試題編制，一門遺憾的藝術(shù)

1問題提出

何謂試卷區(qū)分位置上的好題，這是命題者、教學(xué)與學(xué)生共同關(guān)注的問題，有時，命題者精心設(shè)計的試題，在實踐中卻難以達到預(yù)期效果.2014年泰州中考卷的第25題（共26題）就是這樣的題.從考試過程看，不少考生用去了不少時間，影響其他問題的解答；從數(shù)據(jù)統(tǒng)計來看，滿分12分的題平均分只有286，難度系數(shù)為0238.作為命題人，筆者與相關(guān)教師和教研人員進行了交流，他們認為：試題考查了主要知識與核心概念，并非偏難刁鉆.肖維松老師在文《回到概念：解題教學(xué)的一種取向》[1]中談及該題時認為：試題的條件“試圖讓學(xué)生回到核心概念思考求解思路”，“比如讓學(xué)生回到圓、弧的概念，直線和圓相切的概念與性質(zhì)；”、“回到圓周角概念”、“想起直角三角形和勾股定理這些核心概念”.那么，為什么考試數(shù)據(jù)與命題預(yù)設(shè)有如此大的反差？命題意圖何在？思維障礙何在？試題應(yīng)該如何優(yōu)化？有何反思之處？對教學(xué)有何啟示？本文擬對上述問題進行深入的探討.

2真題呈現(xiàn)

如圖1，平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y=-34x+b（b為常數(shù)，b>0）的圖象與x軸、y軸分別相交于點A、B，半徑為4的⊙O與x軸正半軸相交于點C，與y軸相交于點D、E，點D在點E上方.

（1）若直線AB與CD有兩個交點F、G.

①求∠CFE的度數(shù)；

②用含b的代數(shù)式表示，并直接寫出b的取值范圍；

（2）設(shè)b≥5，在線段AB上是否存在點P，使∠CPE=45°？若存在，請求出P點坐標；若不存在，請說明理由.

3試題簡解

（1）①（略）②如圖1，過O點作OH⊥AB于H，連接OG，則FH=HG.由題意可知：OA=43b，OB=b，所以AB=（43b）2+b2=53b，所以SΔAOB=12·OA·OB=12·OH·AB得OH=45b，故在Rt△CHD中，HG2=42-（45b）2=16-1625b2，所以FG2=（2HG）2=64-6425b2，b的取值范圍是4≤b<5.

（2）如圖2，①當b=5時，OH=OC=4，則AB與⊙O相切，切點為H，此時存在點P，就是點H，計算得P點坐標為（125，165）；②當b>5時，OH=45b>4，所以AB與⊙O相離，所以P點一定在⊙O外，連接PE、PC，設(shè)PE交⊙O于Q，則∠EPC<∠EQC=45°，所以當b>5時，點P不存在.

故當b=5時，滿足條件的P點坐標為（125，165）；當b>5時滿足條件的點P不存在.

4命題意圖

1.考查初中數(shù)學(xué)的核心知識.“‘源于教材又高于教材已成為全國及各地中考命題的一項準則”[2]，泰州中考命題也不例外.本題所有問題都能從教材中找到源頭，如求圓周角的度數(shù)、用b表示等.問題（2）命制思路源于蘇科實驗版教材[3]，“利用線心距判斷直線與圓的位置關(guān)系”源于九年級第5章第5節(jié)（第127—128頁）“直線與圓的位置關(guān)系”，“圓外角小于同弧所對的圓周角”源于九年級第五章第3節(jié)（第119頁）“圓周角”的例1.這些都是教材主干知識.現(xiàn)行課程標準降低了圓相關(guān)的證明要求，并作了適當刪減，但圓周角定理、垂徑定理、直線與圓位置關(guān)系的判斷、性質(zhì)則是核心內(nèi)容.另外，本題所用到的一次函數(shù)圖像與坐標軸的交點、面積公式、三角形相似等也是初中數(shù)學(xué)的重要知識.

