“次數(shù)”，解題中的一個(gè)重要抓手

王宏平

摘 要： 本文通過三角、代數(shù)、立幾等方面的幾個(gè)例題，較深刻地闡述了“次數(shù)”在解題中的重要性，不僅對培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力有所幫助，對提高學(xué)生的思維能力也有很大的促進(jìn)作用.

關(guān)鍵詞： 次數(shù) 解題 合情推理

合情推理是指根據(jù)已有的事實(shí)、正確的結(jié)論、實(shí)驗(yàn)和實(shí)踐的結(jié)果，以及個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)和直覺等推測某些結(jié)果的推理過程.雖然合情推理得到的結(jié)論不一定正確，但若是一個(gè)問題都不能合乎情理，那么其正確的可能性恐怕就微乎其微了.因此，我們在研究問題時(shí)，可以先對解決問題思路和方法的合情合理程度進(jìn)行思考，通過對問題進(jìn)行合情猜測與推理，幫助我們有效地尋找到解決問題的途徑和方法.分析問題和解決問題是有一個(gè)思維過程的，解題者一般需要經(jīng)歷宏觀決策、微觀處理和反饋修正三個(gè)階段.其中宏觀決策包含了分析、猜想和決策及實(shí)踐操作的過程，當(dāng)實(shí)踐證明決策是正確時(shí)，就可以轉(zhuǎn)入微觀處理階段，將問題具體地給予解決，而當(dāng)實(shí)踐證明決策有誤之時(shí)，就需要進(jìn)行反饋修正，重新進(jìn)行分析、猜想，做出新的決策，直至問題解決為止.

“次數(shù)”在分析問題和解決問題的宏觀階段就是眾多的考慮因素之一.“次數(shù)”是學(xué)生在初中學(xué)習(xí)單項(xiàng)式時(shí)就已了解的概念，學(xué)生對它的認(rèn)識是有一定基礎(chǔ)的.從一元一次方程，一元二次方程，到一次函數(shù)，二次函數(shù)，再到指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)，學(xué)生在中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中一直在和“次數(shù)”打交道，但學(xué)生對次數(shù)的理解和認(rèn)識往往只停留在一個(gè)較淺顯的層面上，殊不知“次數(shù)”在解決某些數(shù)學(xué)問題時(shí)卻起到很大的作用.有時(shí)“次數(shù)”可以幫助我們理清解決問題的頭緒，幫助我們找到解決問題的途徑和方法，還可以幫助我們判斷對問題所進(jìn)行的變形或轉(zhuǎn)化是否合理，從而幫助我們對于問題的解決做出更好的決策.

分析說明：此題對剛學(xué)習(xí)了兩角和與差的正、余弦的學(xué)生而言不會感覺有太大的困難.因?yàn)樗麄冞@時(shí)對三角公式的理解和掌握僅限于兩角和與差的正、余弦，所以他們很容易就想到把其中的10°角寫成30°-20°，然后利用公式展開、化簡，即可得到結(jié)果.但是，當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)了二倍角公式或是所有三角變換的公式之后，反而會感覺到有一定的難度.具有一定解題經(jīng)驗(yàn)的學(xué)生，首先想到的就是題目中出現(xiàn)了兩個(gè)非特殊角，而這兩個(gè)特殊角之間有著一定的關(guān)系，所以可以考慮減少非特殊角的個(gè)數(shù)（消去其中的一個(gè)），達(dá)到解決問題的目的.但他們解決問題的起步往往是二倍角公式，因?yàn)樗麄兏嗫吹降氖?0°角是10°角的兩倍，但很快就會發(fā)現(xiàn)用了二倍角公式之后，此題幾乎陷入了一個(gè)死胡同，無法繼續(xù)進(jìn)行下去.這時(shí)，就需要學(xué)生學(xué)會分析，找出問題的癥結(jié)，然后才能對癥下藥.“次數(shù)”在此時(shí)就起到了很好的判斷作用.站在理性的角度分析，不難看出，如果用二倍角公式將20°角展開成10°角的正、余弦，那么分子中就是一個(gè)關(guān)于10°角余弦的一次式與一個(gè)10°角正、余弦的二次式的差，而分母則是一個(gè)關(guān)于10°角正、余弦的二次齊次式，這樣的兩個(gè)式子相除得到一個(gè)常數(shù)，既不合情，又不合理.很顯然，這種變形的方向不對——決策不對，需要重新分析，重新決策.從“次數(shù)”的角度進(jìn)行分析，不難發(fā)現(xiàn)將10°角寫成30°-20°的合理性.當(dāng)我們把10°角寫成30°-20°，再利用兩角差的余弦展開后，分子就變成了一個(gè)關(guān)于20°角的正、余弦的一次齊次式，而分母也是一個(gè)關(guān)于20°角余弦的一次式，這樣的兩個(gè)式子相除得到一個(gè)常數(shù)是完全合乎情理的.按照這樣的思路，將題目中的20°角寫成30°-10°，也同樣可以使問題得到解決.這樣的分析，留給學(xué)生的就不僅僅是單純的這一問題的解決方法，更多的應(yīng)該是思維層次上的變化.

