新邏輯主義的困境與二階分層概括

劉靖賢

（遼寧大學哲學與公共管理學院，遼寧沈陽110136）

一、邏輯主義從弗雷格到蒯因

弗雷格的《算術基本規(guī)律》在實質(zhì)上是由二階邏輯和公理V構成的理論[1]。二階邏輯是在一階邏輯的基礎上得到的，它不僅包括關于二階量化的公理，還包括標準概括公理，后者是說，任意可表達公式都可以斷定一個概念的存在，

公理V是說，概念X的外延和概念Y的外延相等當且僅當X和Y等價，

其中ε是外延算子。然而，公理V與概括公理導致羅素悖論。從證明論角度看，可以用外延算子定義屬于關系，

然后，根據(jù)概括公理，可以斷定“不屬于自身”這個概念的存在，即［x：x?x］；再根據(jù)公理V，可以得到這個概念的外延，即 ε［x：x?x］。由此可得，

即“不屬于自身”這個概念的外延屬于自身當且僅當它不屬于自身。從模型論角度看，概括公理要求，如果一階變元的取值范圍是D，則二階變元的取值范圍是 （D），即D的冪集；而公理V要求，存在二階變元和一階變元之間的一一對應。但是，根據(jù)康托對角線定理，這兩個要求不能同時滿足。

為了避免悖論，羅素和懷特海在《數(shù)學原理》中給出了類型論[2]。類型論在實質(zhì)上是由直謂概括公理、還原公理、無窮公理和選擇公理構成的。類型論被表述在高階邏輯中，它包括：一階變元x，y，z；二階變元X0，Y0，Z0；三階變元X1，Y1，Z1；（n+2）階變元Xn，Yn，Zn。不同階次變元的區(qū)分相當于弗雷格關于不同層次概念的區(qū)分。事實上，羅素用“命題函項”取代了弗雷格“概念”。高階邏輯不僅包括關于不同階次量化的公理，也包括直謂概括公理，

還原公理是說，任意階次的變元Xn都等價于一個二階變元X0，

另外，無窮公理斷定了無窮概念的存在，而選擇公理斷定了選擇函數(shù)的存在。

對于標準概括公理來說，二階量詞出現(xiàn)在斷定二階變元存在的公式中，所以一個公式可以通過量化所有二階變元來定義一個二階變元的存在，也就是說，為了定義一個二階變元，需要提及所有的二階變元。這就是所謂的惡性循環(huán)。但是，直謂概括公理可以避免標準概括公理的惡性循環(huán)，因為包含二階量詞的公式不能斷定一個二階變元的存在，所以?Y（y=εY∧﹁Yx）不能斷定［x：x?x］的存在，也就是說，不能斷定“不屬于自身”這個概念的存在。因此，直謂概括公理可以避免悖論。

弗雷格和羅素都把他們的系統(tǒng)表述在高階邏輯中，但事實上，他們的系統(tǒng)也可以表述在一階邏輯中。令∈是一階語言的初始符號。在一階邏輯中，二階概括公理被表述為

這實際上是樸素集合論的概括公理，它是說，任意可表達公式都斷定一個集合的存在。公理V被表述為

這實際上是樸素集合論的外延公理。如果把一階變元區(qū)分為不同的種類，然后加標，即x0，y0，z0…，x1，y1，z1，…，xn，yn，zn，則可以把直謂概括公理表述為

在上述一階版本的類型論的基礎上，蒯因在《數(shù)理邏輯的新基礎》中給出了一個新的系統(tǒng)（簡記為NF）[3][4]，它包括外延公理和分層概括公理，后者是說，任意一個分層公式可以斷定一個集合的存在，

一個公式φ是分層的，當且僅當，存在一個從變元到自然數(shù)的函數(shù)s，使得任給φ的原子公式x=y，s（x）=s（y），并且任給 φ 的原子公式x∈y，s（x）+1=s（y）。

在蒯因看來，如果斷定集合存在的公式中不出現(xiàn)像x∈x或?y（x∈y∧y∈x）這樣的循環(huán)性，則羅素悖論也是可以避免的。顯然，根本不存在一個函數(shù)s，使得s（x）+1=s（x）；也不存在一個函數(shù)s，使得s（x）+1=s（y）并且s（y）+1=s（x）；因此，x∈x和?y（x∈y∧y∈x）都不是分層公式。根據(jù)分層的限制條件，并不存在不屬于自身的集合。因此，分層概括公理也可以避免悖論。

二、直謂新邏輯主義的困境

受羅素類型論的啟發(fā)，赫克[5]和博格斯[6]分別證明公理V與二階直謂概括公理的一致性。二階直謂概括公理是說，

但是，赫克的直謂理論不同于博格斯的直謂理論。赫克使用了公理V的模式版本，外延算子作用于任意二階公式的一階變元，而博格斯使用了公理V的公理版本，外延算子作用于二階變元，