2.考查重要數(shù)學(xué)思想方法.試題強化了對重要數(shù)學(xué)思想的考查，如模型思想：通過構(gòu)建方程，利用方程模型解決問題；轉(zhuǎn)化思想：把角的存在性問題轉(zhuǎn)化為直線與圓的位置關(guān)系問題；特殊與一般思想和分類思想：把“b≥5”分為“b=5”的特殊情形與“b>5”的一般情形來加以討論；數(shù)形結(jié)合思想：問題置于直角坐標系中，將“形”的問題用“數(shù)（式）”的方法解決，“數(shù)“的問題又可以用“形”來直觀表示.從方法上說，從FG是圓的弦角度思考，嘗試作弦心距構(gòu)造直角坐標三角形解決；用面積法或相似法求原點到直線的距離等，都是極其常見的方法.命題者并沒有別出心裁，而是圍繞基本方法進行試題的設(shè)計，旨在引導(dǎo)教師在教學(xué)中以教材為本，關(guān)注核心知識與數(shù)學(xué)本質(zhì)，著力滲透數(shù)學(xué)思想與方法.

3.考查學(xué)生良好的思維品質(zhì).思維的發(fā)散性與縝密性是學(xué)生數(shù)學(xué)能力的重要標志.本題的問題（2）屬于存在性問題，存在性問題在中考中一直受到追捧.“常見的模式是在題干后提出問題：‘是否存在……，使……？如果存在，請求出（寫出）……；如果不存在，請說明理由”[4].解題范式一般是：“猜想或假設(shè)問題的某種關(guān)系或結(jié)論存在，經(jīng)過分析、歸納、演算、推理，若得出的關(guān)系或結(jié)論與已知條件或某個定理、公理等相符，則表明原來猜想或假設(shè)問題的某種關(guān)系或結(jié)論存在；否則不存在.”[4]本題有兩方面創(chuàng)新：一是打破常規(guī)解題范式，無需“假設(shè)結(jié)論存在”，而是直接由條件“b≥5”分為“b=5”和“b>5”兩種情形判斷結(jié)論存在與否；二是結(jié)論不是“無條件存在”，如本題中當b=5時，在線段AB上存在使∠CPE=45°的P點；當b>5時，滿足條件的點就不存在.這需要學(xué)生的思維具有一定的發(fā)散性與縝密性，對數(shù)學(xué)思維品質(zhì)提出了較高要求.

4.考查學(xué)生后續(xù)發(fā)展能力.本題的“用參數(shù)表示一個量”，著眼初中與高中知識方法的銜接點，考查對“代數(shù)式”本質(zhì)意義的理解、形與數(shù)（式）關(guān)系處理等能力，這是學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)必備的能力.

5思維障礙

學(xué)生的思維障礙主要在問題（1）②的“用b的代數(shù)式表示FG2”的處理上，有3個障礙點：

1.策略選擇障礙.學(xué)生緊緊盯住FG2想到列比例式或兩點間距離公式解決，很少嘗試分割FG.數(shù)學(xué)教育的目的之一在于引導(dǎo)學(xué)生如何思考，題目的條件和結(jié)論都是思路源.就條件而言，看到條件得到什么結(jié)論；從結(jié)論出發(fā)，要得到這個結(jié)論常用什么策略，二者相互作用，不可或缺.不妨就問題（1）②的條件換一個角度思考：FG是什么？——圓的弦，自然聯(lián)想到垂徑定理，思路就豁然了.endprint

2.數(shù)學(xué)思想障礙.由“具體數(shù)”到“用字母表示”是“特殊到一般”的思想，這是代數(shù)思想的精髓.學(xué)生平時解題中對具體數(shù)接觸較多，本題中“用y=-34x+b中的b表示弦心距”時，對參數(shù)b的處理就顯得茫然.只要稍作自我追問：這里的b可不可以代表具體數(shù)值呢？就不會束手無策了.