例2.在△ABC中，已知a-b=ccosB-ccosA，判斷△ABC的形狀.

分析說明：解決此類問題的方法通常有兩種，一種是將條件中的角利用正、余弦定理全部轉(zhuǎn)化為邊，然后通過代數(shù)變換，得出結(jié)論；另一種是將條件中的邊全部轉(zhuǎn)化為角，然后通過三角變換，得出結(jié)論.一般情況下，兩條路都行得通，此題也不例外.若學(xué)生采用第一種解法，將角化為邊后，面對的是一個(gè)繁瑣的代數(shù)恒等式，沒有一定的運(yùn)算功底是很難得到結(jié)果的.但若能指導(dǎo)學(xué)生在解題之初先不急于動筆運(yùn)算，而是很好地觀察和分析題目中的條件，進(jìn)行合情猜想，就不難發(fā)現(xiàn)a=b顯然是符合題意的.因此將角化為邊后，雖然代數(shù)運(yùn)算量大、要求高，但最后的結(jié)果中一定包含（a-b）這個(gè)因式，因此因式分解的過程只要圍繞著（a-b）做文章就可以了.若是學(xué)生的思維能達(dá)到這個(gè)程度，即便是初中因式分解基礎(chǔ)稍弱的學(xué)生，也可以解決這個(gè)問題.否則，學(xué)生將會感到困難重重.若學(xué)生采用第二種解法，將條件中的邊都轉(zhuǎn)化為角，條件就被轉(zhuǎn)化為sinA-sinB=sinCcosB-sinCcosA，接下去的路就很難走下去了，很多學(xué)生就此作罷，實(shí)在可惜.教師應(yīng)如何引導(dǎo)？應(yīng)該說，此刻學(xué)生需要的不是解題技巧，而是一種方法上的點(diǎn)撥和指導(dǎo).“次數(shù)”就可以很好地解決這個(gè)問題，我們只需引導(dǎo)學(xué)生觀察等式左、右兩邊的次數(shù)，就不難發(fā)現(xiàn)其不對稱性.等式的左邊是一個(gè)關(guān)于三角形內(nèi)角的一次齊次式，而等式的右邊則是一個(gè)關(guān)于三角形內(nèi)角的二次齊次式，解題的思路必然被引導(dǎo)至“能不能通過已有的知識和方法，將兩邊的次數(shù)變?yōu)橐恢履兀俊?，換句話說，能否將等式兩邊都轉(zhuǎn)化為關(guān)于三角形內(nèi)角的同一次數(shù)的表達(dá)式？順著這樣的思路下去，可以發(fā)現(xiàn)，等式右邊的二次式要化為關(guān)于角A、B、C的一次表達(dá)式難度很大，而等式左邊則可以通過三角形三個(gè)內(nèi)角之間的關(guān)系，將sinA和sinB分別改寫成sin（B+C）和sin（A+C）再展開，問題就很容易得到解決.

分析說明：臺體的體積公式，并不是教材的重點(diǎn)內(nèi)容，公式不需要記憶.正因?yàn)槿绱?，很多教師在教學(xué)這部分內(nèi)容時(shí)，都將它一帶而過.實(shí)際上，該公式的教學(xué)時(shí)可以做點(diǎn)小文章，從而讓學(xué)生在分析問題和解決問題時(shí)思維能力得到提高.

在學(xué)習(xí)臺體的體積公式之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了柱、錐、臺三種幾何體的側(cè)面積公式，以及柱體和錐體的體積公式.由于柱、錐、臺三種幾何體之間有著一定的聯(lián)系，即若將臺體的上底拉伸至與下底成全等圖形，則臺體將變成柱體；而若將臺的上底縮成一個(gè)點(diǎn)，則臺體就變成了錐體.因此，在側(cè)面積公式中，這種關(guān)系得到了充分體現(xiàn).

如今，教師常感嘆于學(xué)生越來越不會想問題，解題能力也越來越弱，果真如此嗎？非也.如果教師能夠經(jīng)常反思自己的教學(xué)，在教學(xué)中，能夠有意識地站在一個(gè)較高的層面上對問題加以分析，抓住一切機(jī)會對學(xué)生進(jìn)行思維的訓(xùn)練，那么學(xué)生在后繼學(xué)習(xí)中所面臨的困難可能就會小一些，解決問題的方法有可能就會多一些，思考問題的角度就有可能更多樣化，思維的層面也將會更高，進(jìn)而成長為一個(gè)勇于思考并善于思考的智者.