高中數(shù)學新課程中函數(shù)的設計思路

趙淑云

【摘 要】高中數(shù)學新課程中函數(shù)的教學，應整體把握函數(shù)的內容與要求，不斷加深學生對函數(shù)思想的理解；關注認識函數(shù)的三個維度，引導學生全面理解函數(shù)的本質；重視函數(shù)模型的作用；揭示函數(shù)與其他內容的內在聯(lián)系；突出重點，淡化細枝末節(jié)的內容和單純技能技巧的訓練。

【關鍵詞】高中數(shù)學新課程；函數(shù)；設計思路

一、高中數(shù)學新課程中的函數(shù)設計思路

（一）把函數(shù)作為一條主線

高中數(shù)學新課程中分層設置了函數(shù)概念、具體函數(shù)a模型、函數(shù)應用、研究函數(shù)的方法四方面的內容。在必修數(shù)學中設置了函數(shù)概念，指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、簡單冪函數(shù)、三角函數(shù)、分段函數(shù)、數(shù)列等具體函數(shù)模型及其應用，研究函數(shù)的初等方法等內容；選修數(shù)學中設置了研究函數(shù)的分析方法（導數(shù)）等內容；函數(shù)的應用以及函數(shù)的思想方法貫穿于相關數(shù)學內容之中。例如：必修數(shù)學中運用函數(shù)思想方法處理方程、不等式、線性規(guī)劃、數(shù)列、算法，運用函數(shù)解決優(yōu)化問題，刻畫隨機變量及其分布問題等。這種設置方式就體現(xiàn)了“以函數(shù)為綱”的思想以及函數(shù)的統(tǒng)領作用。

（二）突出背景，從特殊到一般引入函數(shù)

高中數(shù)學新課程中，在引人函數(shù)概念和具體函數(shù)模型時，都注重函數(shù)的實際背景，通過對實際背景中的具體函數(shù)關系的分析，歸納、抽象出函數(shù)概念和函數(shù)模型。高中階段函數(shù)概念的引人，一般有兩種方法，一種是先學習映射，再學習函數(shù)，即從一般到特殊的方法；另一種是通過具體函數(shù)實例的分析，歸納總結出數(shù)集之間的一種特殊對應關系—函數(shù)，即從特殊到一般的方法。例如，對于函數(shù)概念，先引導學生梳理已經(jīng)掌握的具體函數(shù)（如，初中學過的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、簡單分段函數(shù)等），通過分析這些具體函數(shù)的特征，構建函數(shù)的一般概念，再由函數(shù)概念抽象出映射概念。

（三）提倡運用信息技術研究函數(shù)

運用信息技術可以呈現(xiàn)函數(shù)的直觀圖像，迅速精確地實施函數(shù)運算，通過函數(shù)圖像和函數(shù)運算，可以幫助學生加深對函數(shù)所表示的變化規(guī)律的理解。信息技術還為運用函數(shù)模型解決問題提供了便利。高中數(shù)學新課程提倡運用信息技術研究函數(shù)。

二、高中數(shù)學新課程中函數(shù)教學建議

（一）整體把握函數(shù)的內容與要求，在與函數(shù)有關的內容的教學進程中不斷加深學生對函數(shù)思想的理解。

函數(shù)是學生在數(shù)學學習過程中第一次遇到的具有一般意義的抽象概念，在這個概念下可以派生出許多不同層次的具體函數(shù)。學生對于這種多層次的抽象概念的理解是需要時間和經(jīng)驗積累的，需要多次接觸、反復體會、螺旋上升，逐步理解，才能真正掌握，靈活運用。因此，函數(shù)教學應整體設計，分步實施。教師應整體規(guī)劃整個高中階段函數(shù)的教學，對函數(shù)教學有一個整體的全面的設計，明確不同時段、不同內容中學生對函數(shù)理解應達到的程度，在與函數(shù)有關的內容的教學進程中，通過運用函數(shù)不斷加深學生對函數(shù)思想的理解。

