例談“極端化策略”法在解題中的運用

沈岳夫

文[1]分別從退一步、轉視角、借數(shù)感、縝推演四個方面，闡述數(shù)學中考壓軸題的解題策略，筆者拜讀后受益匪淺.現(xiàn)結合筆者在教學實踐中積累的經(jīng)驗，談談“極端化策略”在解題中的一些做法，以與同行交流.

1用“極端化策略”法探求函數(shù)關系中的變化規(guī)律

對動點產(chǎn)生的圖形和圖象的函數(shù)關系式問題，有時考慮極端情形，如量的最大、最小，圖形特殊位置或臨界位置等，能找到解題的突破口，從極端情形的討論和研究找到解決最值問題的方法，進而確定函數(shù)關系的大致圖象.

例1如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=2，D是AB邊上的一個動點（不與點A、B重合），過點D作CD的垂線交射線CA于點E.設AD=x，CE=y，則下列圖象中，能表示y與x的函數(shù)關系圖象大致是（）.

分析由于點D是AB邊上的一個動點，雖然不與點A、B重合，但我們可考慮其重合的情況，這樣把問題退到特殊情形.當點D與點A重合時，由于DE⊥DC，此時點E也與點A重合，則根據(jù)題意易求CE=AC=3；當點D在AB中點時，則CD=AD，∠ECD=∠DAC=30°，進而求得CE=233；當點D與點B重合時，由于DE⊥DC，此時點DE與AC平行，雖然x不能取到2，但y應該是無窮大.

解因為∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=2，所以BC=1，AC=3.當x=0時，y的值是3；當x=1時，y的值是233；當x=2時，由于DE⊥DC，此時點DE與AC平行.雖然x不能取到2，但y應該是無窮大，故結合圖象，分析可知y與x的函數(shù)關系圖象大致是B.

點評本例直接處理，難度很大.但由于題目（包括已知條件、待求結論和圖形）中提取一些暗示信息，如D是AB邊上的一個動點（不與點A、B重合）退到特殊位置——重合，繼而對圖形進行定性、定量分析，將幾何圖形的直觀描述與代數(shù)的精確刻畫有機結合.這不僅找到了解題的切入口，而且迅速破解了問題的結論，并對此類問題的解決具有一定的導向作用.

2用“極端化策略”法探求線段比值中的定值問題

對于某些求解幾何圖形中的線段比值問題，若從所給圖形入手很難找到解題突破口.此時，我們?nèi)舨捎靡恍缀巫儞Q手段，如平移、翻折、旋轉等，使某些圖形回歸到特殊位置，蘊涵在其中的數(shù)量關系和位置關系的便會由隱變顯，從而達到順利而又簡捷地解決問題的目的.

例2如圖2，四邊形ABCD和AEGH都是正方形，求GC∶HD的值.

分析觀察圖形，直接求GC∶HD的值確實不知道從何處入手.但注意到四邊形ABCD和AEGH都是正方形，我們不妨把圖2退到圖3的特殊位置，此時因為正方形AEGH的頂點E、H在正方形ABCD的邊上，所以∠GAE=∠CAB=45°，AE=AH，AB=AD，則A，G，C共線，AB-AE=AD-AH，進而得HD=BE，因為AG=AEsin45°=2AE，AC=ABsin45°=2AB，所以GC=AC-AG=2AB-2AE=2（AB-AE）=2BE=2HD，所以GC∶HD=2∶1.

解如圖4，連接AG、AC，因為AGAH=ACAD=2，所以AGAC=AHAD.又因為∠GAH=∠CAD=45°，所以∠GAH-∠CAH=∠CAD-∠CAH，即∠GAC=∠HAD，所以△CAG∽△DAH，所以GC∶HD=AC∶AD=2∶1.

點評本例從正方形AEGH的一般位置旋轉到圖3的特殊位置，發(fā)現(xiàn)了GC∶HD=2∶1，并由此獲得解題的啟發(fā)，作出輔助線順利求解.這樣讓一個看似“靜態(tài)”的圖形通過旋轉，打破了思維定勢，實現(xiàn)由隱至顯、由生至熟、由深至淺、由難至易的化歸與轉化，這是把對抽象、一般問題的探究轉向對具體、特殊問題的探究，此謂“退一步，海闊天空”！

3用“極端化策略”法探求運動變化過程中的最值

對于某些數(shù)學問題，如果按照題意直接求解（證）有很大的困難，我們可以嘗試變換一個角度去看問題，先找出符合題意的特殊值、特殊圖形、特殊位置來進行試探，往往能得到啟示，找到解題的途徑.

