從“我會(huì)畫”談空間觀念的培養(yǎng)

馮回祥，華中科技大學(xué)附屬小學(xué)數(shù)學(xué)教師，湖北省特級(jí)教師，中學(xué)高級(jí)教師?，F(xiàn)任湖北省武漢市數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)理事，華中師范大學(xué)碩士研究生首批校外導(dǎo)師。

2014年我校小學(xué)畢業(yè)考試數(shù)學(xué)試卷中，有道“我會(huì)畫”的試題，主要考查學(xué)生的動(dòng)手操作能力和空間觀念。筆者查看了大量答卷，發(fā)現(xiàn)這道題的正確率很低。對此，有老師埋怨學(xué)生畫圖“不認(rèn)真”，但到底是學(xué)生畫圖不認(rèn)真，還是老師平時(shí)沒有重視學(xué)生空間觀念的培養(yǎng)呢？這需要我們好好反思，如何在課堂教學(xué)中將空間觀念的培養(yǎng)落到實(shí)處。

要理解和明確“空間觀念”的內(nèi)涵及價(jià)值

空間觀念是《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）中10個(gè)重要的核心概念之一。《標(biāo)準(zhǔn)》指出：“在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，要豐富學(xué)生對現(xiàn)實(shí)空間及圖形的認(rèn)識(shí)，建立初步的空間觀念，發(fā)展形象思維。”重視培養(yǎng)空間觀念既有助于學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)世界，解決日常生活中的問題，又能為他們今后進(jìn)一步系統(tǒng)學(xué)習(xí)幾何知識(shí)打下良好的基礎(chǔ)。

讓學(xué)生在觀察與操作中，感知“空間觀念”

數(shù)學(xué)是一門具有較強(qiáng)思維性質(zhì)的學(xué)科，觀察是進(jìn)行思維活動(dòng)的一個(gè)窗口，是學(xué)生認(rèn)識(shí)事物最直接的一種方法，也是形成和感知空間觀念的基本方法之一。因此，教師要在教學(xué)中有意識(shí)地培養(yǎng)和訓(xùn)練學(xué)生的觀察能力。傳統(tǒng)教學(xué)中，多是教師講，學(xué)生聽，教師演示，學(xué)生看，學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性不高，觀察能力也沒有得到挖掘和培養(yǎng)。教師要根據(jù)小學(xué)生的年齡特征，充分利用教材中提供的直觀圖形、實(shí)物觀察和實(shí)際操作，借助視覺、觸覺、聽覺等多種感官，激勵(lì)學(xué)生參與活動(dòng)，在觀察中感知“空間觀念”。

例如，教學(xué)“平移與旋轉(zhuǎn)”一課時(shí)，教師通過播放游樂園錄像資料，讓學(xué)生觀察游樂園里游樂設(shè)備的運(yùn)動(dòng)方式。接著，教師鼓勵(lì)學(xué)生把每個(gè)游樂設(shè)備的運(yùn)動(dòng)方式用手勢表現(xiàn)出來，讓學(xué)生充分感知這些游樂設(shè)備的運(yùn)動(dòng)方式。當(dāng)學(xué)生“經(jīng)歷”了這樣一次游玩感受后，教師再要求學(xué)生根據(jù)運(yùn)動(dòng)方式把這些游樂設(shè)備進(jìn)行分類。當(dāng)學(xué)生不能正確分類時(shí)，教師可以邊說邊通過手勢做平移、旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，再次引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察，并通過肢體語言暗示學(xué)生要從這不同運(yùn)動(dòng)方式上去考慮分類。這樣，學(xué)生在充分觀察感知中，對平移和旋轉(zhuǎn)就有了深刻的體驗(yàn)。

操作也是豐富學(xué)生“空間觀念”的重要手段。荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾認(rèn)為：“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一種活動(dòng)，這種活動(dòng)與游泳、騎自行車一樣，不經(jīng)過親身體驗(yàn)，僅僅從看書本、聽講解、觀察他人的演示，是學(xué)不會(huì)的?！庇纱丝梢姡囵B(yǎng)學(xué)生的空間觀念，教師必須引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行操作活動(dòng)。教學(xué)時(shí)，對一些較為抽象的幾何概念，當(dāng)學(xué)生感到難以理解時(shí)，教師可引導(dǎo)學(xué)生借助直觀的操作手段來解決。如，讓學(xué)生折一折、剪一剪、拼一拼、畫一畫等，讓他們的視覺、觸覺等多種感官共同參與，如此，學(xué)生的空間觀念便易于形成和鞏固。