3.數(shù)感缺乏障礙.《義務(wù)教育課程標準·數(shù)學(xué)》（2011版）提出了“數(shù)感”的概念，“主要是指關(guān)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運算結(jié)果估計等方面的感悟”[4].求出點A（0，b）、B（43b，0）后，在求AB=（43b）2+b2=53b及原點到AB的距離時感到困難，這或許有二次根式運算不過關(guān)的原因，但一個很重要的原因是數(shù)感缺乏.點A、B的坐標中暗含了勾股數(shù)，如果把b、43b同時擴大3倍得到3b、4b就不難發(fā)現(xiàn)其中的玄機.又如數(shù)學(xué)問題中碰到2、3、5等特殊的數(shù)會有何聯(lián)想與啟發(fā)？

6試題反思

回頭想來，試題也有值得反思之處.一是圖形背景較復(fù)雜.本試題的“直角坐標系”背景讓學(xué)生難以適應(yīng)，加之圖形字母多，形成了思維干擾.二是思路入口較窄.問題（1）②“過圓心O作FG的垂線構(gòu)造直角三角形”成為“自古華山一條道”.三是試題關(guān)聯(lián)不夠.從問題（1）①到問題（1）②之間跨度太大，盡管問題（1）①的解決為問題（2）作了一定鋪添，但這中間相隔了一小題，顯得不很和諧.

如果將題目作如下改進，則更能貼近學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū).

如圖3，直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y=-x+b（b為常數(shù)）的圖象與x軸、y軸分別相交于點A、B；半徑為5的⊙O與x軸正半軸相交于點C，與y軸相交于點D、E，點D在點E上方.

（1）若Q為CD上異于C、D的點，線段AB經(jīng)過點Q.

①求∠CQE的度數(shù)；

②用含b的代數(shù)式表示QA·QB；

（2）設(shè)b≥52，在線段AB上是否存在點P，使∠CPE=45°？若存在，請求出P點坐標；若不存在，請說明理由.

改進后的試題有有以下特點：

1.問題層次更明.相對原題的一次函數(shù)“y=-34x+b”而言，“y=-x+b”更特殊，容易得到∠QBA=∠OAB=45°，方便了“用含b的代數(shù)式”表示相關(guān)線段，降低了問題起點，而問題（2）的難度與原題相當.

2.關(guān)聯(lián)程度更強.改進后的問題（1）①中的結(jié)論∠CQE=45°為（1）②中必須證明的△BEQ∽△AQC提供了必要的條件；而問題（1）②中的“用含b的代數(shù)式表示QA·QB”又為問題（2）的解決提供了其中一種思路.

3.思路入口更寬.問題（1）②中的“②用含b的代數(shù)式表示QA·QB”，看到“QA·QB”的結(jié)構(gòu)，自然想到三角形相似的策略，從而設(shè)法找含有邊QA、QB的兩個三角形.而由y=-x+b很快得到∠QBA=∠OAB=45°，再由（1）①的結(jié)論“∠CQE=45°”容易得到△BEQ∽△AQC，至此問題獲得解決.這里的“y=-x+b”、“求∠CQE的度數(shù)”、“QA·QB”等都為后續(xù)的問題解決提供了充分的信息流和有效的方法源.問題（2）從不同的角度出發(fā)，可以有不同的思路，得到不同的有效解決策略.

思路一：構(gòu)造一元二次方程，把“角的存在性問題”轉(zhuǎn)化“判斷所構(gòu)造方程實數(shù)根的存在性問題”.假設(shè)點P存在，由問題（1）②中的QA·QB=b2-25類比得PA·PB=b2-25，設(shè)BP=x，由y=-x+b得AB=2b，有x2-2bx+b2-25=0，再分b>52和b=52判別方程根的情況從而決定點P的存在與否.

思路二：把“角的存在性問題”轉(zhuǎn)化為“判斷線段AB直與⊙O是否有公共點”，進而轉(zhuǎn)化為“判斷線段AB（等價于直線AB）與⊙O的位置關(guān)系”.如圖4，作OH⊥BC于點H得OH=22b，當b=52時，OH=OC=5，AB切⊙O于點H，此時存在點P（即切點H）；當b>52時，OH=22b>5，AB與⊙O相離，故點P在⊙O外.

7結(jié)語

試題編制有如建筑設(shè)計，是一門遺憾的藝術(shù).試題要“引導(dǎo)教師注重通式通法的講解，多培養(yǎng)學(xué)生的思維和探究能力，而不是靠反復(fù)操練取勝.但要跳出圈子進行創(chuàng)新，又何其難”[6].常有這樣一種現(xiàn)象：一道令學(xué)生費盡周折、絞盡腦汁的試題，對命題者而言或許只是“小菜一碟”，這正是“不識廬山真面目，只緣身在此山中”.客觀上說，命題與解題的思維是互逆的（如圖5圖5所示），有如“藏東西”與“找東西”的“包圍”與“突圍”之間的關(guān)系.命題者預(yù)設(shè)好目標與結(jié)論，再反推得出條件（入口），其入口對命題者是已知的、明確的；而解題者則要從諸多入口中尋找適合的一個或幾個入口，并在分析過程中不斷地尋找與篩選，其入口是隱蔽的、相互干擾的.

