基于系統(tǒng)最優(yōu)維修策略的自動(dòng)化車(chē)床管理的數(shù)學(xué)優(yōu)化模型

黑龍江 姚克儉

1 問(wèn)題產(chǎn)生的背景

由于刀具損壞等原因會(huì)使工序出現(xiàn)故障，而工序出現(xiàn)故障是完全隨機(jī)的，工作人員通過(guò)檢查零件來(lái)確定工序是否出現(xiàn)故障，并且計(jì)劃在刀具加工一定件數(shù)的零件后定期更換新刀具。

因此，給定檢查間隔，對(duì)零件做檢查，當(dāng)發(fā)現(xiàn)零件不合格時(shí)則認(rèn)為工序發(fā)生故障并立即進(jìn)行停機(jī)檢查，若實(shí)際存在故障則進(jìn)行修理，無(wú)故障則繼續(xù)生產(chǎn)；當(dāng)檢查發(fā)現(xiàn)零件合格則不干涉設(shè)備的工作，當(dāng)?shù)搅硕ㄆ诟鼡Q刀具時(shí)刻，即使設(shè)備未出現(xiàn)故障，也進(jìn)行刀具更新。

問(wèn)題一：如果工序故障時(shí)產(chǎn)出的零件均為不合格品，正常產(chǎn)出的零件均為合格品，討論該工序設(shè)計(jì)效益最好的檢查間隔和刀具更換策略；

問(wèn)題二：如果該工序正常時(shí)產(chǎn)出的零件不全是合格品，有2%為不合格品；而工序故障時(shí)產(chǎn)出的零件有40%為合格品，60%為不合格品，工序正常而誤認(rèn)有故障停機(jī)產(chǎn)生的損失費(fèi)用為1500元/次，討論該工序設(shè)計(jì)效益最好的檢查間隔和刀具更換策略。

2 問(wèn)題一的檢查間隔與刀具更換策略模型

2.1 刀具故障記錄的統(tǒng)計(jì)分析

通過(guò)檢驗(yàn)可知：在α=0.10的顯著水平下，刀具無(wú)故障工作時(shí)間近似服從N（μ，δ2）分布，由極大似然估計(jì)法得到μ=600，δ2=195.642.

假設(shè)Ho:X1的概率密度函數(shù)為f(x1)=,x∈R

將X(0～1200）分為12個(gè)區(qū)間，若Ho為真，則X1的概率密度為，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表可以得到概率Pi；所以

2.2 刀具無(wú)故障工作時(shí)間的概率分布

由于刀具損失故障占95%，整個(gè)無(wú)故障工作時(shí)間的分布近似于刀具無(wú)故障工作時(shí)間長(zhǎng)的分布，即X～N(0.95μ,(0.95σ)2)。

2.3 刀具更換策略

在定期更換前，必須進(jìn)行檢查。若檢查出故障，立即修理，若沒(méi)有檢查出故障，再進(jìn)行定期更換。為了實(shí)際操作的方便，可以將定期更換周期定在第次檢查后，即：若τ0為常數(shù)，則τ1=mτ0(m=1,2,…)。

2.4 問(wèn)題一的數(shù)學(xué)模型

若X＞τ1,損失為：L1=mt+k（t為檢查費(fèi)用，k為更換刀具的費(fèi)用）

若 τ0＜X＜（n+1)τ0n=(0,1,2,…m-1)；

損失為L(zhǎng)n=(n+1)t+d+((n+1)τ0-X)f（d為故障調(diào)節(jié)所需費(fèi)用，f為產(chǎn)出不合格品的損失費(fèi)用）

針對(duì)問(wèn)題一的結(jié)果，我們采用蒙特卡羅法進(jìn)行模擬檢驗(yàn)，具體步驟如下：

⑴工序無(wú)故障工作時(shí)間X～N（600，9,1.642）,用蒙特卡洛法模擬產(chǎn)生1000個(gè)無(wú)故障工作時(shí)間的偽隨機(jī)數(shù)Xi(i=1，2，…1000）。

⑵給定檢查間隔τ0和刀具定期更換間隔τ1，可以計(jì)算出Xi所對(duì)應(yīng)的損失費(fèi)用Li，

⑷對(duì)τ0，τ1進(jìn)行搜索，求得單個(gè)零件損失費(fèi)用C最小時(shí)的最優(yōu)檢查間隔τ0=18，定期更換刀具間隔τ1=378，相應(yīng)的單個(gè)零件損失費(fèi)用為4.16元。將問(wèn)題一的結(jié)果與蒙特卡洛模擬的結(jié)果進(jìn)行比較，列表如下：

由以上數(shù)據(jù)觀察可發(fā)現(xiàn)用計(jì)算機(jī)模擬的結(jié)果與問(wèn)題一的結(jié)果比較接近，因此說(shuō)明問(wèn)題一的結(jié)果比較穩(wěn)定。

2.5 靈敏度分析

對(duì)于X～N（600,195.642）的正態(tài)分布，我們改變P（P為工序正常時(shí)不合格產(chǎn)品的比例）和（為工序故障時(shí)不合格產(chǎn)品的比例）得下表：