例3如圖5，兩平行線l1、l2的距離等于6，點A為l1上一定點.以AC為直徑的半圓紙片的半徑等于4.將半圓紙片裁剪得到扇形紙片AOB，圓心角∠AOB=α.將此扇形紙片繞著點A在l1、l2之間順時針旋轉，并要保證點B能落在直線l2上，請求的最大值和最小值.

（參考數(shù)椐：sin49°=34，cos41°=34，tan37°=34.）

分析由于以AC為直徑的半圓紙片繞著點A在l1、l2之間順時針旋轉，所以只要考慮兩種特殊情形：當OB⊥l2時，即點B是弧AB與l2相切的切點時，大到最大；當AB⊥l2時，達到最小值.

解當OB⊥l2時，α最大.如圖6，延長BO交l1于點C.因為l1∥l2，所以∠ACO=90°，所以cos∠AOC=COAO=12，所以∠AOC=60°，所以∠AOB=120°.

當AB⊥l2時，α最小.如圖7，過O作OH⊥AB交于點H.由垂徑定理，得AH=BH=3，所以sin∠AOH=AHAO=34，所以∠AOH=49°.因為α=2∠AOH，所以∠AOB=98°.

綜上所述，α的最大值和最小值分別是120°和98°.

點評本例看似較難入手，但由于扇形紙片繞著點A在l1、l2之間順時針旋轉，所以只要細心觀察、認真分析、積極思考，就能找到兩種特殊情形OB⊥l2或AB⊥l2，進而求得的最大值和最小值，這種解決問題的方法思路稱為極端化策略.極端化策略在進行某些數(shù)學過程的分析時，具有獨特作用，恰當應用極端性原則能提高解題效率，使問題化難為易，化繁為簡，思路靈活，從而達到事半功倍的效果

4用“極端化策略”法探求運動變化過程中的不變量

從特殊到一般，從一般到特殊的思維方法是數(shù)學和其他科學領域中進行探索發(fā)現(xiàn)真理的重要途徑.對于那些結論不明或解題思路不易發(fā)現(xiàn)的問題，可先考慮特殊情形，探求解題思路或命題的結論，再給出一般情況下的證明，體現(xiàn)了以退為進，以屈求伸的解題策略.endprint

例4如圖8，已知點A是第一象限內(nèi)橫坐標為的一個定點，AC⊥軸于點M，交直線于點N.若點P是線段ON上的一個動點，∠APB=30°，BA⊥PA，則點P在線段ON上運動時，A點不變，B點隨之運動，求當點P從點O運動到點N時，點B運動的路徑長是.

分析首先，用極端化策略考慮以下幾個位置：（1）點A與點M重合；（2）在ON上選取點P的幾個特殊位置（如O點、N點），描出相應的點B位置.從B的幾個位置猜想點B的運動路徑（或軌跡）為如圖9中的B0Bn.再利用相似可以證明.其次，如圖10所示，利用相似三角形△AB0Bn∽△AON，求出線段B0Bn的長度，即點B運動的路徑長.

解由題意可知，OM=22，點N在直線上，AC⊥x軸于點M，則△OMN為等腰直角三角形，ON=2OM=2×23=6.如圖9所示，設動點P在O點（起點）時，點B的位置為B0，動點P在N點（終點）時，點B的位置為Bn，連接B0Bn.因為AO⊥AB0，AN⊥ABn，所以∠OAC=∠B0ABn，又因為AB0=AO·tan30°，ABn=AN·tan30°，所以AB0∶AO=ABn∶AN=tan30°，所以△AB0Bn∽△AON，且相似比為tan30°，所以B0Bn=ON·tan30°=26×33=22.

現(xiàn)在來證明線段B0Bn就是點B運動的路徑（或軌跡）.