命題者必須換位思考，從學(xué)生的角度出發(fā)，善于自我否定、“自以為非”，力求區(qū)分位置的試題有較寬的思維入口、較好的試題梯度，讓學(xué)生能多角度思考、有多策略選擇.“小題之間具有并列中的遞進關(guān)系.所謂并列是指有所同有所不同.同就是相互之間具有關(guān)聯(lián)的邏輯關(guān)系，相互和諧、協(xié)調(diào)、相融；不同就是考查內(nèi)容、思想方法有所側(cè)重；遞進有兩層意思：一是引導(dǎo)性，前一個問題結(jié)論是后一個問題的基礎(chǔ)和鋪添，前一個問題的解題思路對后一個問題的解決有一定的引導(dǎo)性；二是層次性，即思維是逐步深入的.”[7]學(xué)生“入手”容易“收手”難，不同的學(xué)生可以達到不同的層次、收獲不同的體驗.

參考文獻

[1]肖維松.回到概念：解題教學(xué)的一種取向[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬）.2014（7）：46-48.

[2]于清來.命制初中數(shù)學(xué)試題十種簡易途徑及注意點[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志.2013（10）：29-33.

[3]楊裕前，董林偉.義務(wù)教育實驗教科書·數(shù)學(xué)[M].江蘇科技出版社，20136.

[4]錢德春.也談初中數(shù)學(xué)的存在性問題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬）.2014（1/2）：72-74.

[5]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2011.

[6]潘建德.從一道中考壓軸題的磨制過程看初中數(shù)學(xué)考題的命制[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志.2013（8）：43-45.

[7]錢德春.中考試題我來編（題目5）點評[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬）.2014（4）：50-52.endprint

2.數(shù)學(xué)思想障礙.由“具體數(shù)”到“用字母表示”是“特殊到一般”的思想，這是代數(shù)思想的精髓.學(xué)生平時解題中對具體數(shù)接觸較多，本題中“用y=-34x+b中的b表示弦心距”時，對參數(shù)b的處理就顯得茫然.只要稍作自我追問：這里的b可不可以代表具體數(shù)值呢？就不會束手無策了.

3.數(shù)感缺乏障礙.《義務(wù)教育課程標準·數(shù)學(xué)》（2011版）提出了“數(shù)感”的概念，“主要是指關(guān)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運算結(jié)果估計等方面的感悟”[4].求出點A（0，b）、B（43b，0）后，在求AB=（43b）2+b2=53b及原點到AB的距離時感到困難，這或許有二次根式運算不過關(guān)的原因，但一個很重要的原因是數(shù)感缺乏.點A、B的坐標中暗含了勾股數(shù)，如果把b、43b同時擴大3倍得到3b、4b就不難發(fā)現(xiàn)其中的玄機.又如數(shù)學(xué)問題中碰到2、3、5等特殊的數(shù)會有何聯(lián)想與啟發(fā)？

6試題反思

回頭想來，試題也有值得反思之處.一是圖形背景較復(fù)雜.本試題的“直角坐標系”背景讓學(xué)生難以適應(yīng)，加之圖形字母多，形成了思維干擾.二是思路入口較窄.問題（1）②“過圓心O作FG的垂線構(gòu)造直角三角形”成為“自古華山一條道”.三是試題關(guān)聯(lián)不夠.從問題（1）①到問題（1）②之間跨度太大，盡管問題（1）①的解決為問題（2）作了一定鋪添，但這中間相隔了一小題，顯得不很和諧.

如果將題目作如下改進，則更能貼近學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū).

如圖3，直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y=-x+b（b為常數(shù)）的圖象與x軸、y軸分別相交于點A、B；半徑為5的⊙O與x軸正半軸相交于點C，與y軸相交于點D、E，點D在點E上方.

