永久性最低提取利益保證變額年金的公平保證費(fèi)用定價(jià)

李秀芳,孫 芳,焦永剛

（南開(kāi)大學(xué)，天津 300000)

一、研究背景

2011年5月，《關(guān)于發(fā)展變額年金保險(xiǎn)試點(diǎn)的通知》和《變額年金保險(xiǎn)管理暫行辦法》頒布，同年6月-7月，兩家首批變額年金試點(diǎn)公司工銀安盛人壽（原金盛人壽）和中美聯(lián)泰大都會(huì)人壽分別推出“保得贏”和“步步穩(wěn)贏”的變額年金產(chǎn)品。2012年3月，華泰人壽推出“吉年保利”變額年金產(chǎn)品。2013年5月，中美聯(lián)泰大都會(huì)人壽公布的變額年金單位價(jià)格顯示，穩(wěn)贏利益投資賬戶賣出價(jià)較去年同期增長(zhǎng)1.5-2個(gè)百分點(diǎn)（數(shù)據(jù)來(lái)源：21財(cái)經(jīng)聚合搜索）。工銀安盛人壽的和諧投資賬戶賣出價(jià)較去年同期增長(zhǎng)約0.5個(gè)百分點(diǎn)。但是，變額年金同時(shí)是一款風(fēng)險(xiǎn)較大的產(chǎn)品，在金融危機(jī)中易受到較大沖擊，其風(fēng)險(xiǎn)成為首要考慮的問(wèn)題。

關(guān)于具有最低收益保證變額年金的定價(jià)問(wèn)題吸引了很多國(guó)內(nèi)外學(xué)者。早在1977年，Boyle和Schwartz等人將金融中的布萊克-斯科爾頓模型利用到了年金的定價(jià)問(wèn)題。 Milevsky、Posner（2001）用風(fēng)險(xiǎn)中性理論對(duì)最低身故利益保證（Guaranteed Minimum Death Benefit，GMDB）進(jìn)行了定價(jià)。Mudavanhu、Zhou（2002）在 GMDB 定價(jià)模型中考慮了死亡率、失效率以及退保因素。國(guó)內(nèi)變額年金保險(xiǎn)市場(chǎng)發(fā)展還處于初級(jí)階段，關(guān)于變額年金領(lǐng)域的研究和文獻(xiàn)較少。李冰清、廖樸（2012）研究了變額年金業(yè)務(wù)的風(fēng)險(xiǎn)問(wèn)題。劉迪（2011）研究了具有最低提取利益保證變額年金的定價(jià)，但是沒(méi)有考慮保單持有人在保險(xiǎn)期限內(nèi)的生存和死亡概率，不符合實(shí)際。李方方（2012）在常利率和波動(dòng)率下考慮了最低提取利益保證的重置條款、獎(jiǎng)勵(lì)條款、懲罰條款加入了定價(jià)模型。

2003年，在美國(guó)市場(chǎng)上出現(xiàn)的一種新型的GMWB產(chǎn)品，即永久性有最低提取保證的變額年金（Guaranteed Lifelong Withdrawal Benefits，GLWB）。該產(chǎn)品保證保單持有人每年可以領(lǐng)取最低給付保證額度的年金直至死亡，每年取款額有限制，而總?cè)】铑~無(wú)限制。提供GLWB的變額年金保險(xiǎn)產(chǎn)品除了風(fēng)險(xiǎn)較高之外，可以有效地降低投保人的長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)，一定程度上非常符合當(dāng)前消費(fèi)者需求，如今已經(jīng)逐漸占領(lǐng)了美國(guó)變額年金保險(xiǎn)市場(chǎng)，但是相關(guān)的定價(jià)研究較少。Gabriella Piscopo（2009）研究了在固定利率和固定波動(dòng)率下GLWB的定價(jià)。本文在已有的研究基礎(chǔ)上，對(duì)永久性最低領(lǐng)取利益保證變額年金產(chǎn)品進(jìn)行定價(jià)研究，改進(jìn)Gabriella Piscopo（2009）定價(jià)模型中常利率和常數(shù)波動(dòng)率的弊端，運(yùn)用Regime-Switching模型進(jìn)行數(shù)值模擬，考慮經(jīng)濟(jì)狀態(tài)轉(zhuǎn)變對(duì)保證費(fèi)用的影響，得出更公平、更符合實(shí)際的定價(jià)，為國(guó)內(nèi)保險(xiǎn)公司設(shè)計(jì)開(kāi)發(fā)此類產(chǎn)品提供一些建議和理論指導(dǎo)。