如圖10所示，當點P運動至ON上的任一點時，設其對應的點B為Bi，連接AP、ABi、B0Bi.因為AO⊥AB0，AP⊥ABi，所以∠OAP=∠B0ABi，又因為AB0=AO·tan30°，ABi=AP·tan30°，所以AB0∶AO=ABi∶AP，所以△AB0Bi∽△AOP，所以∠AB0Bi=∠AOP.又因為△AB0Bn∽△AON，所以∠AB0Bn=∠AOP，所以∠AB0Bi=∠AB0Bn，所以點Bi在線段B0Bn上，即線段B0Bn就是點B運動的路徑（或軌跡）.綜上所述，點B運動的路徑（或軌跡）是線段B0Bn，其長度為22.

點評蘇諄教授曾說：“簡單情形正像是一把鑰匙、一面鏡子，可以為我們解答復雜的數(shù)學問題提供啟示與借鑒”.對于一類以探究“定值”、“定點”、“定線”為特征的數(shù)學題，可以通過“主動尋求與建構特例”，巧妙鎖定思維方向，迅速實現(xiàn)問題解決.“特例探路”實質上是一種“以退為進”的策略——退中悟理，執(zhí)理而進.這樣，就大大避免了探索的盲目性，使思維過程優(yōu)化變短，顯得簡潔明快.所謂“難的不會，想簡單的”，說的就是這個道理.

以上僅從四個方面談了“極端化策略”法在解題中的運用.事實上，“極端化策略”法遠不止這些.只要我們認真總結，用心感悟，靈活運用，就會將“極端化策略”法變成解決數(shù)學問題的法寶和利器.

參考文獻

[1]錢德春.活用解題策略方入思維勝境——例談數(shù)學中考壓軸題的解題策略[J].中學數(shù)學雜志（初中版），2014（2）：51-53.endprint

例4如圖8，已知點A是第一象限內(nèi)橫坐標為的一個定點，AC⊥軸于點M，交直線于點N.若點P是線段ON上的一個動點，∠APB=30°，BA⊥PA，則點P在線段ON上運動時，A點不變，B點隨之運動，求當點P從點O運動到點N時，點B運動的路徑長是.

分析首先，用極端化策略考慮以下幾個位置：（1）點A與點M重合；（2）在ON上選取點P的幾個特殊位置（如O點、N點），描出相應的點B位置.從B的幾個位置猜想點B的運動路徑（或軌跡）為如圖9中的B0Bn.再利用相似可以證明.其次，如圖10所示，利用相似三角形△AB0Bn∽△AON，求出線段B0Bn的長度，即點B運動的路徑長.

解由題意可知，OM=22，點N在直線上，AC⊥x軸于點M，則△OMN為等腰直角三角形，ON=2OM=2×23=6.如圖9所示，設動點P在O點（起點）時，點B的位置為B0，動點P在N點（終點）時，點B的位置為Bn，連接B0Bn.因為AO⊥AB0，AN⊥ABn，所以∠OAC=∠B0ABn，又因為AB0=AO·tan30°，ABn=AN·tan30°，所以AB0∶AO=ABn∶AN=tan30°，所以△AB0Bn∽△AON，且相似比為tan30°，所以B0Bn=ON·tan30°=26×33=22.

現(xiàn)在來證明線段B0Bn就是點B運動的路徑（或軌跡）.

如圖10所示，當點P運動至ON上的任一點時，設其對應的點B為Bi，連接AP、ABi、B0Bi.因為AO⊥AB0，AP⊥ABi，所以∠OAP=∠B0ABi，又因為AB0=AO·tan30°，ABi=AP·tan30°，所以AB0∶AO=ABi∶AP，所以△AB0Bi∽△AOP，所以∠AB0Bi=∠AOP.又因為△AB0Bn∽△AON，所以∠AB0Bn=∠AOP，所以∠AB0Bi=∠AB0Bn，所以點Bi在線段B0Bn上，即線段B0Bn就是點B運動的路徑（或軌跡）.綜上所述，點B運動的路徑（或軌跡）是線段B0Bn，其長度為22.

