函數(shù)與方程中的三個等價關(guān)系孫春生

肖愛國

函數(shù)的思想，就是用運動變化的觀點，分析和研究具體問題中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系，運用函數(shù)的知識，使問題得到解決；方程與函數(shù)是兩個不同概念，但他們之間有著密切的聯(lián)系.方程f（x）=0的解就是函數(shù)y=f（x）的圖像與x軸的交點的橫坐標(biāo)，即函數(shù)f（x）的零點.若設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）-g（x），則根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系，可得到三個等價式：

函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）的零點方程f（x）-g（x）=0的根函數(shù)y=f（x）的圖像與函數(shù)y=g（x）的圖像交點的橫坐標(biāo).

合理運用這三個等價關(guān)系，能解決函數(shù)問題中零點個數(shù)問題，方程的根滿足的條件及函數(shù)圖像交點坐標(biāo)位置等問題.

1方程的根與函數(shù)的零點的轉(zhuǎn)化

1.1方程的根轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點

當(dāng)方程f（x）-g（x）=0的根無法求出（也不需要求出具體的根）時，而要求方程f（x）-g（x）=0的根的個數(shù)，可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）的零點個數(shù)，利用零點存在定理，可得出方程根的情況.

例1（2014屆山東濟寧高三聯(lián)考）設(shè)f（x）=3ax2+2bx+c，若a+b+c=0，f（0）>0，f（1）>0.

（1）求ba的取值范圍；

（2）判斷方程f（x）=0在（0，1）內(nèi)實根的個數(shù).

分析第二問判定方程根的個數(shù)，由于方程的根無法求出，利用解方程的方法無法求出在區(qū)間內(nèi)根的個數(shù)，因此需要利用等價轉(zhuǎn)化思想，將方程的根轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點問題.

1.2函數(shù)的零點轉(zhuǎn)化為方程的根

當(dāng)函數(shù)的零點無法利用零點存在定理判斷時，可利用等價轉(zhuǎn)化關(guān)系轉(zhuǎn)化為相應(yīng)方程根的分布情況.

2方程的根與兩個函數(shù)圖像交點的轉(zhuǎn)化

2.1方程的根轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖像交點問題

當(dāng)方程f（x）-g（x）=0是現(xiàn)有知識無法求解時，要判斷方程的根的個數(shù)或方程根滿足的條件時，常需將方程拆分成兩個函數(shù)y=f（x）與y=g（x），通過兩個函數(shù)的大致圖像，來找到根的個數(shù)或方程根滿足的條件.

2.2兩個函數(shù)圖像交點問題轉(zhuǎn)化為方程的根

當(dāng)函數(shù)f（x）與g（x）的圖像無法畫出，或通過兩函數(shù)的圖像的交點無法判斷參數(shù)的取值范圍時，則需要將函數(shù)y=f（x）的圖像與函數(shù)y=g（x）的圖像交點情況，轉(zhuǎn)化為方程f（x）-g（x）=0根的情況來解.

3函數(shù)的零點與兩個函數(shù)圖像的交點的轉(zhuǎn)化

3.1函數(shù)的零點轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖像的交點

函數(shù)的零點存在定理只能判斷函數(shù)在某個區(qū)間上零點是否存在，但無法判斷函數(shù)零點的個數(shù)，更無法通過零點個數(shù)來解決參數(shù)的取值范圍等問題.因此，與函數(shù)零點個數(shù)的相關(guān)問題，常轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖像的交點問題.

問題.

評注利用兩個函數(shù)的圖像來分析交點的情況，只能從大致的圖像中得出一些粗略的結(jié)論，但要更細(xì)化的結(jié)果，還是需要將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點，利用零點存在定理，有時還需結(jié)合二分法來解決.

函數(shù)的思想，就是用運動變化的觀點，分析和研究具體問題中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系，運用函數(shù)的知識，使問題得到解決；方程與函數(shù)是兩個不同概念，但他們之間有著密切的聯(lián)系.方程f（x）=0的解就是函數(shù)y=f（x）的圖像與x軸的交點的橫坐標(biāo)，即函數(shù)f（x）的零點.若設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）-g（x），則根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系，可得到三個等價式：

函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）的零點方程f（x）-g（x）=0的根函數(shù)y=f（x）的圖像與函數(shù)y=g（x）的圖像交點的橫坐標(biāo).

合理運用這三個等價關(guān)系，能解決函數(shù)問題中零點個數(shù)問題，方程的根滿足的條件及函數(shù)圖像交點坐標(biāo)位置等問題.

1方程的根與函數(shù)的零點的轉(zhuǎn)化

1.1方程的根轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點

當(dāng)方程f（x）-g（x）=0的根無法求出（也不需要求出具體的根）時，而要求方程f（x）-g（x）=0的根的個數(shù)，可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）的零點個數(shù)，利用零點存在定理，可得出方程根的情況.

例1（2014屆山東濟寧高三聯(lián)考）設(shè)f（x）=3ax2+2bx+c，若a+b+c=0，f（0）>0，f（1）>0.

（1）求ba的取值范圍；

（2）判斷方程f（x）=0在（0，1）內(nèi)實根的個數(shù).

分析第二問判定方程根的個數(shù)，由于方程的根無法求出，利用解方程的方法無法求出在區(qū)間內(nèi)根的個數(shù)，因此需要利用等價轉(zhuǎn)化思想，將方程的根轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點問題.