二、變額年金的定價(jià)

假設(shè)年齡為的人初始時(shí)刻以躉繳一筆保費(fèi)購(gòu)買變額年金產(chǎn)品，保單持有人每年可以領(lǐng)取最低提取保證額度的年金。

1、資產(chǎn)模型與假設(shè)

假設(shè)市場(chǎng)是無(wú)套利市場(chǎng)，持續(xù)交易，忽略交易費(fèi)用,允許賣空，無(wú)稅收。在風(fēng)險(xiǎn)中性概率空間中（W，F(xiàn)t｛｝，Q），Q為風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度。記St表示t時(shí)刻保單持有人變額年金賬戶中未提取任何費(fèi)用前的資產(chǎn)價(jià)值，在風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度Q下滿足如下隨機(jī)微分方程：

變額年金賬戶提供兩種支出：保險(xiǎn)公司最低給付保證的費(fèi)用（為賬戶余額的一定比例，記為a）和保單持有人在時(shí)刻的提取款gt。因此考慮上述兩種支出后，投保人變額年金賬戶可描述為：

Wt表示t時(shí)刻變額年金賬戶余額。（1）式在t＜t0時(shí)成立，其中t0表示W(wǎng)t第一次達(dá)到0時(shí)的時(shí)刻。若t＜t0，則Wt=0。在有最低給付保證的變額年金產(chǎn)品中，若t＞t0，即Wt=0時(shí)，投保人每年可以獲得最低給付保證 G。提取款 gt在 t＜t0時(shí)，原則上可以?。?，Wt］的任意值，但是若時(shí)gt＞G，保險(xiǎn)公司收取額外的保險(xiǎn)費(fèi)用，目的是不鼓勵(lì)投保人過(guò)早提取完年金。

我們進(jìn)一步假設(shè)死亡事件與金融事件為不相關(guān)事件。Tx令表示年齡為x歲的人的剩余壽命，tPx表示x歲的人在t年后仍然生存的概率，即tPx=P（Tx＞t），t=0,1,L,n-x。 進(jìn)一步，我們用tPx表示x歲的人在接下來(lái)t年內(nèi)死亡的概率，特別地對(duì)t=1，我們簡(jiǎn)單地用qx表示x歲的人在一年內(nèi)死亡的概率，即qx=P（Tx＜t）。因此，對(duì)于x歲的人在t年后的一年內(nèi)死亡的概率表示為tpxqx+t，即tpxqx+t=P（t＜Tx＜t+1）。

2、GLWB公平保證費(fèi)用定價(jià)

上述的投資動(dòng)態(tài)模型與Chen和Forsyth（2008）、Gerber和 Shiu （2003）等人的定價(jià)模型一致。追隨前面的保險(xiǎn)文獻(xiàn)，我們假設(shè)存在一風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度，在此風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度下支付流可以用風(fēng)險(xiǎn)中性計(jì)算公式定價(jià)為期望貼現(xiàn)值，而這種風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度的存在意味著市場(chǎng)為無(wú)套利的。我們討論在靜態(tài)決策下GLWB的公平保證費(fèi)用定價(jià)問(wèn)題。假設(shè)投保人以最低保證額度領(lǐng)取年金，即gt=G。在靜態(tài)決策下（1）式表示為：

其中對(duì)于 t3t0，Wt=0

GLWB允許投保人在生存時(shí)每年領(lǐng)取最低給付保證的年金，死亡時(shí)將賬戶余額全部返還。因此保單持有人既享有生存利益又享有死亡價(jià)值。V0令表示GLWB在t=0時(shí)的貼現(xiàn)價(jià)值，則V0應(yīng)為保單持有人生存時(shí)的領(lǐng)取的總年金期望貼現(xiàn)值與其死亡時(shí)年金賬戶余額期望貼現(xiàn)值之和，即V0=LB0+DB0（其中LB0表示保單持有人生存時(shí)的領(lǐng)取的總年金貼現(xiàn)值，DB0表示保單持有人死亡時(shí)能夠遺留下的遺產(chǎn)貼現(xiàn)值）。