例如，在教學(xué)長方體、正方體的棱長之和及表面積與體積的計(jì)算時(shí)，發(fā)現(xiàn)學(xué)生很容易將棱長之和、表面積、體積這三個(gè)概念混淆。教師可在教學(xué)棱長之和前，讓學(xué)生用細(xì)鐵絲做一個(gè)長方體或正方體框架，通過動(dòng)手操作，他們就不難發(fā)現(xiàn)，棱長之和就是四組長、寬、高之和，這為他們接下來學(xué)習(xí)將棱長之和按一定比例分配等內(nèi)容打好了基礎(chǔ)。在教學(xué)表面積前，教師可要求學(xué)生用硬紙板做長方體或正方體，這既能讓學(xué)生掌握如何求表面積，又能讓他們明確立體圖形和其對應(yīng)的平面展開圖之間的關(guān)系。只要我們把操作落到實(shí)處，學(xué)生自然能深刻體會(huì)棱長之和、表面積與體積之間的本質(zhì)區(qū)別。如果教師在課堂上只是講，學(xué)生只是聽，那么學(xué)生不僅難以理解掌握知識(shí)，而且難以形成空間觀念。

因此，教學(xué)時(shí)，只要是能讓學(xué)生觀察和操作的，教師一定要放手，切忌“包辦代替”，因?yàn)槟菍⑹菍W(xué)生感知 “空間觀念”的最好契機(jī)。

讓學(xué)生在思考與感悟中，形成“空間觀念”

學(xué)生對空間與圖形的學(xué)習(xí)，不能只停留在直觀感知這個(gè)初級(jí)階段，教師還應(yīng)運(yùn)用比較手段，讓學(xué)生在思考中感悟事物的本質(zhì)特征，通過對形體間的內(nèi)在聯(lián)系及外在區(qū)別的比較，將“眼中之觀察”內(nèi)化成“腦中之思考”。

第一，通過類比，引起學(xué)生思考與感悟。通過類比，同中求異，即引導(dǎo)學(xué)生在新、舊知識(shí)間尋找相似和相異的地方，或在類比中聯(lián)想，或在模仿中創(chuàng)新，從而升華思維，突出幾何圖形之間的邏輯關(guān)系。例如，教學(xué)“長方形和正方形的認(rèn)識(shí)”時(shí)，教師通過將長方形的長不斷地縮短，或?qū)㈤L方形的寬不斷地增長，或讓長變化到和寬相等，引導(dǎo)學(xué)生思考比較，讓他們認(rèn)識(shí)，這時(shí)的圖形已經(jīng)不是一個(gè)長方形了，而是正方形。這時(shí)，提醒學(xué)生比較變化前后的異同點(diǎn)，然后判斷這個(gè)圖形是不是還具有長方形的特征。在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到正方形是特殊的長方形，從而明確特殊與一般的關(guān)系。

第二，在“對比”活動(dòng)中，激發(fā)學(xué)生思考與感悟。通過對比，異中求同，即聯(lián)系事物間的變化規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，及時(shí)對知識(shí)進(jìn)行整合，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，建立起比較完整的知識(shí)體系。如在教學(xué)多邊形的面積S梯=（a+b）h÷2后，引導(dǎo)學(xué)生思考，如果將梯形的上底不斷變長，當(dāng)上底和下底一樣長時(shí)，即a=b時(shí)，則梯形就變成了平行四邊形，那么，S梯=（a+a）h÷2=2ah÷2=ah（平行四邊形的面積公式）；如果將梯形的上底不斷變短，當(dāng)上底成為0時(shí)，即a=0時(shí)，梯形就變成了三角形，則S梯=（0+b）h÷2=bh÷2，又變成了三角形的面積公式（b為三角形的底）。這樣有聯(lián)系又有對比的思考，不僅讓學(xué)生知道了梯形的面積公式是小學(xué)數(shù)學(xué)“萬能公式”，自然感受到了“化歸”的數(shù)學(xué)思想方法，而且在潛移默化中培養(yǎng)了學(xué)生的“空間觀念”。

讓學(xué)生在綜合應(yīng)用中，發(fā)展“空間觀念”

