Simpson不等式的改進(jìn)研究

葉寶存

(寧德職業(yè)技術(shù)學(xué)院 福建福安 355000)

Simpson不等式的改進(jìn)研究

葉寶存

(寧德職業(yè)技術(shù)學(xué)院 福建福安 355000)

Simpson算法是定積分的近似計(jì)算方法.在數(shù)學(xué)問題中，有些定積分是不能牛頓萊布尼茨公式解決的，進(jìn)而出現(xiàn)了求解近似值即數(shù)值解的方法.Simpson不等式就是求解近似值的過程中而產(chǎn)生的不等式.Simpson不等式在數(shù)值積分中的作用具有不可替代的地位，很多的數(shù)學(xué)界先輩對(duì)Simpson的誤差限優(yōu)化做出了積極研究和探討.本文基于Simpson不等式的相關(guān)定理，對(duì)其最佳誤差估計(jì)做出論證.

Simpson不等式，分段連續(xù)，導(dǎo)數(shù)，積分

在數(shù)值積分計(jì)算中，Simpson公式占有極其重要的地位.Simpson不等式起源一個(gè)著名的命題：設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]區(qū)間內(nèi)，有連續(xù)的4階導(dǎo)數(shù)，則有以下結(jié)果：

(1)

(2)

其中(2)式就是高等數(shù)學(xué)領(lǐng)域著名的Simpson公式.

1 Simpson公式中的積分余項(xiàng)定理證明

依據(jù)高等數(shù)學(xué)中取值變量的漸近性質(zhì)，關(guān)于ξ有以下命題：

證明：設(shè)定命題的極限為b從右邊向左無限趨近于a(按照普遍性數(shù)學(xué)思維，b>a)情形，根據(jù)題設(shè)條件將 在區(qū)間內(nèi)的積分表示為含有Peano余項(xiàng)的泰勒公式為：

f(4)(ξ)=f(4)(a)+

由命題(1)的已知條件，b→a+，ξ∈(a,b),ξ→a+,f(5)(a)≠0因此上式消去近似相等peano余項(xiàng)可得：

(3)

即為：

(4)

由(4)式可以得出，該式的倒數(shù)精確度是5次代數(shù)精度，而(2)式代數(shù)精度為3次.這就構(gòu)成了Simpson不等式改進(jìn)的理論基礎(chǔ).

2 Simpson不等式的最佳誤差限改進(jìn)

(5)

其中ξ∈|x0,x|，則有：

(6)

(7)

(8)

(9)

將(9)式代入(6)式中，可得：

可得出結(jié)論為：

(10)

由(10)式，可知改進(jìn)的Simpson不等式，其收斂階數(shù)大于等于6.

3 結(jié)束語

Simpson不等式在數(shù)值積分計(jì)算中取近似值具有收斂速度快的特性，但Simspon公式在倒數(shù)精度較高的計(jì)算中會(huì)力不從心，本文通過泰勒定理，將Simpson不等式的代數(shù)精度提高，擴(kuò)大了Simpson不等式的應(yīng)用范圍，并提高了公式的收斂階數(shù)，這在復(fù)雜函數(shù)的高精度計(jì)算中具有重大的理論意義.

(責(zé)任編輯李平)

2014-5-13

葉寶存， 134860350248@qq.com。

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A

1674-9545(2014)03-0064-(03)