在標準概括公理的前提下，模式版本和公理版本是等價的，因為任意公式都可以斷定一個概念的存在，而任意概念都有一個外延，所以任意公式都有一個外延。但是，如果概括公理受到限制，則模式版本強于公理版本：對于模式版本來說，仍然可以保證任意公式都有一個外延；而對于公理版本來說，因為不能保證任意公式都可以斷定一個概念的存在，而只有概念才有外延，所以不能保證任意公式都有一個外延。

在直謂概括公理的前提下，公式?X（x=εX∧﹁Xx）包含二階量詞，所以直謂概括公理不能斷定與這個公式等價的概念的存在，即不存在“不屬于自身”這個概念；又因為公理版本的公理V把外延算子作用于二階變元，所以不能得到“不屬于自身”這個概念的外延。因此，不能得到“‘不屬于自身’這個概念的外延屬于自身當且僅當它不屬于自身”。另一方面，因為模式版本的公理V直接把外延算子作用于任意二階公式的一階變元，所以由它可以得到“不屬于自身”這個概念的外延，即 ε［x：?Y（y=εY∧﹁Yx）］。但是，相對于弗雷格關于屬于符號的定義，直謂概括公理和模式版本的公理V不能推出如下定理[5]212，

這個定理在推導羅素悖論時發(fā)揮了重要作用，如果它不成立，則不能推出羅素悖論。因此，雖然由模式版本可以得到“不屬于自身”這個概念的外延，但它不會導致悖論。

兩個版本的公理V都與直謂概括公理一致，但是公理版本的公理V和直謂概括公理不能推出休謨原則。為了推出休謨原則，需要把一個概念的數(shù)定義為某個特定概念的外延，即

然而，公式?X（x=εX∧X≈F）包含二階量詞?X，其中X≈F是縮寫，

這個縮寫也包含二階量詞?R。因此，直謂概括公理不能斷定與這個公式等價的概念的存在，由公理版本的公理V也不能得到這個概念的外延。雖然博格斯[6]93～104，113～117表明，不僅直謂概括公理與公理版本的公理V可以解釋羅賓森算術，而且直謂概括公理和休謨原則也可以解釋羅賓森算術，但是博格斯忽略了如何從公理版本的公理V推出休謨原則的過程。這顯然違背了弗雷格原意。在弗雷格看來，必須首先把算術公理還原為休謨原則，然后把休謨原則還原為公理V，從而最終把算術公理還原為邏輯公理。公理版本的公理V割裂了邏輯公理與休謨原則之間的關聯(lián)。

赫克[5]217～218表明，模式版本的公理V可以推出休謨原則，因為外延算子直接作用于二階公式的一階變元，所以概念F的數(shù)可以被定義為ε［x：?X（x=εX∧X≈F）］。但是，模式版本的公理V不符合弗雷格關于概念和外延之間關系的基本觀點，即概念是初始的，而概念的外延是派生的。弗雷格說：“在通常數(shù)學的許多專業(yè)術語中，語詞‘函數(shù)’當然對應于我在此處稱為函數(shù)值域的東西。但是函數(shù)是邏輯在先的，就此處所使用的這個詞的意義而言?！盵7]142雖然弗雷格在這里談論的是函數(shù)，但是概念是其值為真值的函數(shù)，所以概念是函數(shù)的特例，外延是函數(shù)值域的特例。因此，關于函數(shù)及其值域的談論也適用于概念及其外延。按照弗雷格的說法，概念與其外延之間是完全對應的，因為落在一個概念中的對象恰好是屬于這個外延的對象，即?x（Fx?x∈εF）。但這并不意味著概念與其外延處于同等地位；相反地，概念的邏輯地位優(yōu)先于外延的邏輯地位，只有在得到一個概念的前提下才能談論這個概念的外延，也就是說，首先根據(jù)概括公理，一個公式可以斷定一個概念的存在，然后根據(jù)公理版本的公理V，從這個概念得到這個概念的外延。然而，模式版本的公理V顛倒了這個順序，它把外延算子直接作用于二階公式的一階變元，在不能確定與這個二階公式等價的概念是否存在的前提下，可以直接從這個公式得到一個外延。

由此可見，直謂新弗雷格主義陷入了兩難困境：一方面，模式版本的公理V可以推出休謨原則，但是模式版本顛倒了概念和外延的先后關系，不符合弗雷格關于“概念是邏輯在先”的基本觀點；另一方面，公理版本的公理V符合弗雷格關于“概念是邏輯在先”的基本觀點，但是公理版本不能推出休謨原則，這又違背了弗雷格“從公理V到休謨原則再到算術公理”的邏輯主義方案。

三、二階分層概括

那么是否存在某種受限制的概括公理，使得既可以符合弗雷格關于“概念先于外延”的觀點，又可以按照弗雷格關于數(shù)的定義從公理版本的公理V推出休謨原則？這是上一節(jié)留給我們的問題。本小節(jié)嘗試在二階分層概括的前提下解決這個問題。

我把由公理版本的公理V和二階分層概括公理構成的理論稱為FNF。它的語言包括：一階變元x，y，z；一元二階變元X，Y，Z；二元二階變元R，S，T；連接詞﹁，∨；一階和二階量詞?；等詞=；外延算子 ε?！模?，?和?可以按照通常的方式定義。它的項的形成規(guī)則包括：