（1）若Q為CD上異于C、D的點，線段AB經(jīng)過點Q.

①求∠CQE的度數(shù)；

②用含b的代數(shù)式表示QA·QB；

（2）設(shè)b≥52，在線段AB上是否存在點P，使∠CPE=45°？若存在，請求出P點坐標；若不存在，請說明理由.

改進后的試題有有以下特點：

1.問題層次更明.相對原題的一次函數(shù)“y=-34x+b”而言，“y=-x+b”更特殊，容易得到∠QBA=∠OAB=45°，方便了“用含b的代數(shù)式”表示相關(guān)線段，降低了問題起點，而問題（2）的難度與原題相當.

2.關(guān)聯(lián)程度更強.改進后的問題（1）①中的結(jié)論∠CQE=45°為（1）②中必須證明的△BEQ∽△AQC提供了必要的條件；而問題（1）②中的“用含b的代數(shù)式表示QA·QB”又為問題（2）的解決提供了其中一種思路.

3.思路入口更寬.問題（1）②中的“②用含b的代數(shù)式表示QA·QB”，看到“QA·QB”的結(jié)構(gòu)，自然想到三角形相似的策略，從而設(shè)法找含有邊QA、QB的兩個三角形.而由y=-x+b很快得到∠QBA=∠OAB=45°，再由（1）①的結(jié)論“∠CQE=45°”容易得到△BEQ∽△AQC，至此問題獲得解決.這里的“y=-x+b”、“求∠CQE的度數(shù)”、“QA·QB”等都為后續(xù)的問題解決提供了充分的信息流和有效的方法源.問題（2）從不同的角度出發(fā)，可以有不同的思路，得到不同的有效解決策略.

思路一：構(gòu)造一元二次方程，把“角的存在性問題”轉(zhuǎn)化“判斷所構(gòu)造方程實數(shù)根的存在性問題”.假設(shè)點P存在，由問題（1）②中的QA·QB=b2-25類比得PA·PB=b2-25，設(shè)BP=x，由y=-x+b得AB=2b，有x2-2bx+b2-25=0，再分b>52和b=52判別方程根的情況從而決定點P的存在與否.

思路二：把“角的存在性問題”轉(zhuǎn)化為“判斷線段AB直與⊙O是否有公共點”，進而轉(zhuǎn)化為“判斷線段AB（等價于直線AB）與⊙O的位置關(guān)系”.如圖4，作OH⊥BC于點H得OH=22b，當b=52時，OH=OC=5，AB切⊙O于點H，此時存在點P（即切點H）；當b>52時，OH=22b>5，AB與⊙O相離，故點P在⊙O外.

7結(jié)語

試題編制有如建筑設(shè)計，是一門遺憾的藝術(shù).試題要“引導(dǎo)教師注重通式通法的講解，多培養(yǎng)學(xué)生的思維和探究能力，而不是靠反復(fù)操練取勝.但要跳出圈子進行創(chuàng)新，又何其難”[6].常有這樣一種現(xiàn)象：一道令學(xué)生費盡周折、絞盡腦汁的試題，對命題者而言或許只是“小菜一碟”，這正是“不識廬山真面目，只緣身在此山中”.客觀上說，命題與解題的思維是互逆的（如圖5圖5所示），有如“藏東西”與“找東西”的“包圍”與“突圍”之間的關(guān)系.命題者預(yù)設(shè)好目標與結(jié)論，再反推得出條件（入口），其入口對命題者是已知的、明確的；而解題者則要從諸多入口中尋找適合的一個或幾個入口，并在分析過程中不斷地尋找與篩選，其入口是隱蔽的、相互干擾的.

命題者必須換位思考，從學(xué)生的角度出發(fā)，善于自我否定、“自以為非”，力求區(qū)分位置的試題有較寬的思維入口、較好的試題梯度，讓學(xué)生能多角度思考、有多策略選擇.“小題之間具有并列中的遞進關(guān)系.所謂并列是指有所同有所不同.同就是相互之間具有關(guān)聯(lián)的邏輯關(guān)系，相互和諧、協(xié)調(diào)、相融；不同就是考查內(nèi)容、思想方法有所側(cè)重；遞進有兩層意思：一是引導(dǎo)性，前一個問題結(jié)論是后一個問題的基礎(chǔ)和鋪添，前一個問題的解題思路對后一個問題的解決有一定的引導(dǎo)性；二是層次性，即思維是逐步深入的.”[7]學(xué)生“入手”容易“收手”難，不同的學(xué)生可以達到不同的層次、收獲不同的體驗.