（二）關注認識函數(shù)的三個維度，引導學生全面理解函數(shù)的本質

第一，函數(shù)是刻畫變量與變量之間依賴關系的模型，即變量說。在現(xiàn)實生活和其他學科中，存在著大量的變量和變量之間的依賴關系。例如：郵局收取郵資時，郵資（變量）隨著郵件的重量（變量）的變化而變化。這種變量之間的依賴關系具有一個突出的特征，即當一個變量取定一個值時，依賴于這個變量的另一個變量有唯一確定的值。基于這種認識，就可以用函數(shù)來表示和刻畫自然規(guī)律，這是我們認識現(xiàn)實世界的重要視角，也是數(shù)學聯(lián)系實際的基礎。

第二，函數(shù)是連接兩類對象的橋梁，即映射說。對函數(shù)的這種認識反映了數(shù)學中的一種基本思想，在數(shù)學的后續(xù)學習中具有基礎作用。數(shù)學中的許多重要概念都是這種認識的推廣和拓展。例如，代數(shù)學中的同構、同態(tài)是構架兩個代數(shù)結構的橋梁，拓撲學中的同胚也是構架兩個拓撲結構的橋梁等。

第三，函數(shù)是“圖形”，即關系說。函數(shù)關系是平面上點的集合，因而可以看做平面上的一個“圖形”。在很多情況下，函數(shù)是滿足一定條件的曲線。因此，從某種意義上說，研究函數(shù)就是研究曲線的變化、曲線的性質?；谶@種認識，函數(shù)可以看做數(shù)形結合的載體之一。實際上，解析幾何、向量幾何、函數(shù)是高中數(shù)學課程中數(shù)形結合的三個主要載體。

（三）重視函數(shù)模型的作用，幫助學生在頭腦中“留住”一批函數(shù)模型

理解函數(shù)的一個重要方法，就是在頭腦中“留住”一批具體函數(shù)的模型。那些優(yōu)秀的數(shù)學工作者，對于每一個抽象的數(shù)學概念，在他們的頭腦中都會有一批具體的“模型”。這是很好的數(shù)學學習的習慣。高中數(shù)學課程中有許多基本函數(shù)模型，高中數(shù)學教學的重要任務之一就是把這些基本函數(shù)模型留在學生頭腦中，這些模型是理解函數(shù)和思考其他函數(shù)問題的基礎。在教學中，對于上述基本函數(shù)模型應有一個全面的設計，要幫助學生在頭腦中留下三方面的東西：第一，背景，即要熟悉這些函數(shù)模型的實際背景，從實際背景的角度把握函數(shù)；第二，圖像，即從幾何直觀的角度把握函數(shù)；第三，基本變化，即從代數(shù)的角度把握函數(shù)的變化情況。只有在學生頭腦中“留住”這樣一批具體的函數(shù)模型，才能逐步實現(xiàn)對函數(shù)本質的理解，并靈活運用函數(shù)思考和解決問題。

（四）揭示函數(shù)與其他內容的內在聯(lián)系，強化學生對函數(shù)思想的認識函數(shù)作為高中數(shù)學的一條主線，貫穿于整個高中數(shù)學課程中。是在方程、不等式、線性規(guī)劃、算法、隨機變量等內容中都突出地體現(xiàn)了函數(shù)思想。用函數(shù)的觀點看待方程，可以把方程的根看成函數(shù)圖像與軸交點的橫坐標，解方程 就是求函數(shù) 的零點的橫坐標，從而，解方程問題可以歸結為研究函數(shù)局部性質的問題，即研究函數(shù)圖像與x軸的交點問題。這樣，如果一個函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]，習上連續(xù)，且端點函數(shù)值異號，即 ，則就可以運用二分法求方程的近似解。還可以用切線法（函數(shù) 在閉區(qū)間有一階導數(shù)）、割線法（函數(shù) 在閉區(qū)間有二階導數(shù)）等求方程的近似解。

在坐標系中，函數(shù) 的圖像把橫坐標軸分成若干區(qū)域。一部分是函數(shù)值等于0的區(qū)域，即 ；另一部分是函數(shù)值大于0的區(qū)域，即 ；再一部分是函數(shù)值小于0的區(qū)域，即 。用函數(shù)的觀點看，解不等式就是確定使函數(shù) 的圖像在x軸上方或下方的的x區(qū)域。這樣，就可以先確定函數(shù)圖像與x軸的交點（方程 的解），再根據(jù)函數(shù)的圖像來求解不等式。

【參考文獻】

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（作者單位：甘肅省山丹縣第一中學）