長期以來，小學(xué)幾何教學(xué)都以周長、面積、體積（容積）的計(jì)算為最終目的，學(xué)生在課堂上的大量時(shí)間全被耗在計(jì)算里面。學(xué)生只會(huì)列式計(jì)算，腦子里根本沒有靈活解題的策略。例如，一些學(xué)生會(huì)計(jì)算長方形、正方形的周長，卻不知道如何計(jì)算三角形、梯形的周長；一些學(xué)生會(huì)計(jì)算長方體的表面積，卻不會(huì)計(jì)算教室里的粉刷面積……這是典型的只會(huì)死套公式，而空間觀念不清晰的表現(xiàn)。在實(shí)施新課程的今天，教師需要將這種只關(guān)注計(jì)算的教學(xué)向關(guān)注觀念、能力與計(jì)算并重的教學(xué)轉(zhuǎn)變。

如，在對學(xué)生進(jìn)行圓柱體體積計(jì)算的練習(xí)中，教師可出示如下兩個(gè)長方形（如下圖一、二）：

圖一 圖二 圖三

若將它們繞相同的邊（如AD）旋轉(zhuǎn)一周可以得到兩個(gè)圓柱體，教師引導(dǎo)學(xué)生思考：現(xiàn)在所得到的這兩個(gè)圓柱體的體積、側(cè)面積、表面積相等嗎？它們的大小關(guān)系是怎樣的？在計(jì)算圓錐的體積時(shí)，可以利用上圖三，讓學(xué)生思考：三角形能以哪些邊為軸旋轉(zhuǎn)后得到圓錐？如果以BC邊為軸旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后的體積是多少？通過這樣的練習(xí)，學(xué)生就會(huì)將以前學(xué)過的平移與旋轉(zhuǎn)的知識(shí)聯(lián)系起來，綜合考慮問題。同時(shí)，在計(jì)算體積、側(cè)面積和表面積前，學(xué)生必須將二維空間通過想象擴(kuò)展到三維空間，這是學(xué)生對空間觀念的又一次升華。

此外，我們要充分利用信息技術(shù)手段，來培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的空間觀念。在數(shù)學(xué)課堂中由于受時(shí)間、空間的限制，難以展示各種圖形、物件的真實(shí)面目，使學(xué)生難以體驗(yàn)空間感。學(xué)生僅靠書上的圖，是很難想象或體驗(yàn)的，教師可嘗試用PPT演示，讓學(xué)生去觀察發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在的規(guī)律，這樣做可以使原來用實(shí)物不好展示的部分得到充分展示，降低了觀察上的難度，突出了觀察的重點(diǎn)，有利于培養(yǎng)學(xué)生有序觀察和歸納的能力，可使學(xué)生的空間意識(shí)得到增強(qiáng)，空間觀念得到發(fā)展。

培養(yǎng)空間觀念并不是一朝一夕的事，如果教師能做一個(gè)好的引領(lǐng)者，從生活實(shí)際出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷和感悟，那么學(xué)生的空間觀念就能不斷形成和發(fā)展，學(xué)生才能真正地輕松完成“我會(huì)畫”之類的試題。

責(zé)任編輯 嚴(yán) 芳

馮回祥，華中科技大學(xué)附屬小學(xué)數(shù)學(xué)教師，湖北省特級(jí)教師，中學(xué)高級(jí)教師?，F(xiàn)任湖北省武漢市數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)理事，華中師范大學(xué)碩士研究生首批校外導(dǎo)師。

2014年我校小學(xué)畢業(yè)考試數(shù)學(xué)試卷中，有道“我會(huì)畫”的試題，主要考查學(xué)生的動(dòng)手操作能力和空間觀念。筆者查看了大量答卷，發(fā)現(xiàn)這道題的正確率很低。對此，有老師埋怨學(xué)生畫圖“不認(rèn)真”，但到底是學(xué)生畫圖不認(rèn)真，還是老師平時(shí)沒有重視學(xué)生空間觀念的培養(yǎng)呢？這需要我們好好反思，如何在課堂教學(xué)中將空間觀念的培養(yǎng)落到實(shí)處。

要理解和明確“空間觀念”的內(nèi)涵及價(jià)值

空間觀念是《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）中10個(gè)重要的核心概念之一?！稑?biāo)準(zhǔn)》指出：“在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，要豐富學(xué)生對現(xiàn)實(shí)空間及圖形的認(rèn)識(shí)，建立初步的空間觀念，發(fā)展形象思維。”重視培養(yǎng)空間觀念既有助于學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)世界，解決日常生活中的問題，又能為他們今后進(jìn)一步系統(tǒng)學(xué)習(xí)幾何知識(shí)打下良好的基礎(chǔ)。

