《2.2 圓的一般方程》教學(xué)設(shè)計

趙琳

【教學(xué)分析】

本節(jié)內(nèi)容研究圓的一般方程是在學(xué)習(xí)了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的基礎(chǔ)上將圓的方程展開，化成二元二次方程的形式：x2+y2+Dx+Ey+F=0，從而得出：任何一個圓的方程都可以寫成這種形式.教材討論二元二次方程所表示的曲線運用了“由簡單到復(fù)雜、由特殊到一般”的化歸思想，這種思想要求學(xué)生理解與掌握.

【三維目標(biāo)】

1.理解記憶圓的一般方程的代數(shù)特征，由圓的一般方程確定圓的圓心、半徑.

2.通過配方等手段，把圓的一般方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.能用待定系數(shù)法和幾何分析法求圓的方程，同時滲透數(shù)形結(jié)合、類比與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生分析解決問題的實際能力.

【重點難點】

教學(xué)重點：一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程間的互化，根據(jù)已知條件確定方程的系數(shù)D、E、F.

教學(xué)難點：對圓的一般方程的認識、掌握和運用.

【教學(xué)過程設(shè)計】

一、復(fù)習(xí)回顧

我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（x-a）2+（y-b）2=r2，圓心（a，b），半徑r.

問：幾個量確定方程？（a，b），r的作用？學(xué)生：a，b，r三個量確定方程，圓心定位，半徑定圓的大小.

問：每個圓都有標(biāo)準(zhǔn)方程嗎？學(xué)生：都有，放在平面直角坐標(biāo)系中可以確定圓心的坐標(biāo)。

師：學(xué)習(xí)了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，可以將幾何問題代數(shù)化，通過方程更好地研究圓.

今天繼續(xù)學(xué)習(xí)圓的方程.

二、探索新知

通過類比直線方程一般式引導(dǎo)學(xué)生展開圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

（x-a）2+（y-b）2=r2，圓心（a，b），半徑r.

把圓的標(biāo)準(zhǔn)方程展開，并整理：

x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0.

取D=-2a，E=-2b，F(xiàn)=a2+b2-r2得x2+y2+Dx+Ey+F=0

師：每個圓的方程都可以寫成x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式，反過來給出一個形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程，它表示的曲線一定是圓嗎？

問：下列方程表示圓嗎？

（1）x2+y2-2x+4y+1=0

（2）x2+y2+2x-2y+2=0

（3）x2+y2-2x-4y+6=0

學(xué)生：（1）表示圓，圓心（1，-2），半徑2；（2）表示點（-1，1）；（3）不表示任何圖形。

師：x2+y2+Dx+Ey+F=0滿足什么條件才能表示圓？

（x+ ）2+（y+ ）2= 這個方程是不是表示圓？

（1）當(dāng)D2+E2-4F>0時，表示以（- ，- ）為圓心， 為半徑的圓；

（2）當(dāng)D2+E2-4F=0時，方程只有實數(shù)解x=- ，y=- ，即只表示一個點（- ，- ）；

（3）當(dāng)D2+E2-4F<0時，方程沒有實數(shù)解，因而它不表示任何圖形.

我們把形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的表示圓的方程稱為圓的一般方程.

深入分析一般方程：

（1）圓的一般方程中有三個特定的系數(shù)D、E、F，只要求出這三個系數(shù)，圓的方程就確定了，

（2）標(biāo)準(zhǔn)方程更能體現(xiàn)圓形的幾何特征，圓心（a，b），半徑r.

一般方程更能體現(xiàn)方程的代數(shù)特性：二元二次方程.

（3）標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程可以互相轉(zhuǎn)化。

三、知識應(yīng)用

例1.方程x2+y2+4kx-2y+5k=0表示圓的條件是（ ）

A.1 C.k< D.k>1

例2.求過點M（-1，1），且圓心與已知圓C：x2+y2-4x+6y-3=0相同的圓的方程.

例3.求過三點O（0，0），M1（1，1），M2（4，2）的圓的方程，并求這個圓的半徑長和圓心坐標(biāo).

例4.如圖所示，一座圓拱橋，當(dāng)水面在圖示位置時，拱頂離水面2 m，水面寬12 m，當(dāng)水面下降1 m后，水面寬多少米？

四、課堂小結(jié)

（1）任何圓的方程都可以寫成x2+y2+Dx+Ey+F=0形式，但方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲線不一定都是圓，當(dāng)D2+E2-4F >0時，方程表示（- ，- ）為圓心， 為半徑的圓；

（2）圓的一般方程中有三個特定的系數(shù)D、E、F，因此只要求出這三個系數(shù)，圓的方程就確定了；

（3）求圓的方程，根據(jù)條件特點選擇合適的方程形式：若條件與圓心、半徑有關(guān)，則宜用標(biāo)準(zhǔn)方程；若條件主要是圓經(jīng)過的點的坐標(biāo)，則宜用一般方程。

五、作業(yè)布置

1.三維設(shè)計相關(guān)內(nèi)容；2.課本習(xí)題2-2A組3.

（作者單位 陜西省西安中學(xué)）

編輯 王團蘭