其中n為保單持有人可能活的最大年齡。下面計(jì)算DB0。因?yàn)橛谰眯宰畹徒o付保證變額年金承諾在保單持有人死亡時(shí)若賬戶余額不為空，則賬戶余額全部返還。假設(shè)保單持有人在時(shí)間t=T時(shí)死亡，則保險(xiǎn)公司返還給保單持有人指定的遺產(chǎn)繼承人的金額應(yīng)為 Max（WT，0），即：

DBT=Max（WT，0）

通過(guò) Karatzas和 Shreve（1992），可推導(dǎo)出：

為了化簡(jiǎn)上式，引入測(cè)度Qs，利用測(cè)度變換從Q 到 Qs，

Xt在新測(cè)度下的表達(dá)式為：

因此，我們考慮（4）和（5）中的關(guān)于死亡時(shí)間和WT兩種期望得到：

由（3）和（6），我們得到：

由公平原則，得：

由上述方程可得到公平保證費(fèi)用a。

顯然，若保單持有人考慮動(dòng)態(tài)策略，即不再以最低保證額度領(lǐng)取年金，則保險(xiǎn)公司收取的費(fèi)用應(yīng)大于上述的費(fèi)用a。

三、運(yùn)用Regime-Switching模型對(duì)GLWB定價(jià)的模擬分析

下面我們利用Regime-Switching模型模擬變額年金的定價(jià)，并進(jìn)行相關(guān)敏感分析。

假設(shè)表示時(shí)刻的金融市場(chǎng)的虛擬狀態(tài)變量，且隨機(jī)過(guò)程是Markov過(guò)程，且是一個(gè)半鞅。和分別表示市場(chǎng)狀態(tài)為時(shí)的市場(chǎng)利率與波動(dòng)率，且假設(shè)Xt表示t時(shí)刻的金融市場(chǎng)的虛擬狀態(tài)變量，且隨機(jī)過(guò)程｛X（t）:t≥ ｝0 是Markov過(guò)程，且是一個(gè)半鞅。rXt和σXt分別表示市場(chǎng)狀態(tài)為Xt時(shí)的市場(chǎng)利率與波動(dòng)率，且

其中r1、r2和 σ1、σ2均為常數(shù)， 而且我們知道，在經(jīng)濟(jì)狀態(tài)較好時(shí)市場(chǎng)利率大波動(dòng)率小，經(jīng)濟(jì)狀態(tài)差時(shí)正好相反，因此又有內(nèi)在關(guān)系：r1≥r2、σ1≤σ2。根據(jù)劉迪（2011），假設(shè)經(jīng)濟(jì)狀態(tài)轉(zhuǎn)變時(shí)間間隔Δ＝1/12，馬氏鏈的轉(zhuǎn)移矩陣為：表示投保人的保證收益率。 根據(jù) Gabriella、Piscopo（2012），保證收益率取g=0.05（美國(guó)變額年金市場(chǎng)投保人的保證收益率）。假設(shè)初始經(jīng)濟(jì)狀態(tài)為X0=e1，則公平保證費(fèi)用對(duì)利率和波動(dòng)率的敏感性分析，如下表所示：

四、模擬分析

首先，假設(shè)保險(xiǎn)公司設(shè)計(jì)的GLWB產(chǎn)品的銷售對(duì)象是60歲的男性，令g=G w0

表1 公平保證費(fèi)用對(duì)利率和波動(dòng)率的敏感性分析

其中0.064為2009年的保險(xiǎn)公司行業(yè)收益率，0.0339為2012年的保險(xiǎn)公司行業(yè)收益率,0.049為兩者的平均值。

由表1可以看出，當(dāng)不變，增加50%時(shí)，公平保證費(fèi)用減少86%。當(dāng)不變，增加50%時(shí)，公平保證費(fèi)用減少41%。因此，保證費(fèi)隨著利率的增加而減少，其中對(duì)公平保證費(fèi)用的影響幅度更大。因此，為了獲得充足保證費(fèi)用、降低風(fēng)險(xiǎn)，保險(xiǎn)公司對(duì)未來(lái)經(jīng)濟(jì)狀態(tài)的變化需正確評(píng)估，采取合理的利率水平。同時(shí)，公平保證費(fèi)用隨著波動(dòng)率的增加而增加，其中的影響更為顯著。當(dāng)保單持有人選擇高風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)投資時(shí)，變額年金賬戶余額不足，風(fēng)險(xiǎn)會(huì)增加，保險(xiǎn)公司必須通過(guò)增加保費(fèi)來(lái)保證最低利益的給付。