參考文獻

[1]肖維松.回到概念：解題教學(xué)的一種取向[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬）.2014（7）：46-48.

[2]于清來.命制初中數(shù)學(xué)試題十種簡易途徑及注意點[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志.2013（10）：29-33.

[3]楊裕前，董林偉.義務(wù)教育實驗教科書·數(shù)學(xué)[M].江蘇科技出版社，20136.

[4]錢德春.也談初中數(shù)學(xué)的存在性問題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬）.2014（1/2）：72-74.

[5]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2011.

[6]潘建德.從一道中考壓軸題的磨制過程看初中數(shù)學(xué)考題的命制[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志.2013（8）：43-45.

[7]錢德春.中考試題我來編（題目5）點評[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬）.2014（4）：50-52.endprint

2.數(shù)學(xué)思想障礙.由“具體數(shù)”到“用字母表示”是“特殊到一般”的思想，這是代數(shù)思想的精髓.學(xué)生平時解題中對具體數(shù)接觸較多，本題中“用y=-34x+b中的b表示弦心距”時，對參數(shù)b的處理就顯得茫然.只要稍作自我追問：這里的b可不可以代表具體數(shù)值呢？就不會束手無策了.

3.數(shù)感缺乏障礙.《義務(wù)教育課程標準·數(shù)學(xué)》（2011版）提出了“數(shù)感”的概念，“主要是指關(guān)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運算結(jié)果估計等方面的感悟”[4].求出點A（0，b）、B（43b，0）后，在求AB=（43b）2+b2=53b及原點到AB的距離時感到困難，這或許有二次根式運算不過關(guān)的原因，但一個很重要的原因是數(shù)感缺乏.點A、B的坐標中暗含了勾股數(shù)，如果把b、43b同時擴大3倍得到3b、4b就不難發(fā)現(xiàn)其中的玄機.又如數(shù)學(xué)問題中碰到2、3、5等特殊的數(shù)會有何聯(lián)想與啟發(fā)？

6試題反思

回頭想來，試題也有值得反思之處.一是圖形背景較復(fù)雜.本試題的“直角坐標系”背景讓學(xué)生難以適應(yīng)，加之圖形字母多，形成了思維干擾.二是思路入口較窄.問題（1）②“過圓心O作FG的垂線構(gòu)造直角三角形”成為“自古華山一條道”.三是試題關(guān)聯(lián)不夠.從問題（1）①到問題（1）②之間跨度太大，盡管問題（1）①的解決為問題（2）作了一定鋪添，但這中間相隔了一小題，顯得不很和諧.

如果將題目作如下改進，則更能貼近學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū).

如圖3，直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y=-x+b（b為常數(shù)）的圖象與x軸、y軸分別相交于點A、B；半徑為5的⊙O與x軸正半軸相交于點C，與y軸相交于點D、E，點D在點E上方.

（1）若Q為CD上異于C、D的點，線段AB經(jīng)過點Q.

①求∠CQE的度數(shù)；

②用含b的代數(shù)式表示QA·QB；

（2）設(shè)b≥52，在線段AB上是否存在點P，使∠CPE=45°？若存在，請求出P點坐標；若不存在，請說明理由.

改進后的試題有有以下特點：

1.問題層次更明.相對原題的一次函數(shù)“y=-34x+b”而言，“y=-x+b”更特殊，容易得到∠QBA=∠OAB=45°，方便了“用含b的代數(shù)式”表示相關(guān)線段，降低了問題起點，而問題（2）的難度與原題相當.

2.關(guān)聯(lián)程度更強.改進后的問題（1）①中的結(jié)論∠CQE=45°為（1）②中必須證明的△BEQ∽△AQC提供了必要的條件；而問題（1）②中的“用含b的代數(shù)式表示QA·QB”又為問題（2）的解決提供了其中一種思路.