讓學(xué)生在觀察與操作中，感知“空間觀念”

數(shù)學(xué)是一門具有較強(qiáng)思維性質(zhì)的學(xué)科，觀察是進(jìn)行思維活動(dòng)的一個(gè)窗口，是學(xué)生認(rèn)識(shí)事物最直接的一種方法，也是形成和感知空間觀念的基本方法之一。因此，教師要在教學(xué)中有意識(shí)地培養(yǎng)和訓(xùn)練學(xué)生的觀察能力。傳統(tǒng)教學(xué)中，多是教師講，學(xué)生聽，教師演示，學(xué)生看，學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性不高，觀察能力也沒有得到挖掘和培養(yǎng)。教師要根據(jù)小學(xué)生的年齡特征，充分利用教材中提供的直觀圖形、實(shí)物觀察和實(shí)際操作，借助視覺、觸覺、聽覺等多種感官，激勵(lì)學(xué)生參與活動(dòng)，在觀察中感知“空間觀念”。

例如，教學(xué)“平移與旋轉(zhuǎn)”一課時(shí)，教師通過播放游樂園錄像資料，讓學(xué)生觀察游樂園里游樂設(shè)備的運(yùn)動(dòng)方式。接著，教師鼓勵(lì)學(xué)生把每個(gè)游樂設(shè)備的運(yùn)動(dòng)方式用手勢表現(xiàn)出來，讓學(xué)生充分感知這些游樂設(shè)備的運(yùn)動(dòng)方式。當(dāng)學(xué)生“經(jīng)歷”了這樣一次游玩感受后，教師再要求學(xué)生根據(jù)運(yùn)動(dòng)方式把這些游樂設(shè)備進(jìn)行分類。當(dāng)學(xué)生不能正確分類時(shí)，教師可以邊說邊通過手勢做平移、旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，再次引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察，并通過肢體語言暗示學(xué)生要從這不同運(yùn)動(dòng)方式上去考慮分類。這樣，學(xué)生在充分觀察感知中，對平移和旋轉(zhuǎn)就有了深刻的體驗(yàn)。

操作也是豐富學(xué)生“空間觀念”的重要手段。荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾認(rèn)為：“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一種活動(dòng)，這種活動(dòng)與游泳、騎自行車一樣，不經(jīng)過親身體驗(yàn)，僅僅從看書本、聽講解、觀察他人的演示，是學(xué)不會(huì)的?！庇纱丝梢?，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念，教師必須引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行操作活動(dòng)。教學(xué)時(shí)，對一些較為抽象的幾何概念，當(dāng)學(xué)生感到難以理解時(shí)，教師可引導(dǎo)學(xué)生借助直觀的操作手段來解決。如，讓學(xué)生折一折、剪一剪、拼一拼、畫一畫等，讓他們的視覺、觸覺等多種感官共同參與，如此，學(xué)生的空間觀念便易于形成和鞏固。

例如，在教學(xué)長方體、正方體的棱長之和及表面積與體積的計(jì)算時(shí)，發(fā)現(xiàn)學(xué)生很容易將棱長之和、表面積、體積這三個(gè)概念混淆。教師可在教學(xué)棱長之和前，讓學(xué)生用細(xì)鐵絲做一個(gè)長方體或正方體框架，通過動(dòng)手操作，他們就不難發(fā)現(xiàn)，棱長之和就是四組長、寬、高之和，這為他們接下來學(xué)習(xí)將棱長之和按一定比例分配等內(nèi)容打好了基礎(chǔ)。在教學(xué)表面積前，教師可要求學(xué)生用硬紙板做長方體或正方體，這既能讓學(xué)生掌握如何求表面積，又能讓他們明確立體圖形和其對應(yīng)的平面展開圖之間的關(guān)系。只要我們把操作落到實(shí)處，學(xué)生自然能深刻體會(huì)棱長之和、表面積與體積之間的本質(zhì)區(qū)別。如果教師在課堂上只是講，學(xué)生只是聽，那么學(xué)生不僅難以理解掌握知識(shí)，而且難以形成空間觀念。

因此，教學(xué)時(shí)，只要是能讓學(xué)生觀察和操作的，教師一定要放手，切忌“包辦代替”，因?yàn)槟菍⑹菍W(xué)生感知 “空間觀念”的最好契機(jī)。

