淺談線性代數(shù)緒論課教學(xué)

司智勇 王運(yùn)霞

摘 要 線性代數(shù)是高等數(shù)學(xué)的重要組成部分，是理工科學(xué)生的必修課。 由于這門課存在課時(shí)短、內(nèi)容多且邏輯性強(qiáng)等特點(diǎn)造成學(xué)生學(xué)習(xí)這門課的時(shí)候難以達(dá)到理想效果。 緒論課則是讓學(xué)生認(rèn)知這門課重要性的很好手段，因此講好緒論課是講好線性代數(shù)這門課的關(guān)鍵之一。 本文通過結(jié)合自己線性代數(shù)緒論課的教學(xué)過程，談一談如何講好這節(jié)緒論課。

關(guān)鍵詞 線性代數(shù) 緒論課 教學(xué)經(jīng)歷

中圖分類號：G424 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

On the Introduction of Linear Algebra Teaching

SI Zhiyong[1]， WANG Yunxia[2]

（[1] School of Mathematics and Information Science， He'nan Polytechnic University， Jiaozuo， He'nan 454000；

[2] School of Materials Science and Engineering， He'nan Polytechnic University， Jiaozuo， He'nan 454000）

Abstract "Linear Algebra" is an important part of higher mathematics， science and engineering students is compulsory due to the presence of this course is short hours， more content and other characteristics logical result of this course students learn difficult time to achieve the desired effect. Introduction lesson is to allow students to understand the importance of a good means of this course， so good introduction lesson of this course is one of the key to teach good linear algebra. This paper combined with the process of teaching linear algebra introduction to talk about how to tell a good lesson in this section of the introduction.

Key words linear algebra； introduction； teaching experience

線性代數(shù)是高等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，在培養(yǎng)學(xué)生各方面的能力中有著不可替代的作用，更是后續(xù)課程學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)和工具。 但是，由于這門課的定義多、性質(zhì)多、符號多、知識點(diǎn)比較分散，各個(gè)知識點(diǎn)前后又有著緊密的聯(lián)系，使得這門課成為高等數(shù)學(xué)中比較難學(xué)的課程之一。再加上，相當(dāng)多學(xué)生對這門課的認(rèn)識不足，重視程度不夠，還有部分學(xué)生主觀認(rèn)為這門課課時(shí)不多，課本也不厚，學(xué)起來應(yīng)該比較簡單等，導(dǎo)致學(xué)習(xí)效果不好，甚至出現(xiàn)不及格現(xiàn)象。國內(nèi)外有些學(xué)者和專家對這門課的教學(xué)、教材等都做了深入的研究。①②③那么，如何讓學(xué)生認(rèn)識到這門課的重要性，掌握它的特點(diǎn)成為講授這門課的第一要務(wù)。④緒論課是這門課程的開始，因此講好緒論課則是講好這門課的關(guān)鍵之一。 本文作者結(jié)合自己近幾年線性代數(shù)的教學(xué)，談一談如何講好這門課的緒論課。

1 首先講清什么是線性代數(shù)，讓學(xué)生有個(gè)粗略的認(rèn)知

線性代數(shù)從中文的角度看由兩個(gè)詞構(gòu)成，分別是“線性”和“代數(shù)”，“線性”修飾“代數(shù)”。比如函數(shù) = + ，它的圖像是一條直線，被形象地稱為線性函數(shù)。 那具體什么叫線性呢？其實(shí)線性就是量與量之間成一次關(guān)系，也就是說量與量之間只有“加”、“減”和“數(shù)乘”的關(guān)系，不能有變量之間的乘法運(yùn)算。 又如： = ，是線性方程。而方程 = ，就是非線性方程，因?yàn)橛羞@一項(xiàng)。 又如方程組是二元一次方程組，也叫線性方程組。 而方程組就不是線性方程組，它是非線性方程組，因?yàn)橛羞@一項(xiàng)。 我們在線性代數(shù)中研究的都是線性問題。

代數(shù)則是一門非常古老的數(shù)學(xué)學(xué)科，起源可以追溯到古巴比倫的時(shí)代。 從字面上看，就是用字母代替數(shù)。例：如何表示5 加上什么數(shù)等于3？很容易可以得到“2”。 但是要對一個(gè)小學(xué)生該怎么講呢？小學(xué)五年級學(xué)到方程了，那就設(shè)未知數(shù)列方程吧。設(shè)5加上等于3，得到方程：5 + = 3。所謂代數(shù)就是在用字母代表數(shù)的基礎(chǔ)上，得到一個(gè)可以運(yùn)算的式子，并把問題數(shù)找出來的過程。

歷史上，線性代數(shù)的第一個(gè)問題是關(guān)于解線性方程組的問題，而線性方程組理論的發(fā)展又促成了作為工具的矩陣和行列式理論的創(chuàng)立與發(fā)展，這些內(nèi)容已成為線性代數(shù)的主要部分。