如果x是一階變元，則x是項

如果X是二階變元，則εX是項

它的公式的形成規(guī)則包括：

如果X是二階變元，并且t是項，則Xt是原子公式

如果t和t′是項，并且R是一元二階變元，則t=t′和Rtt′是原子公式

如果φ和ψ是公式，則﹁φ和φ∨ψ是公式

如果x是一階變元，φ是公式，則?xφ是公式

如果X是一元二階變元，R是二元二階變元，φ是公式，則?Xφ和?Rφ是公式它的最重要的三條公理分別是公理版本的公理V、一元分層概括和二元分層概括：

一個公式φ是二階分層公式，當且僅當，存在一個從變元到自然數(shù)的函數(shù)s，使得任給φ中二階變元X，s（X）=s（εX）；任給 φ 的原子公式t=t′，s（t）=s（t′）；任給 φ 的原子公式Xt，s（t）+1=s（X），并且任給 φ 的原子公式Rtt′，s（t）=s（t′）并且s（t）+1=s（R）。

在羅素悖論的推導過程中，需要斷定與公式?X（x=εX∧﹁Xx）等價的概念的存在，由此可以斷定“不屬于自身”這個概念的存在，即［x：x?x］。但是，?X（x=εX∧Xx）不是二階分層公式，因為不存在一個函數(shù)s使得s（x）=s（εX）=s（X）并且s（x）+1=s（X）；因此，在 FNF 中，?X（x=εX∧﹁Xx）不能斷定一個概念的存在。

事實上，可以證明FNF相對于NF是一致的。也就是說，如果NF是一致的，則FNF是一致的。換言之，如果從FNF可以推出矛盾，則從NF也可以推出矛盾。

首先，證明二元 FNF 相對于一元 FNF 是一致的。令O（x1，x2，y）是“y是序?qū)Γ▁1，x2）”的縮寫，即

由此可以把二元FNF公式翻譯為一元FNF公式。令q是從一元二階變元和二元二階變元到一元二階變元的雙射。然后把q擴展到從項到自身的恒等映射，也就是說，如果t是x或εX，則q（t）是t自身。在此基礎上，定義從二元FNF公式到一元FNF公式的翻譯函數(shù)p

引理1：二元FNF相對于一元FNF是一致的

證明：僅僅需要證明二元分層概括經(jīng)過翻譯后在一元FNF中是可證的。二元分層概括經(jīng)過翻譯后變成

其中p（R）=Y，y是不在φ中出現(xiàn)的一階變元。由一元分層概括可以得到

顯然，如果φ分層公式，則p（φ）也是分層公式。由此可得

根據(jù)O（x1，x2，y）的定義，從?x1?x2（O（x1，x2，y）∧Yy）??x1?x2（O（x1，x2，y）∧p（φ））可以得到?x1?x2（O（x1，x2，y）∧Yy?O（x1，x2，y）∧p（φ）），由此得到

然后得到

再根據(jù)O（x1，x2，y）的定義，p（φ）??y（O（x1，x2，y）∧p（φ）），因此

得證?！?/p>

其次，證明一元FNF相對于NF是一致的。令g是從一階變元和一元二階變元到一階變元的雙射，并且規(guī)定g（εX）=g（X）。在此基礎上，定義從一元FNF公式到NF公式的翻譯函數(shù)f：

引理2：一元FNF相對于NF是一致的

證明：公理版本的公理V經(jīng)過翻譯后變成

一元分層概括經(jīng)過翻譯后變成

顯然，這兩條翻譯后的公理在NF中是可證的?！?/p>

定理1：FNF相對于NF是一致的

證明：由引理1和引理2可得。□

現(xiàn)在我說明如何在FNF中推出休謨原則。根據(jù)二階分層概括，可以用外延算子定義數(shù)算子，

上述定義是合理的，因為公式?X（z=εX∧X≈F）是分層的。關于這個分層公式的指派函數(shù)是

其中X（2）≈F（2）是如下公式的縮寫

由此可以按照通常的方式從公理版本的公理V推出休謨原則。

[1]Gottlob Frege．The Basic Laws of Arithmetic：Exposition of the System[M]．Montgomery Furth Translated and Edited，with an introd．Berkeley and Los Angeles：University of California Press，1964．

[2]A．Whitehead，B．Russell．Principia Mathematica：Vol I[M]．Cambridge：Cambridge University Press，1910．

[3]Willard Quine．New Foundations for Mathematical Logic[J]．American Mathematical Monthly，1937，44．

[4]陳波．蒯因的邏輯研究[J]．湖南師范大學社會科學學報，1995，（3）．

[5]Richard Heck．The Consistency of Predictive Fragments of Frege’s Grundgesetze der Arithmetik[J]．History and Philosophy of Logic，1996，（1）．

[6]John Burgess．Fixing Frege[M]．Princeton：Princeton University Press，2005．

[7]Gottlob Frege．Collected Papers on Mathematics，Logic，and Philosophy[M]．B．McGuinness（ed．），M．Black et al．（trans．）．Oxford：Blackwell，1984．