公平保證費(fèi)用對(duì)Regime-switching模型的敏感性分析如表2所示：

表2 Regime-switching模型的敏感性分析

從組合B與組合A的對(duì)比中可以發(fā)現(xiàn)：若采用Regime-switching考慮經(jīng)濟(jì)狀態(tài)對(duì)利率的影響，考慮經(jīng)濟(jì)狀態(tài)有向好的狀態(tài)發(fā)展的可能，則公平保證費(fèi)用由225降為93。采用Regime-switching考慮經(jīng)濟(jì)狀態(tài)對(duì)利率和波動(dòng)率的影響，則組合A與組合C的比較發(fā)現(xiàn)，不考慮經(jīng)濟(jì)狀態(tài)向發(fā)展的可能，公平保證費(fèi)用提高1.52倍。因此，考慮經(jīng)濟(jì)狀態(tài)的轉(zhuǎn)變對(duì)公平保證費(fèi)用的影響，則保單持有人可享受經(jīng)濟(jì)狀態(tài)好轉(zhuǎn)帶來(lái)的收益，繳納的保證費(fèi)用更加公平。由上表，可以看出經(jīng)濟(jì)狀態(tài)轉(zhuǎn)變對(duì)公平保證費(fèi)用有較大影響。因此，保險(xiǎn)公司在對(duì)GLWB產(chǎn)品進(jìn)行定價(jià)時(shí)，要考慮經(jīng)濟(jì)變化帶來(lái)的風(fēng)險(xiǎn)，正確評(píng)估所處的經(jīng)濟(jì)狀態(tài)以及未來(lái)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的趨勢(shì)，得到更為公平的保證費(fèi)用。

表3 不同取款率下對(duì)投保人初始年齡的敏感性分析

上表顯示，若投保人初始領(lǐng)取年金年齡較低，則為了避免繳納過(guò)高的保證費(fèi)用，最低保證取款率不應(yīng)過(guò)高。死亡率隨著年齡的變化有著顯著的變化，由于GLWB產(chǎn)品的領(lǐng)取時(shí)期較長(zhǎng)，GLWB產(chǎn)品的公平保證費(fèi)用對(duì)投保人初始領(lǐng)取年金年齡很敏感。表3顯示，在取款率相等的情況下，保證費(fèi)用隨著投保人初始領(lǐng)取年金年齡的增加而減少。因此，為了降低費(fèi)用，建議投保人推遲初始領(lǐng)取年金的年齡。若65歲以后開(kāi)始領(lǐng)取年金，由于費(fèi)用低廉，可以適當(dāng)選擇提高取款率，從而獲得好的生活品質(zhì)。因此，可建議保單持有人在6歲以后開(kāi)始領(lǐng)取年金。

綜上，年齡和死亡率對(duì)GLWB產(chǎn)品的公平保證費(fèi)用影響嚴(yán)重。長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)對(duì)GLWB產(chǎn)品產(chǎn)生較大影響，保險(xiǎn)公司在設(shè)計(jì)產(chǎn)品時(shí)避免死亡率預(yù)測(cè)失誤，及時(shí)更新生命表，嚴(yán)格限制投保人初始領(lǐng)取年金的年齡，必要時(shí)需尋找合適的再保險(xiǎn)來(lái)轉(zhuǎn)移風(fēng)險(xiǎn)。