讓學(xué)生在思考與感悟中，形成“空間觀念”

學(xué)生對空間與圖形的學(xué)習(xí)，不能只停留在直觀感知這個(gè)初級(jí)階段，教師還應(yīng)運(yùn)用比較手段，讓學(xué)生在思考中感悟事物的本質(zhì)特征，通過對形體間的內(nèi)在聯(lián)系及外在區(qū)別的比較，將“眼中之觀察”內(nèi)化成“腦中之思考”。

第一，通過類比，引起學(xué)生思考與感悟。通過類比，同中求異，即引導(dǎo)學(xué)生在新、舊知識(shí)間尋找相似和相異的地方，或在類比中聯(lián)想，或在模仿中創(chuàng)新，從而升華思維，突出幾何圖形之間的邏輯關(guān)系。例如，教學(xué)“長方形和正方形的認(rèn)識(shí)”時(shí)，教師通過將長方形的長不斷地縮短，或?qū)㈤L方形的寬不斷地增長，或讓長變化到和寬相等，引導(dǎo)學(xué)生思考比較，讓他們認(rèn)識(shí)，這時(shí)的圖形已經(jīng)不是一個(gè)長方形了，而是正方形。這時(shí)，提醒學(xué)生比較變化前后的異同點(diǎn)，然后判斷這個(gè)圖形是不是還具有長方形的特征。在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到正方形是特殊的長方形，從而明確特殊與一般的關(guān)系。

第二，在“對比”活動(dòng)中，激發(fā)學(xué)生思考與感悟。通過對比，異中求同，即聯(lián)系事物間的變化規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，及時(shí)對知識(shí)進(jìn)行整合，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，建立起比較完整的知識(shí)體系。如在教學(xué)多邊形的面積S梯=（a+b）h÷2后，引導(dǎo)學(xué)生思考，如果將梯形的上底不斷變長，當(dāng)上底和下底一樣長時(shí)，即a=b時(shí)，則梯形就變成了平行四邊形，那么，S梯=（a+a）h÷2=2ah÷2=ah（平行四邊形的面積公式）；如果將梯形的上底不斷變短，當(dāng)上底成為0時(shí)，即a=0時(shí)，梯形就變成了三角形，則S梯=（0+b）h÷2=bh÷2，又變成了三角形的面積公式（b為三角形的底）。這樣有聯(lián)系又有對比的思考，不僅讓學(xué)生知道了梯形的面積公式是小學(xué)數(shù)學(xué)“萬能公式”，自然感受到了“化歸”的數(shù)學(xué)思想方法，而且在潛移默化中培養(yǎng)了學(xué)生的“空間觀念”。

讓學(xué)生在綜合應(yīng)用中，發(fā)展“空間觀念”

長期以來，小學(xué)幾何教學(xué)都以周長、面積、體積（容積）的計(jì)算為最終目的，學(xué)生在課堂上的大量時(shí)間全被耗在計(jì)算里面。學(xué)生只會(huì)列式計(jì)算，腦子里根本沒有靈活解題的策略。例如，一些學(xué)生會(huì)計(jì)算長方形、正方形的周長，卻不知道如何計(jì)算三角形、梯形的周長；一些學(xué)生會(huì)計(jì)算長方體的表面積，卻不會(huì)計(jì)算教室里的粉刷面積……這是典型的只會(huì)死套公式，而空間觀念不清晰的表現(xiàn)。在實(shí)施新課程的今天，教師需要將這種只關(guān)注計(jì)算的教學(xué)向關(guān)注觀念、能力與計(jì)算并重的教學(xué)轉(zhuǎn)變。

如，在對學(xué)生進(jìn)行圓柱體體積計(jì)算的練習(xí)中，教師可出示如下兩個(gè)長方形（如下圖一、二）：

圖一 圖二 圖三

若將它們繞相同的邊（如AD）旋轉(zhuǎn)一周可以得到兩個(gè)圓柱體，教師引導(dǎo)學(xué)生思考：現(xiàn)在所得到的這兩個(gè)圓柱體的體積、側(cè)面積、表面積相等嗎？它們的大小關(guān)系是怎樣的？在計(jì)算圓錐的體積時(shí)，可以利用上圖三，讓學(xué)生思考：三角形能以哪些邊為軸旋轉(zhuǎn)后得到圓錐？如果以BC邊為軸旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后的體積是多少？通過這樣的練習(xí)，學(xué)生就會(huì)將以前學(xué)過的平移與旋轉(zhuǎn)的知識(shí)聯(lián)系起來，綜合考慮問題。同時(shí)，在計(jì)算體積、側(cè)面積和表面積前，學(xué)生必須將二維空間通過想象擴(kuò)展到三維空間，這是學(xué)生對空間觀念的又一次升華。