2 講清線性代數(shù)的主要內(nèi)容，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

線性代數(shù)主要研究線性方程組、行列式、矩陣、向量和向量空間等主要內(nèi)容。在緒論課上給學(xué)生有個(gè)粗略的介紹，讓學(xué)生對這些內(nèi)容有個(gè)基本的認(rèn)識。也能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高課堂效率。

2.1 線性方程組

先看一個(gè)簡單的例子：利用消元法，很容易求出它的解： = 3， = 0。

再看下面兩個(gè)例子：，第一個(gè)例子有無窮多個(gè)解，第二個(gè)例子沒有解。例子中方程組有兩個(gè)未知量，如果有一百個(gè)、一萬個(gè)、十萬個(gè)呢？其實(shí)，在工程計(jì)算和科研中，大規(guī)模線性方程組隨處可見。對于線性方程組，主要有三個(gè)問題：（1）是否有解？（2）有唯一解還是有無窮多解？（3）有無窮多解的話，解怎么表示？線性方程組理論是線性代數(shù)的中心內(nèi)容，主要研究解的存在性和解的結(jié)構(gòu)。

2.2 矩陣

作為解決線性方程的工具，矩陣也有不短的歷史。成書最遲在東漢前期的《九章算術(shù)》中，已經(jīng)出現(xiàn)過以矩陣形式表示線性方程組系數(shù)以解方程的圖例，可算作是矩陣的雛形。 ⑤矩陣正式作為數(shù)學(xué)中的研究對象出現(xiàn)，則是在行列式的研究發(fā)展起來后。阿瑟·凱萊被公認(rèn)為矩陣論的奠基人。他開始將矩陣作為獨(dú)立的數(shù)學(xué)對象研究時(shí)，許多與矩陣有關(guān)的性質(zhì)已經(jīng)在行列式的研究中被發(fā)現(xiàn)了，這也使得凱萊認(rèn)為矩陣的引進(jìn)是十分自然的。 他說：“我決然不是通過四元數(shù)而獲得矩陣概念的；它或是直接從行列式的概念而來，或是作為一個(gè)表達(dá)線性方程組的方便方法而來的?！雹?/p>

矩陣在產(chǎn)出分析、價(jià)格矩陣、產(chǎn)銷關(guān)系、密碼學(xué)和圖像處理等都有廣泛的應(yīng)用。 數(shù)值圖像處理中每一幅灰度圖像就是一個(gè)矩陣，而圖像處理的過程就是矩陣的運(yùn)算。

2.3 向量和向量空間

向量也常稱為矢量，即有方向和大小的量，并采用更為抽象的矢量空間（也稱為線性空間）來定義，而定義具有物理意義上的大小和方向的向量概念則需要引進(jìn)了范數(shù)和內(nèi)積的歐幾里得空間。 古希臘著名學(xué)者亞里士多德就知道了力可以表示成向量，兩個(gè)力的組合作用可用著名的平行四邊形法則來得到。向量使得代數(shù)和幾何聯(lián)系起來，是數(shù)學(xué)中非常有力的工具之一。而在物理學(xué)中的位移、速度、力、動量、磁矩、電流密度等，都是矢量。 它在流體力學(xué)、物理學(xué)和工程科學(xué)等多個(gè)自然科學(xué)中都有廣泛的應(yīng)用。

3 告訴學(xué)生為什么要學(xué)習(xí)線性代數(shù)，讓學(xué)生知道學(xué)習(xí)這門課的重要性

線性代數(shù)的內(nèi)容主要涉及到線性方程組、矩陣和向量、向量組及向量空間。 這些知識在解決生活實(shí)際問題中都起著非常重要的作用。

求解線性方程組是數(shù)學(xué)問題中最重要的問題之一，超過75 %的科學(xué)研究和工程應(yīng)用中的數(shù)學(xué)問題，在某個(gè)階段都涉及線性方程組的求解。 線性方程組的求解在中學(xué)甚至小學(xué)就已經(jīng)開始學(xué)習(xí)，可能大家覺得是一件非常簡單的事情。沒什么再值得研究學(xué)習(xí)的，是這樣的嗎？前面的方程組有兩個(gè)未知量，那如果有五個(gè)，十個(gè)，一百個(gè)，…，把未知量的個(gè)數(shù)再代數(shù)一下，個(gè)未知量呢？事實(shí)上，這就需要利用線性代數(shù)的知識去解決這些問題。

矩陣相關(guān)理論知識在解決實(shí)際問題中也發(fā)揮著越來越重要的作用。用矩陣知識可以做投入產(chǎn)出分析、價(jià)格矩陣、產(chǎn)銷矩陣及破譯密碼、編寫復(fù)雜的密碼等方面應(yīng)用；數(shù)字圖像處理的實(shí)質(zhì)就是矩陣的運(yùn)算，每一幅灰度圖像就對應(yīng)著一個(gè)矩陣；著名的搜索引擎Google則應(yīng)用了矩陣的特征值和特征向量理論；矩陣相似于對角陣的理論是機(jī)械振動、線性電路分析及自動控制理論中不可缺少的工具。