五、結(jié)論

隨著人均壽命的增加和通貨膨脹的加劇，長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)帶來(lái)的影響越來(lái)越受到人們的關(guān)注，對(duì)于消費(fèi)者來(lái)說(shuō)，購(gòu)買永久性年金可以有效地降低長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)。GLWB產(chǎn)品既可以轉(zhuǎn)移長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)，還可以享受投資帶來(lái)的收益，滿足消費(fèi)者的需求。本文對(duì)該類產(chǎn)品進(jìn)行定價(jià)研究，改進(jìn)了Gabriella Piscopo（2009）的定價(jià)模型，在模型中考慮經(jīng)濟(jì)狀態(tài)的轉(zhuǎn)變對(duì)公平保證費(fèi)用的影響。對(duì)結(jié)果分析發(fā)現(xiàn)，利率和波動(dòng)率等市場(chǎng)相關(guān)量的變動(dòng)對(duì)GLWB產(chǎn)品的保證費(fèi)用影響很大，因此，為了獲得充足保證費(fèi)用，保險(xiǎn)公司要謹(jǐn)慎的對(duì)利率和波動(dòng)率進(jìn)行假設(shè)，采取合理的利率和波動(dòng)率。對(duì)Regime-switching模型的敏感性分析得出，經(jīng)濟(jì)狀態(tài)的變化給GLWB產(chǎn)品的保證費(fèi)用有影響。保險(xiǎn)公司為了降低經(jīng)濟(jì)狀態(tài)轉(zhuǎn)變帶來(lái)的風(fēng)險(xiǎn)，在定價(jià)時(shí)需考慮經(jīng)濟(jì)狀態(tài)變化，從而獲得更為充足，公平的費(fèi)用。同時(shí)，取款率和投保人領(lǐng)取年金的初始年齡對(duì)公平保證費(fèi)用也有重大影響，尤其是年齡和死亡率對(duì)GLWB產(chǎn)品的公平保證費(fèi)用影響嚴(yán)重。

綜上，保險(xiǎn)公司在設(shè)計(jì)GLWB產(chǎn)品時(shí)，尤其要考慮市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)、長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)對(duì)保證費(fèi)用的影響，采取合理的風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖方法，有效降低風(fēng)險(xiǎn)。

［1］Boyle P.P.,Schwartz E., （1977）.Equilibrium prices of guarantees under equity-linked contracts.The Journal of Risk and Insurance 44（2）,639-680.

［2］Bacinello,A.R.,Millossovich,P.,Olivieri,A.,Pitacco,E.,2011.Variable annuities:a unifying valuation approach［J］.Insurance:Mathematics and Economics,2011,49:285-297.

［3］Barbarin,Devolder.Risk measure and fair valuation of an investment guarantee in life insurance［J］.Insurance:Mathematics and Economics,2005,37:297–323.

［4］Bauer,Daniel,Kling,Alexander,RUSS,Jochen.A Universal Pricing Framework for Guaranteed Minimum Benefits in Variable［J］.ASTIN Bulletin,2008,38:621-651.

［5］Bélanger,A.C.,Forsyth,P.A.and Labahn,G,Valuing the Guaranteed Minimum Death Benefit Clause with Partial Withdrawals［J］.Applied Mathematical Finance,2009,16:451-496.

［6］Cheuk-Yin Nga,Johnny Siu-Hang Li,Valuing variable annuity guarantees with the multivariate Esscher transform ［J］.Insurance:Mathematics and Economics,2011,49:393-400.

［7］Chen Z.,Forsyth P.,（2008）.A numerical scheme for the im-pulse control formulation for pricing variable annuities with a Guaranteed Minimum Withdrawal Benefit.Numerische Mathematik109（4）,535-569.

［8］Chen Z.,Vetzal K.,Forsyth P.A.,（2008）.The effect of modeling parameters on the value of GMWB guaranteed.Insurance:Mathematics and Economics 43,165-173.

［9］Dai M.,Kwok Y.K.,Zong J.,（2008）.Guaranteed minimum withdrawal benefit in variable annuities.Mathematical Finance.

［10］Milevsky M.,Posner S.E.,（2001）.The Titanic Option:Valuation of the Guaranteed Minimum Death Benefit in Variable Annuities and Mutual Funds.The Journal of Risk and Insurance 68,1,91-126.

［11］Milevsky,M.A.,Salisbury,T.S.,Financial valuation of guaranteed minimum withdrawal benefits［J］.Insurance:Mathematics and Economics,2006,38:21-38.

［12］Gabriella Piscopo.The fair price of Guaranteed Lifelong Withdrawal Benefit option in Variable Annuity.Problems and Perspective in Management.Volume7,Issue4.

［13］劉迪.變額年金及最低利益保證的定價(jià)［D］.2011屆研究生碩士學(xué)位論文.

［14］曾慶五.變額年金與變額壽險(xiǎn)給付額的計(jì)算［J］.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué),1994,（1）.

［15］李冰清,廖樸.變額年金業(yè)務(wù)的風(fēng)險(xiǎn)度量與分析［J］.保險(xiǎn)研究,2012,（4）.