此外，我們要充分利用信息技術(shù)手段，來培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的空間觀念。在數(shù)學(xué)課堂中由于受時(shí)間、空間的限制，難以展示各種圖形、物件的真實(shí)面目，使學(xué)生難以體驗(yàn)空間感。學(xué)生僅靠書上的圖，是很難想象或體驗(yàn)的，教師可嘗試用PPT演示，讓學(xué)生去觀察發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在的規(guī)律，這樣做可以使原來用實(shí)物不好展示的部分得到充分展示，降低了觀察上的難度，突出了觀察的重點(diǎn)，有利于培養(yǎng)學(xué)生有序觀察和歸納的能力，可使學(xué)生的空間意識(shí)得到增強(qiáng)，空間觀念得到發(fā)展。

培養(yǎng)空間觀念并不是一朝一夕的事，如果教師能做一個(gè)好的引領(lǐng)者，從生活實(shí)際出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷和感悟，那么學(xué)生的空間觀念就能不斷形成和發(fā)展，學(xué)生才能真正地輕松完成“我會(huì)畫”之類的試題。

責(zé)任編輯 嚴(yán) 芳

馮回祥，華中科技大學(xué)附屬小學(xué)數(shù)學(xué)教師，湖北省特級(jí)教師，中學(xué)高級(jí)教師?，F(xiàn)任湖北省武漢市數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)理事，華中師范大學(xué)碩士研究生首批校外導(dǎo)師。

2014年我校小學(xué)畢業(yè)考試數(shù)學(xué)試卷中，有道“我會(huì)畫”的試題，主要考查學(xué)生的動(dòng)手操作能力和空間觀念。筆者查看了大量答卷，發(fā)現(xiàn)這道題的正確率很低。對此，有老師埋怨學(xué)生畫圖“不認(rèn)真”，但到底是學(xué)生畫圖不認(rèn)真，還是老師平時(shí)沒有重視學(xué)生空間觀念的培養(yǎng)呢？這需要我們好好反思，如何在課堂教學(xué)中將空間觀念的培養(yǎng)落到實(shí)處。

要理解和明確“空間觀念”的內(nèi)涵及價(jià)值

空間觀念是《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）中10個(gè)重要的核心概念之一。《標(biāo)準(zhǔn)》指出：“在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，要豐富學(xué)生對現(xiàn)實(shí)空間及圖形的認(rèn)識(shí)，建立初步的空間觀念，發(fā)展形象思維。”重視培養(yǎng)空間觀念既有助于學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)世界，解決日常生活中的問題，又能為他們今后進(jìn)一步系統(tǒng)學(xué)習(xí)幾何知識(shí)打下良好的基礎(chǔ)。

讓學(xué)生在觀察與操作中，感知“空間觀念”

數(shù)學(xué)是一門具有較強(qiáng)思維性質(zhì)的學(xué)科，觀察是進(jìn)行思維活動(dòng)的一個(gè)窗口，是學(xué)生認(rèn)識(shí)事物最直接的一種方法，也是形成和感知空間觀念的基本方法之一。因此，教師要在教學(xué)中有意識(shí)地培養(yǎng)和訓(xùn)練學(xué)生的觀察能力。傳統(tǒng)教學(xué)中，多是教師講，學(xué)生聽，教師演示，學(xué)生看，學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性不高，觀察能力也沒有得到挖掘和培養(yǎng)。教師要根據(jù)小學(xué)生的年齡特征，充分利用教材中提供的直觀圖形、實(shí)物觀察和實(shí)際操作，借助視覺、觸覺、聽覺等多種感官，激勵(lì)學(xué)生參與活動(dòng)，在觀察中感知“空間觀念”。

