電磁波反射折射中能量守恒關(guān)系的分析

張建華，黃 冶

(電子工程學(xué)院，安徽合肥 230037)

電磁波對(duì)平面邊界的入射、反射和折射是“電磁場(chǎng)與電磁波”課程中一項(xiàng)重點(diǎn)內(nèi)容［1-5］，功率流密度即坡印廷矢量是反映電磁能量流動(dòng)的一個(gè)重要物理量［6］。當(dāng)均勻平面波垂直入射于平面邊界上時(shí)，入射波的功率流密度減去反射波的功率流密度，等于折射波的功率流密度，即滿足能量守恒定律。但是，我們經(jīng)常發(fā)現(xiàn)有些學(xué)生將垂直入射的這種能量守恒關(guān)系直接應(yīng)用于斜入射的情況，導(dǎo)致錯(cuò)誤。

本文以全折射情況為例，分析了將垂直入射的能量守恒關(guān)系直接應(yīng)用于斜入射情況時(shí)所導(dǎo)致的錯(cuò)誤結(jié)果，并對(duì)其原因進(jìn)行解釋。筆者以三種不同機(jī)理推導(dǎo)了電磁波斜入射情況下的能量守恒關(guān)系，這三種機(jī)理分別是:①功率流密度的矢量性;②分界面單位面積上的功率流密度;③定義功率反射系數(shù)和功率折射系數(shù)。最后從射線管的角度分析了全折射時(shí)的能量守恒關(guān)系。我們采用多種機(jī)理分析電磁波斜入射情況下的能量守恒關(guān)系，有助于學(xué)生融會(huì)貫通，深入理解電磁波斜入射時(shí)的能量守恒關(guān)系。

1 均勻平面波垂直入射的能量守恒

均勻平面波垂直入射至兩種介質(zhì)平面分界面時(shí)，由邊界條件可得反射系數(shù)R和折射系數(shù)T為式中，η1和η2分別為媒質(zhì)I和媒質(zhì)Ⅱ兩種介質(zhì)的波阻抗。利用上式可以證明入射的功率流密度Si和折射的功率流密度St有下列關(guān)系:

該式表明:在媒質(zhì)I，入射波傳播的功率減去反射波向相反方向傳播的功率等于向媒質(zhì)Ⅱ折射的功率，符合能量守恒定律。我們?cè)诮虒W(xué)中發(fā)現(xiàn)，式(2)和式(3)在某些情況下將會(huì)引發(fā)學(xué)生對(duì)有關(guān)能量守恒定律的歧義，理解困難。一種情況是:當(dāng)η2＞η1時(shí)，由式(2)可得折射系數(shù)為

這說(shuō)明折射波的電場(chǎng)強(qiáng)度大于入射波的電場(chǎng)強(qiáng)度。乍一看，似乎違反了能量守恒定律。實(shí)則不然，因?yàn)檎凵洳ǖ墓β柿髅芏葹?/p>

另一種情況是:如果將式(3)直接應(yīng)用于斜入射情況，會(huì)得到矛盾的結(jié)果。一個(gè)最簡(jiǎn)單的例子是平行極化波發(fā)生全折射的情況，此時(shí)反射系數(shù)=0，由式(3)應(yīng)有Si=St。然而，利用折射系數(shù)與反射系數(shù)的關(guān)系式:

可得全折射時(shí)的折射系數(shù)為

將此結(jié)果代入媒質(zhì)Ⅱ中的功率流密度公式可得

由上式可見(jiàn)，St≠Si，即式(3)不再成立。這說(shuō)明斜入射時(shí)，假如仍然按折射功率密度St=Si(1－R2)處理，會(huì)得出錯(cuò)誤的結(jié)果。

那么，為什么不能將垂直入射條件下的能量守恒關(guān)系式(3)直接應(yīng)用于斜入射情況呢?這可以從以下兩個(gè)方面進(jìn)行解釋。

(1)功率流密度是有傳播方向的，是矢量。斜入射時(shí)，入射波功率流密度、反射波功率流密度和折射波功率流密度的傳播方向不在同一條直線上;

(2)功率流密度表示的是通過(guò)單位面積的傳播功率，該單位面積是指垂直于傳播方向上的單位面積，當(dāng)斜入射時(shí)，該單位面積在邊界面上對(duì)應(yīng)的面積發(fā)生變化，不再是單位面積了。

2 均勻平面波斜入射時(shí)的能量守恒

2.1 矢量形式的能量守恒

我們現(xiàn)在討論均勻平面波對(duì)平面邊界的斜入射，以垂直極化波斜入射到兩種非鐵磁性理想介質(zhì)分界面為例，如圖1所示。

圖1 平面波斜入射示意圖

其中，R⊥為垂直極化波的反射系數(shù)，其他變量如圖1所示。按照能量守恒定律，該功率流進(jìn)入媒質(zhì)Ⅱ，即為折射波的功率流密度，方向是折射波方向，下面對(duì)此進(jìn)行證明。

