ac4a=12×4a×44a=1a2，即S△ABC=1a2.（3）

當(dāng)C是拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)且△ABC為等邊三角形時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線(xiàn)，垂足為E，則有∠CBE=60°， BE=12d=b2-4ac2a， CE=yc=k=4ac-b24a=b2-4ac4a.在Rt△BCE中，CE=BEtan 60°=3BE.即b2-4ac4a=3×b2-4ac2a，化簡(jiǎn)得b2-4ac=12.

所以S△ABC=12xA-xB×yc=12× BE×CE=12×b2-4aca×b2-4ac4a=18×12×12a2=33a2.

即S△ABC=33a2.（4）

下面舉例說(shuō)明這幾個(gè)公式在解題中的應(yīng)用.

例1若二次函數(shù)y=x2 -（k+1 ）x+k-2的圖像與x軸交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為C，則S△ABC的最小值是.

解 b2-4ac=k2+2k+1-4（k-2）=k2-2k+9=k-12+8.當(dāng)k=1時(shí)，b2-4ac的最小值是8.

由公式S△ABC=（b2-4ac）38a2=838×12=8=22.

故S△ABC的最小值是22.

例2若二次函數(shù)y=-3x2 -4x-k+5的圖像與x軸交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為C，當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)，求k的值和S△ABC.

解因?yàn)閎2-4ac=16-4×（-3）×（5-k）=16+60-12k=12，即12k=64，所以k=163.所以S△ABC=33a2=33（-3）2=33.

例3若二次函數(shù)y=14-kx2 -x+k的圖像與x軸交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為C，當(dāng)k為何值時(shí)，△ABC為等腰直角三角形，并求S△ABC.

解因?yàn)閎2-4ac=（-1）2-414-kk=4，即4k2-k-3=0，所以k=1或k=-34，所以S△ABC=114-12=169或S△ABC=114--342=1.

例4已知二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖像與x軸交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（1，2），若S△ABC=8，求該二次函數(shù)的表達(dá)式.

解因?yàn)槎魏瘮?shù)y=x2+bx+c的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)C1，2，所以b+c=1.（1）

又S△ABC=8， 則有1221b2-4c=8，

即b2-4c=8.（2）

由（1）得c=1-b 代入（2）得b2-4（1-b）=8，即b2+4b-12=0.所以b=2 或b=-6，從而c=-1或 c=7.故該二次函數(shù)為y=x2+2x-1 或 y=x2 -6 x+7.

作者簡(jiǎn)介吳健，男，陜西咸陽(yáng)人，陜西省咸陽(yáng)市有突出貢獻(xiàn)專(zhuān)家、市十大杰出人物、市新世紀(jì)學(xué)術(shù)帶頭人，發(fā)表文稿2000余篇，著作多部.endprint