3.思路入口更寬.問題（1）②中的“②用含b的代數(shù)式表示QA·QB”，看到“QA·QB”的結(jié)構(gòu)，自然想到三角形相似的策略，從而設(shè)法找含有邊QA、QB的兩個三角形.而由y=-x+b很快得到∠QBA=∠OAB=45°，再由（1）①的結(jié)論“∠CQE=45°”容易得到△BEQ∽△AQC，至此問題獲得解決.這里的“y=-x+b”、“求∠CQE的度數(shù)”、“QA·QB”等都為后續(xù)的問題解決提供了充分的信息流和有效的方法源.問題（2）從不同的角度出發(fā)，可以有不同的思路，得到不同的有效解決策略.

思路一：構(gòu)造一元二次方程，把“角的存在性問題”轉(zhuǎn)化“判斷所構(gòu)造方程實數(shù)根的存在性問題”.假設(shè)點P存在，由問題（1）②中的QA·QB=b2-25類比得PA·PB=b2-25，設(shè)BP=x，由y=-x+b得AB=2b，有x2-2bx+b2-25=0，再分b>52和b=52判別方程根的情況從而決定點P的存在與否.

思路二：把“角的存在性問題”轉(zhuǎn)化為“判斷線段AB直與⊙O是否有公共點”，進而轉(zhuǎn)化為“判斷線段AB（等價于直線AB）與⊙O的位置關(guān)系”.如圖4，作OH⊥BC于點H得OH=22b，當b=52時，OH=OC=5，AB切⊙O于點H，此時存在點P（即切點H）；當b>52時，OH=22b>5，AB與⊙O相離，故點P在⊙O外.

7結(jié)語

試題編制有如建筑設(shè)計，是一門遺憾的藝術(shù).試題要“引導(dǎo)教師注重通式通法的講解，多培養(yǎng)學(xué)生的思維和探究能力，而不是靠反復(fù)操練取勝.但要跳出圈子進行創(chuàng)新，又何其難”[6].常有這樣一種現(xiàn)象：一道令學(xué)生費盡周折、絞盡腦汁的試題，對命題者而言或許只是“小菜一碟”，這正是“不識廬山真面目，只緣身在此山中”.客觀上說，命題與解題的思維是互逆的（如圖5圖5所示），有如“藏東西”與“找東西”的“包圍”與“突圍”之間的關(guān)系.命題者預(yù)設(shè)好目標與結(jié)論，再反推得出條件（入口），其入口對命題者是已知的、明確的；而解題者則要從諸多入口中尋找適合的一個或幾個入口，并在分析過程中不斷地尋找與篩選，其入口是隱蔽的、相互干擾的.

命題者必須換位思考，從學(xué)生的角度出發(fā)，善于自我否定、“自以為非”，力求區(qū)分位置的試題有較寬的思維入口、較好的試題梯度，讓學(xué)生能多角度思考、有多策略選擇.“小題之間具有并列中的遞進關(guān)系.所謂并列是指有所同有所不同.同就是相互之間具有關(guān)聯(lián)的邏輯關(guān)系，相互和諧、協(xié)調(diào)、相融；不同就是考查內(nèi)容、思想方法有所側(cè)重；遞進有兩層意思：一是引導(dǎo)性，前一個問題結(jié)論是后一個問題的基礎(chǔ)和鋪添，前一個問題的解題思路對后一個問題的解決有一定的引導(dǎo)性；二是層次性，即思維是逐步深入的.”[7]學(xué)生“入手”容易“收手”難，不同的學(xué)生可以達到不同的層次、收獲不同的體驗.

參考文獻

[1]肖維松.回到概念：解題教學(xué)的一種取向[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬）.2014（7）：46-48.

[2]于清來.命制初中數(shù)學(xué)試題十種簡易途徑及注意點[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志.2013（10）：29-33.

[3]楊裕前，董林偉.義務(wù)教育實驗教科書·數(shù)學(xué)[M].江蘇科技出版社，20136.

[4]錢德春.也談初中數(shù)學(xué)的存在性問題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬）.2014（1/2）：72-74.

[5]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2011.

[6]潘建德.從一道中考壓軸題的磨制過程看初中數(shù)學(xué)考題的命制[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志.2013（8）：43-45.

[7]錢德春.中考試題我來編（題目5）點評[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬）.2014（4）：50-52.endprint