折射波的功率流密度矢量為

其中，St為折射功率流密度的模值，T⊥為垂直極化波的折射系數(shù)，θt為折射角。由邊界條件可得垂直極化波的反射系數(shù)和折射系數(shù)為

將以上兩式分別代入式(9)和式(10)，可得

即有

上式或其具體表達(dá)式(12)即為矢量形式的能量守恒關(guān)系。

2.2 分界面單位面積上的能量守恒

對(duì)于斜入射情況下式(3)不成立的原因，本文給出另一種形式的能量守恒關(guān)系。

入射波功率流密度Si的模值表示的是在與入射方向垂直的單位面積上傳播的功率，而不是入射到分界面單位面積上的功率。入射到分界面單位面積上的功率是

反射波和折射波每秒從分界面單位面積帶走的能量分別是

將反射系數(shù)和折射系數(shù)公式(11)代入上式得

上式表明:入射到分界面單位面積上的功率減去反射波每秒從分界面單位面積帶走的能量，等于折射波每秒從分界面單位面積帶走的能量，即滿足能量守恒定律。該能量守恒關(guān)系也可寫(xiě)為

與第2.1節(jié)的結(jié)果比較，上式即是式(13)的z分量相等。

2.3 功率反射系數(shù)和折射系數(shù)形式的能量守恒

下面再?gòu)墓β史瓷湎禂?shù)和功率折射系數(shù)的角度來(lái)分析能量守恒關(guān)系。定義功率反射系數(shù)和折射系數(shù)分別為

可以證明

以下分兩種情況進(jìn)行分析，一種是入射波電場(chǎng)矢量垂直于入射面的垂直極化波，另一種是入射波電場(chǎng)矢量平行于入射面的平行極化波。

(1)對(duì)于垂直極化波，可將式(20)代入式(11)，易得

該式表明:在z軸方向上，反射功率流密度與透射功率流密度之和等于入射功率流密度。該式與第2.1節(jié)和2.2節(jié)表述的能量守恒關(guān)系在本質(zhì)上是一致的。

(2)對(duì)于平行極化波，反射系數(shù)和折射系數(shù)分別寫(xiě)為

可得

上式即為平行極化波在z軸方向上的功率反射系數(shù)和折射系數(shù)形式的能量守恒關(guān)系。如上所述，該式本質(zhì)上與前面的分析是一致的，不過(guò)是從不同的角度予以證明而已。

圖2給出了當(dāng)η1/η2=2時(shí)，垂直極化波和平行極化波的功率反射系數(shù)和折射系數(shù)的數(shù)值計(jì)算結(jié)果，同樣表明了Rp+Tp=1。從圖2(b)中還可以看到全折射時(shí)的情況，當(dāng)入射角等于63.4°時(shí)，功率反射系數(shù)等于零，對(duì)應(yīng)的功率折射系數(shù)等于1。

2.4 全折射時(shí)的能量守恒關(guān)系

在本文第一部分中曾以全折射情況為例，分析了不能直接將垂直入射情況下的能量守恒關(guān)系應(yīng)用于斜入射，此時(shí)正確的能量守恒關(guān)系見(jiàn)上述第2.1節(jié)至2.3節(jié)的分析。我們把與等相位面垂直的電磁波傳播軌跡稱為射線，由一簇射線組成的能量傳播通道稱為射線管，沿一個(gè)射線管的總能流是常數(shù)。下面再?gòu)纳渚€管的角度來(lái)分析全折射時(shí)的能量守恒關(guān)系。

圖2 功率反射系數(shù)和功率折射系數(shù)

我們知道，功率流密度表示的是在垂直于傳播方向的單位面積上傳播的功率。在媒質(zhì)Ⅰ中垂直于入射方向的單位面積上傳播的入射功率為||2/2η1，如圖 3 所示。

圖3 發(fā)生全折射時(shí)的幾何關(guān)系示意圖

設(shè)該單位面積在xz平面內(nèi)邊長(zhǎng)為l1，在y軸方向邊長(zhǎng)為ly(為了簡(jiǎn)潔，圖中沒(méi)有標(biāo)示ly)，l1在z=0的邊界面上的對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)度lx為

lx在垂直于折射波傳播方向的橫截面內(nèi)對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)度l2為

按照能量守恒定律，發(fā)生全折射時(shí)，媒質(zhì)Ⅰ中單位面積l1ly上流過(guò)的能量應(yīng)該等于媒質(zhì)Ⅱ中面積l2ly上流過(guò)的能量，該結(jié)論可以證明如下。

在媒質(zhì)Ⅱ中垂直于折射方向的單位面積上傳播的折射功率為|E·i0|2/2η2，則

利用式(7)，計(jì)及非鐵磁性媒質(zhì)的布儒斯特角和相應(yīng)的折射角滿足關(guān)系θt=π/2－θB，代入上式可得

這樣就從射線管的角度詮釋了全折射時(shí)的能量守恒關(guān)系。

3 結(jié)語(yǔ)

本文從四個(gè)不同視角分析了電磁波斜入射情況下的能量守恒關(guān)系，得到了能量守恒關(guān)系式，即式(12)和式(13)、式(16)和式(17)以及式(19)和式(27)。這些表達(dá)式有助于我們深入理解斜入射時(shí)能量守恒關(guān)系的本質(zhì)，使我們能夠觸類旁通地靈活運(yùn)用能量守恒關(guān)系。

［1］ 鐘順時(shí).電磁場(chǎng)基礎(chǔ)［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2006

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［3］ 孫玉發(fā)等.電磁場(chǎng)與電磁波［M］.合肥:合肥工業(yè)大學(xué)出版社，2006

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［6］ 杜曉燕，楊明珊，安娜.關(guān)于坡印廷矢量教學(xué)的幾點(diǎn)思考［J］.南京:電氣電子教學(xué)學(xué)報(bào)，2012，34(6):118-120