同理，改變誤認(rèn)為有故障而停機(jī)產(chǎn)生的損失費(fèi)（1500元/次），發(fā)現(xiàn)它的變化對(duì)C的并不明顯。

2.6 誤差分析

我們?cè)诜治龉ば驘o(wú)故障的工作時(shí)間的同時(shí)，可以用刀具無(wú)故障工作時(shí)間的分布來(lái)近似判斷，但是實(shí)際工序無(wú)故障的工作時(shí)間是未知的，若用正態(tài)分布來(lái)描述，其均值μ、均方差δ2的不確定性，對(duì)結(jié)果會(huì)造成一定的誤差，我們用問(wèn)題一的結(jié)果來(lái)進(jìn)行誤差分析，得下表：

由此可知，均值μ、均方差δ的較小變化對(duì)結(jié)果的影響不大，因此我們采用的方法近似工序無(wú)故障分配工作時(shí)間是合理的。

3 問(wèn)題二的檢查間隔與刀具更換策略模型

3.1 問(wèn)題二的分析

該問(wèn)題需要考慮兩種情況：⑴在工序正常工作時(shí)有可能檢查到2%的不合格零件而誤認(rèn)為出現(xiàn)故障停機(jī)，發(fā)現(xiàn)誤檢后不進(jìn)行換刀，繼續(xù)正常工作，每次誤停機(jī)將造成1500元的損失；⑵由于工序發(fā)生故障后仍有40%的合格零件產(chǎn)生，必然會(huì)導(dǎo)致因?yàn)闄z查到40%的合格零件而認(rèn)為工序正常的錯(cuò)誤，這樣會(huì)增加不合格零件的數(shù)量和相應(yīng)不必要的檢查，從而使工序的損失增加。

3.2 問(wèn)題二的數(shù)學(xué)模型

我們建立以單位合格零件的期望損失為目標(biāo)的函數(shù)方程

系統(tǒng)工序合格零件的單位期望損失E（L）=

其中系統(tǒng)工序的總損失U總=U1(換刀前出現(xiàn)故障的損失)+U2（換刀前未出現(xiàn)故障的損失）；假設(shè)整個(gè)系統(tǒng)共包括N次更新過(guò)程，換刀前出現(xiàn)故障的更新次數(shù)：N·F（T）(F（T）為以T更新周期的情況下工序出現(xiàn)故障的概率)，換刀前未出現(xiàn)故障的更新次數(shù)：N·（1-F（T））。

所以 U1=N·（1-F（T））P1U2=N·F（T）P1P2

P1、P2為在兩次總損失U1、U2下的單位更新過(guò)程的損失費(fèi)用。

下面通過(guò)對(duì)一個(gè)換刀間隔T的研究來(lái)求P1、P2。

⑴換刀前未出現(xiàn)故障的更新過(guò)程的單位損失費(fèi)用P1包括：一次換刀費(fèi)用K；檢查費(fèi)用g1tg1=；誤檢測(cè)而停機(jī)造成的損失費(fèi)用為×1500=30g1；在工序正常運(yùn)行中產(chǎn)生的不合格零件的損失費(fèi)用=單位換刀間隔T內(nèi)產(chǎn)生的不合格零件數(shù)T×20%與單個(gè)不合格零件的損失f的乘積，即；

綜合上述費(fèi)用即為換刀前未出現(xiàn)故障的更新過(guò)程的單位損耗費(fèi)用P1,

P1=K+g1T+30g1T+,

⑵同理，換刀前未出現(xiàn)故障的總損失U2=NF(T)P2，

其中單位換刀間隔內(nèi)的x點(diǎn)處發(fā)生故障的平均損失費(fèi)用Wx包括：

①發(fā)生故障前的檢查費(fèi)用(g2-1)（g2表示包括故障后那次檢查的故障前所有檢查次數(shù)的和）；

②發(fā)生故障前由于誤檢停機(jī)造成的損失費(fèi)用 (g2-1)×2%×1500=30(g2-1)；

④發(fā)生故障后的檢查所需費(fèi)用 ；

⑤對(duì)故障進(jìn)行維修換刀的平均損失：（1-0.4g1-g2+1）d，其中0.4g1-g2+1為第g1-g2+1次檢查時(shí)檢查到合格品時(shí)的概率。

⑥發(fā)生故障后產(chǎn)生的不合格零件的平均損失費(fèi)用：

當(dāng)故障發(fā)生后第一次檢查到合格零件而誤認(rèn)為是無(wú)故障發(fā)生直到檢查出故障而進(jìn)行換刀或維修為止的情況，這時(shí)損失可分為兩個(gè)部分：

第一，發(fā)生故障產(chǎn)生后到第一次檢查所產(chǎn)生不合格零件的損失，即為0.6hf。

第二，從發(fā)生故障后的第一次檢查直到維修換刀時(shí)產(chǎn)生的不合格零件的平均損失費(fèi)用為（H+0.4Tc+0.42Tc+…+0.4g1-g2T）c0.6f