例如，教學(xué)“平移與旋轉(zhuǎn)”一課時(shí)，教師通過播放游樂園錄像資料，讓學(xué)生觀察游樂園里游樂設(shè)備的運(yùn)動(dòng)方式。接著，教師鼓勵(lì)學(xué)生把每個(gè)游樂設(shè)備的運(yùn)動(dòng)方式用手勢表現(xiàn)出來，讓學(xué)生充分感知這些游樂設(shè)備的運(yùn)動(dòng)方式。當(dāng)學(xué)生“經(jīng)歷”了這樣一次游玩感受后，教師再要求學(xué)生根據(jù)運(yùn)動(dòng)方式把這些游樂設(shè)備進(jìn)行分類。當(dāng)學(xué)生不能正確分類時(shí)，教師可以邊說邊通過手勢做平移、旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，再次引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察，并通過肢體語言暗示學(xué)生要從這不同運(yùn)動(dòng)方式上去考慮分類。這樣，學(xué)生在充分觀察感知中，對平移和旋轉(zhuǎn)就有了深刻的體驗(yàn)。

操作也是豐富學(xué)生“空間觀念”的重要手段。荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾認(rèn)為：“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一種活動(dòng)，這種活動(dòng)與游泳、騎自行車一樣，不經(jīng)過親身體驗(yàn)，僅僅從看書本、聽講解、觀察他人的演示，是學(xué)不會(huì)的?！庇纱丝梢姡囵B(yǎng)學(xué)生的空間觀念，教師必須引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行操作活動(dòng)。教學(xué)時(shí)，對一些較為抽象的幾何概念，當(dāng)學(xué)生感到難以理解時(shí)，教師可引導(dǎo)學(xué)生借助直觀的操作手段來解決。如，讓學(xué)生折一折、剪一剪、拼一拼、畫一畫等，讓他們的視覺、觸覺等多種感官共同參與，如此，學(xué)生的空間觀念便易于形成和鞏固。

例如，在教學(xué)長方體、正方體的棱長之和及表面積與體積的計(jì)算時(shí)，發(fā)現(xiàn)學(xué)生很容易將棱長之和、表面積、體積這三個(gè)概念混淆。教師可在教學(xué)棱長之和前，讓學(xué)生用細(xì)鐵絲做一個(gè)長方體或正方體框架，通過動(dòng)手操作，他們就不難發(fā)現(xiàn)，棱長之和就是四組長、寬、高之和，這為他們接下來學(xué)習(xí)將棱長之和按一定比例分配等內(nèi)容打好了基礎(chǔ)。在教學(xué)表面積前，教師可要求學(xué)生用硬紙板做長方體或正方體，這既能讓學(xué)生掌握如何求表面積，又能讓他們明確立體圖形和其對應(yīng)的平面展開圖之間的關(guān)系。只要我們把操作落到實(shí)處，學(xué)生自然能深刻體會(huì)棱長之和、表面積與體積之間的本質(zhì)區(qū)別。如果教師在課堂上只是講，學(xué)生只是聽，那么學(xué)生不僅難以理解掌握知識(shí)，而且難以形成空間觀念。

因此，教學(xué)時(shí)，只要是能讓學(xué)生觀察和操作的，教師一定要放手，切忌“包辦代替”，因?yàn)槟菍⑹菍W(xué)生感知 “空間觀念”的最好契機(jī)。

讓學(xué)生在思考與感悟中，形成“空間觀念”

學(xué)生對空間與圖形的學(xué)習(xí)，不能只停留在直觀感知這個(gè)初級(jí)階段，教師還應(yīng)運(yùn)用比較手段，讓學(xué)生在思考中感悟事物的本質(zhì)特征，通過對形體間的內(nèi)在聯(lián)系及外在區(qū)別的比較，將“眼中之觀察”內(nèi)化成“腦中之思考”。

第一，通過類比，引起學(xué)生思考與感悟。通過類比，同中求異，即引導(dǎo)學(xué)生在新、舊知識(shí)間尋找相似和相異的地方，或在類比中聯(lián)想，或在模仿中創(chuàng)新，從而升華思維，突出幾何圖形之間的邏輯關(guān)系。例如，教學(xué)“長方形和正方形的認(rèn)識(shí)”時(shí)，教師通過將長方形的長不斷地縮短，或?qū)㈤L方形的寬不斷地增長，或讓長變化到和寬相等，引導(dǎo)學(xué)生思考比較，讓他們認(rèn)識(shí)，這時(shí)的圖形已經(jīng)不是一個(gè)長方形了，而是正方形。這時(shí)，提醒學(xué)生比較變化前后的異同點(diǎn)，然后判斷這個(gè)圖形是不是還具有長方形的特征。在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到正方形是特殊的長方形，從而明確特殊與一般的關(guān)系。