對矩陣的進(jìn)一步分析研究產(chǎn)生了向量的相關(guān)理論，有了向量、向量組、向量空間的相關(guān)概念知識后，得以使我們將代數(shù)與幾何聯(lián)系起來。 進(jìn)一步的，可以對代數(shù)有了直觀的理解。 這種關(guān)系在學(xué)過相關(guān)知識后會有一個(gè)更清晰的認(rèn)識。

學(xué)好線性代數(shù)也是部分考研學(xué)生的需要?？佳懈叩葦?shù)學(xué)的考試內(nèi)容主要有以下幾個(gè)方面：數(shù)學(xué)一：高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)和概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)二：高等數(shù)學(xué)和線性代數(shù)。可見，線性代數(shù)是考研數(shù)學(xué)的必考內(nèi)容。據(jù)了解，它所占的比例為22%。當(dāng)然，線性代數(shù)也是研究生課程學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)之一。

4 告訴學(xué)生如何才能學(xué)好線性代數(shù)，樹立學(xué)生學(xué)習(xí)這門課的信心

學(xué)生了解了線性代數(shù)這門課的主要內(nèi)容，知道了學(xué)習(xí)這門課的重要性之后，就會迫切想要知道怎樣才能學(xué)好這門課程。這時(shí)我們就要提醒學(xué)生，學(xué)好線性代數(shù)要注意的幾點(diǎn)問題：（1）線性代數(shù)是大學(xué)幾門數(shù)學(xué)里相對來說最容易的，因?yàn)檫@門課對數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)要求很低，它與中學(xué)里的數(shù)學(xué)并無多大關(guān)系，只要認(rèn)真學(xué)，每個(gè)人都可以學(xué)好。因此，現(xiàn)在每個(gè)學(xué)生都是在相同的起跑線上的，對自己要有信心。（2）抽象性是線性代數(shù)的最大特點(diǎn)。面對抽象性，我們要能做到使抽象具體化。 比如行列的定義、 矩陣的定義和線性空間的概念。（3）概念多、定理多、符號多、運(yùn)算規(guī)律多、內(nèi)容相互縱橫交錯(cuò)，知識前后緊密聯(lián)系是線性代數(shù)課程的主要特點(diǎn)，故應(yīng)充分理解概念，掌握定理的條件、結(jié)論、應(yīng)用，熟悉符號意義，掌握各種運(yùn)算規(guī)律、計(jì)算方法，并及時(shí)進(jìn)行總結(jié)。

在具體學(xué)習(xí)的過程中建議學(xué)生盡量做到如下幾點(diǎn)：（1）多思、多問、不動筆墨不讀書。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)一定要抓住數(shù)學(xué)的本質(zhì)，這就要求多思考。比如，在高中學(xué)習(xí)三角函數(shù)的時(shí)候大家有一句話叫“三角公式背不完”。 其實(shí)數(shù)學(xué)的最重要的學(xué)習(xí)方法是理解，能推導(dǎo)出公式，這樣推導(dǎo)幾次也就不會忘掉了。 韓愈在《師說》里面對老師有一個(gè)定義，“師者，傳道、授業(yè)、解惑者也”?！敖饣蟆睘閹煹囊粋€(gè)重要內(nèi)容。建議學(xué)生有什么問題一定要問，這樣可以節(jié)省他們很多時(shí)間。當(dāng)然，也不一定都問老師，也可以問身邊的同學(xué)和朋友，畢竟與他們見面的機(jī)會多些。其實(shí)學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)該叫做數(shù)學(xué)，這就要求大家一定要勤動手，避免眼高手低。注重對基本概念的理解與把握，正確熟練運(yùn)用基本方法及基本運(yùn)算。（2）知識要系統(tǒng)。線性代數(shù)主要研究了三種對象：矩陣、方程組和向量組。 這三種對象的理論是密切相關(guān)的，大部分問題在這三種理論中都有等價(jià)說法。因此，熟練地從一種理論的敘述轉(zhuǎn)移到另一種去，是學(xué)習(xí)線性代數(shù)時(shí)應(yīng)養(yǎng)成的一種重要習(xí)慣和素質(zhì)。

注釋

① 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.工程數(shù)學(xué)：線性代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2007.5。

② 李慶忠.緒論課：有效教學(xué)的起點(diǎn)[J].教學(xué)新思維，2010.8：40-41.

③ 張志讓.線性代數(shù)教材內(nèi)容與體系結(jié)構(gòu)改革的思考與實(shí)踐[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2005.4：23-24.

④ 何善亮.序言課教學(xué)：作為先行者了嗎[J].教育理論與實(shí)踐，2008.4：50-51.

⑤ Shen， Kangshen； Crossley， John N.； Lun， Anthony Wah-Cheung， Nine Chapters of the Mathematical Art [M]， Companion and Commentary. 2nd， Oxford University Press.1999.

⑥ 克萊因，莫里斯著.古今數(shù)學(xué)思想（第三卷）[M].張理京，張錦炎，江澤涵，譯.上海科學(xué)技術(shù)出版社，2002.