點評蘇諄教授曾說：“簡單情形正像是一把鑰匙、一面鏡子，可以為我們解答復雜的數(shù)學問題提供啟示與借鑒”.對于一類以探究“定值”、“定點”、“定線”為特征的數(shù)學題，可以通過“主動尋求與建構特例”，巧妙鎖定思維方向，迅速實現(xiàn)問題解決.“特例探路”實質上是一種“以退為進”的策略——退中悟理，執(zhí)理而進.這樣，就大大避免了探索的盲目性，使思維過程優(yōu)化變短，顯得簡潔明快.所謂“難的不會，想簡單的”，說的就是這個道理.

以上僅從四個方面談了“極端化策略”法在解題中的運用.事實上，“極端化策略”法遠不止這些.只要我們認真總結，用心感悟，靈活運用，就會將“極端化策略”法變成解決數(shù)學問題的法寶和利器.

參考文獻

[1]錢德春.活用解題策略方入思維勝境——例談數(shù)學中考壓軸題的解題策略[J].中學數(shù)學雜志（初中版），2014（2）：51-53.endprint

例4如圖8，已知點A是第一象限內(nèi)橫坐標為的一個定點，AC⊥軸于點M，交直線于點N.若點P是線段ON上的一個動點，∠APB=30°，BA⊥PA，則點P在線段ON上運動時，A點不變，B點隨之運動，求當點P從點O運動到點N時，點B運動的路徑長是.

分析首先，用極端化策略考慮以下幾個位置：（1）點A與點M重合；（2）在ON上選取點P的幾個特殊位置（如O點、N點），描出相應的點B位置.從B的幾個位置猜想點B的運動路徑（或軌跡）為如圖9中的B0Bn.再利用相似可以證明.其次，如圖10所示，利用相似三角形△AB0Bn∽△AON，求出線段B0Bn的長度，即點B運動的路徑長.

解由題意可知，OM=22，點N在直線上，AC⊥x軸于點M，則△OMN為等腰直角三角形，ON=2OM=2×23=6.如圖9所示，設動點P在O點（起點）時，點B的位置為B0，動點P在N點（終點）時，點B的位置為Bn，連接B0Bn.因為AO⊥AB0，AN⊥ABn，所以∠OAC=∠B0ABn，又因為AB0=AO·tan30°，ABn=AN·tan30°，所以AB0∶AO=ABn∶AN=tan30°，所以△AB0Bn∽△AON，且相似比為tan30°，所以B0Bn=ON·tan30°=26×33=22.

現(xiàn)在來證明線段B0Bn就是點B運動的路徑（或軌跡）.

如圖10所示，當點P運動至ON上的任一點時，設其對應的點B為Bi，連接AP、ABi、B0Bi.因為AO⊥AB0，AP⊥ABi，所以∠OAP=∠B0ABi，又因為AB0=AO·tan30°，ABi=AP·tan30°，所以AB0∶AO=ABi∶AP，所以△AB0Bi∽△AOP，所以∠AB0Bi=∠AOP.又因為△AB0Bn∽△AON，所以∠AB0Bn=∠AOP，所以∠AB0Bi=∠AB0Bn，所以點Bi在線段B0Bn上，即線段B0Bn就是點B運動的路徑（或軌跡）.綜上所述，點B運動的路徑（或軌跡）是線段B0Bn，其長度為22.

點評蘇諄教授曾說：“簡單情形正像是一把鑰匙、一面鏡子，可以為我們解答復雜的數(shù)學問題提供啟示與借鑒”.對于一類以探究“定值”、“定點”、“定線”為特征的數(shù)學題，可以通過“主動尋求與建構特例”，巧妙鎖定思維方向，迅速實現(xiàn)問題解決.“特例探路”實質上是一種“以退為進”的策略——退中悟理，執(zhí)理而進.這樣，就大大避免了探索的盲目性，使思維過程優(yōu)化變短，顯得簡潔明快.所謂“難的不會，想簡單的”，說的就是這個道理.

以上僅從四個方面談了“極端化策略”法在解題中的運用.事實上，“極端化策略”法遠不止這些.只要我們認真總結，用心感悟，靈活運用，就會將“極端化策略”法變成解決數(shù)學問題的法寶和利器.

參考文獻

[1]錢德春.活用解題策略方入思維勝境——例談數(shù)學中考壓軸題的解題策略[J].中學數(shù)學雜志（初中版），2014（2）：51-53.endprint