整個(gè)系統(tǒng)的平均損失為

共產(chǎn)生的合格品零件總數(shù)為：

⑴換刀前未發(fā)生故障所產(chǎn)生的總的合格品零件個(gè)數(shù)：N[1-F(T)]T×98%;

⑵換刀前發(fā)生故障所產(chǎn)生的總的合格品零件個(gè)數(shù)：

考慮到一般設(shè)備使用期限內(nèi)可分為穩(wěn)定期和不穩(wěn)定期。這里的穩(wěn)定是指故障少，而所謂不穩(wěn)定是指故障比較多。

可以改進(jìn)等間隔檢查方式，使其在穩(wěn)定期內(nèi)檢查間隔長(zhǎng)，在不穩(wěn)定期內(nèi)檢查間隔短，從而獲得更高的效益。也就是說(shuō)故障率大時(shí)（即設(shè)備運(yùn)行到時(shí)刻未發(fā)生故障的條件下，[x，x+dx]時(shí)間內(nèi)設(shè)備發(fā)生故障的條件概率最大），則單位時(shí)間內(nèi)的檢查次數(shù)n(x)也隨之增大，令n(x)=，其中

p(x)dx是設(shè)備在[x，x+dx]內(nèi)發(fā)生故障的概率，1-F(x)是時(shí)刻設(shè)備未發(fā)生故障的概率。

相對(duì)于問(wèn)題一，由于問(wèn)題二發(fā)生故障后仍有40%的合格品產(chǎn)生，因此給檢查帶來(lái)了困難，為了盡量減少誤檢造成的損失，于是相應(yīng)的檢查間隔變大而換刀時(shí)間間隔減小，從而單位期望值也由4.75變?yōu)?.047。

設(shè)計(jì)安裝工序自動(dòng)檢測(cè)調(diào)節(jié)裝置，對(duì)于每個(gè)零件進(jìn)行檢查，假設(shè)檢查費(fèi)用為零，下面給出的自動(dòng)檢測(cè)調(diào)節(jié)系統(tǒng)可以有效避免上述問(wèn)題中正常工序而誤認(rèn)為故障停機(jī)產(chǎn)生的損失，從而降低單位零件的平均管理成本。

設(shè)為自動(dòng)檢測(cè)調(diào)節(jié)裝置統(tǒng)計(jì)的件數(shù)，本系統(tǒng)按順序檢查個(gè)零件出現(xiàn)的不合格品數(shù)，建立動(dòng)態(tài)檢測(cè)模式，自動(dòng)記錄按順序檢查的和個(gè)零件中出現(xiàn)的不合格品數(shù)，并且自動(dòng)記錄工序正常時(shí)所檢測(cè)的零件個(gè)數(shù)，有以下四種情況：

⑴順序統(tǒng)計(jì)的個(gè)零件，次品率低于2%，認(rèn)為工序正常，繼續(xù)生產(chǎn)；

⑵順序統(tǒng)計(jì)的個(gè)零件，次品率高于2%低于60%，但所有已檢查零件的次品率低于2%，認(rèn)為工序正常，繼續(xù)生產(chǎn)；

⑶順序統(tǒng)計(jì)的個(gè)零件，次品率高于60%，但所有已檢查零件的次品率低于2%，認(rèn)為工序正常，繼續(xù)生產(chǎn)；

⑷順序統(tǒng)計(jì)的個(gè)零件，次品率高于60%，并且所有檢查零件的次品率高于2%，認(rèn)為工序故障，系統(tǒng)自動(dòng)發(fā)出信號(hào)并進(jìn)行調(diào)節(jié)。

若考慮到其它故障，我們將上述模型的假設(shè)條件改為：其它故障與刀具故障的發(fā)生相互獨(dú)立，其它故障服從于區(qū)間[0,22800]的均勻分布，該模型的表達(dá)式依然成立，只需遍歷其它故障的發(fā)生、刀具故障的發(fā)生以及第一次檢測(cè)出不合格品這三個(gè)事件的所有情況即可推出，只不過(guò)其形式相當(dāng)復(fù)雜，有待于我們進(jìn)一步完善。

4 模型的評(píng)價(jià)與改進(jìn)

該模型通過(guò)對(duì)檢查間隔和換刀間隔進(jìn)行遍歷搜索，得到了固定檢查間隔下的最優(yōu)解。它是以單位期望效益為目標(biāo)的更新報(bào)酬定理的改進(jìn)與推廣，廣泛適合于自動(dòng)化2的管理系統(tǒng)，對(duì)多道工序和多種零件的復(fù)雜車(chē)床管理系統(tǒng)有一定的指導(dǎo)意義。

[1]蔡俊.可靠工程學(xué)［M］.哈爾濱：黑龍江科學(xué)技術(shù)出版社，1990,2.

[2]沈玉波，馮敬海.可修系統(tǒng)的最優(yōu)化檢測(cè)更新模型［J］.數(shù)學(xué)實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，1999,03.