第二，在“對比”活動(dòng)中，激發(fā)學(xué)生思考與感悟。通過對比，異中求同，即聯(lián)系事物間的變化規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，及時(shí)對知識(shí)進(jìn)行整合，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，建立起比較完整的知識(shí)體系。如在教學(xué)多邊形的面積S梯=（a+b）h÷2后，引導(dǎo)學(xué)生思考，如果將梯形的上底不斷變長，當(dāng)上底和下底一樣長時(shí)，即a=b時(shí)，則梯形就變成了平行四邊形，那么，S梯=（a+a）h÷2=2ah÷2=ah（平行四邊形的面積公式）；如果將梯形的上底不斷變短，當(dāng)上底成為0時(shí)，即a=0時(shí)，梯形就變成了三角形，則S梯=（0+b）h÷2=bh÷2，又變成了三角形的面積公式（b為三角形的底）。這樣有聯(lián)系又有對比的思考，不僅讓學(xué)生知道了梯形的面積公式是小學(xué)數(shù)學(xué)“萬能公式”，自然感受到了“化歸”的數(shù)學(xué)思想方法，而且在潛移默化中培養(yǎng)了學(xué)生的“空間觀念”。

讓學(xué)生在綜合應(yīng)用中，發(fā)展“空間觀念”

長期以來，小學(xué)幾何教學(xué)都以周長、面積、體積（容積）的計(jì)算為最終目的，學(xué)生在課堂上的大量時(shí)間全被耗在計(jì)算里面。學(xué)生只會(huì)列式計(jì)算，腦子里根本沒有靈活解題的策略。例如，一些學(xué)生會(huì)計(jì)算長方形、正方形的周長，卻不知道如何計(jì)算三角形、梯形的周長；一些學(xué)生會(huì)計(jì)算長方體的表面積，卻不會(huì)計(jì)算教室里的粉刷面積……這是典型的只會(huì)死套公式，而空間觀念不清晰的表現(xiàn)。在實(shí)施新課程的今天，教師需要將這種只關(guān)注計(jì)算的教學(xué)向關(guān)注觀念、能力與計(jì)算并重的教學(xué)轉(zhuǎn)變。

如，在對學(xué)生進(jìn)行圓柱體體積計(jì)算的練習(xí)中，教師可出示如下兩個(gè)長方形（如下圖一、二）：

圖一 圖二 圖三

若將它們繞相同的邊（如AD）旋轉(zhuǎn)一周可以得到兩個(gè)圓柱體，教師引導(dǎo)學(xué)生思考：現(xiàn)在所得到的這兩個(gè)圓柱體的體積、側(cè)面積、表面積相等嗎？它們的大小關(guān)系是怎樣的？在計(jì)算圓錐的體積時(shí)，可以利用上圖三，讓學(xué)生思考：三角形能以哪些邊為軸旋轉(zhuǎn)后得到圓錐？如果以BC邊為軸旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后的體積是多少？通過這樣的練習(xí)，學(xué)生就會(huì)將以前學(xué)過的平移與旋轉(zhuǎn)的知識(shí)聯(lián)系起來，綜合考慮問題。同時(shí)，在計(jì)算體積、側(cè)面積和表面積前，學(xué)生必須將二維空間通過想象擴(kuò)展到三維空間，這是學(xué)生對空間觀念的又一次升華。

此外，我們要充分利用信息技術(shù)手段，來培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的空間觀念。在數(shù)學(xué)課堂中由于受時(shí)間、空間的限制，難以展示各種圖形、物件的真實(shí)面目，使學(xué)生難以體驗(yàn)空間感。學(xué)生僅靠書上的圖，是很難想象或體驗(yàn)的，教師可嘗試用PPT演示，讓學(xué)生去觀察發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在的規(guī)律，這樣做可以使原來用實(shí)物不好展示的部分得到充分展示，降低了觀察上的難度，突出了觀察的重點(diǎn)，有利于培養(yǎng)學(xué)生有序觀察和歸納的能力，可使學(xué)生的空間意識(shí)得到增強(qiáng)，空間觀念得到發(fā)展。

培養(yǎng)空間觀念并不是一朝一夕的事，如果教師能做一個(gè)好的引領(lǐng)者，從生活實(shí)際出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷和感悟，那么學(xué)生的空間觀念就能不斷形成和發(fā)展，學(xué)生才能真正地輕松完成“我會(huì)畫”之類的試題。

責(zé)任編輯 嚴(yán) 芳