1.2函數(shù)的零點轉(zhuǎn)化為方程的根

當(dāng)函數(shù)的零點無法利用零點存在定理判斷時，可利用等價轉(zhuǎn)化關(guān)系轉(zhuǎn)化為相應(yīng)方程根的分布情況.

2方程的根與兩個函數(shù)圖像交點的轉(zhuǎn)化

2.1方程的根轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖像交點問題

當(dāng)方程f（x）-g（x）=0是現(xiàn)有知識無法求解時，要判斷方程的根的個數(shù)或方程根滿足的條件時，常需將方程拆分成兩個函數(shù)y=f（x）與y=g（x），通過兩個函數(shù)的大致圖像，來找到根的個數(shù)或方程根滿足的條件.

2.2兩個函數(shù)圖像交點問題轉(zhuǎn)化為方程的根

當(dāng)函數(shù)f（x）與g（x）的圖像無法畫出，或通過兩函數(shù)的圖像的交點無法判斷參數(shù)的取值范圍時，則需要將函數(shù)y=f（x）的圖像與函數(shù)y=g（x）的圖像交點情況，轉(zhuǎn)化為方程f（x）-g（x）=0根的情況來解.

3函數(shù)的零點與兩個函數(shù)圖像的交點的轉(zhuǎn)化

3.1函數(shù)的零點轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖像的交點

函數(shù)的零點存在定理只能判斷函數(shù)在某個區(qū)間上零點是否存在，但無法判斷函數(shù)零點的個數(shù)，更無法通過零點個數(shù)來解決參數(shù)的取值范圍等問題.因此，與函數(shù)零點個數(shù)的相關(guān)問題，常轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖像的交點問題.

問題.

評注利用兩個函數(shù)的圖像來分析交點的情況，只能從大致的圖像中得出一些粗略的結(jié)論，但要更細(xì)化的結(jié)果，還是需要將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點，利用零點存在定理，有時還需結(jié)合二分法來解決.

函數(shù)的思想，就是用運動變化的觀點，分析和研究具體問題中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系，運用函數(shù)的知識，使問題得到解決；方程與函數(shù)是兩個不同概念，但他們之間有著密切的聯(lián)系.方程f（x）=0的解就是函數(shù)y=f（x）的圖像與x軸的交點的橫坐標(biāo)，即函數(shù)f（x）的零點.若設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）-g（x），則根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系，可得到三個等價式：

函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）的零點方程f（x）-g（x）=0的根函數(shù)y=f（x）的圖像與函數(shù)y=g（x）的圖像交點的橫坐標(biāo).

合理運用這三個等價關(guān)系，能解決函數(shù)問題中零點個數(shù)問題，方程的根滿足的條件及函數(shù)圖像交點坐標(biāo)位置等問題.

1方程的根與函數(shù)的零點的轉(zhuǎn)化

1.1方程的根轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點

當(dāng)方程f（x）-g（x）=0的根無法求出（也不需要求出具體的根）時，而要求方程f（x）-g（x）=0的根的個數(shù)，可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）的零點個數(shù)，利用零點存在定理，可得出方程根的情況.

例1（2014屆山東濟寧高三聯(lián)考）設(shè)f（x）=3ax2+2bx+c，若a+b+c=0，f（0）>0，f（1）>0.

（1）求ba的取值范圍；

（2）判斷方程f（x）=0在（0，1）內(nèi)實根的個數(shù).

分析第二問判定方程根的個數(shù)，由于方程的根無法求出，利用解方程的方法無法求出在區(qū)間內(nèi)根的個數(shù)，因此需要利用等價轉(zhuǎn)化思想，將方程的根轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點問題.

1.2函數(shù)的零點轉(zhuǎn)化為方程的根

當(dāng)函數(shù)的零點無法利用零點存在定理判斷時，可利用等價轉(zhuǎn)化關(guān)系轉(zhuǎn)化為相應(yīng)方程根的分布情況.

2方程的根與兩個函數(shù)圖像交點的轉(zhuǎn)化

2.1方程的根轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖像交點問題

當(dāng)方程f（x）-g（x）=0是現(xiàn)有知識無法求解時，要判斷方程的根的個數(shù)或方程根滿足的條件時，常需將方程拆分成兩個函數(shù)y=f（x）與y=g（x），通過兩個函數(shù)的大致圖像，來找到根的個數(shù)或方程根滿足的條件.

2.2兩個函數(shù)圖像交點問題轉(zhuǎn)化為方程的根

當(dāng)函數(shù)f（x）與g（x）的圖像無法畫出，或通過兩函數(shù)的圖像的交點無法判斷參數(shù)的取值范圍時，則需要將函數(shù)y=f（x）的圖像與函數(shù)y=g（x）的圖像交點情況，轉(zhuǎn)化為方程f（x）-g（x）=0根的情況來解.

3函數(shù)的零點與兩個函數(shù)圖像的交點的轉(zhuǎn)化

3.1函數(shù)的零點轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖像的交點

函數(shù)的零點存在定理只能判斷函數(shù)在某個區(qū)間上零點是否存在，但無法判斷函數(shù)零點的個數(shù)，更無法通過零點個數(shù)來解決參數(shù)的取值范圍等問題.因此，與函數(shù)零點個數(shù)的相關(guān)問題，常轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖像的交點問題.

問題.

評注利用兩個函數(shù)的圖像來分析交點的情況，只能從大致的圖像中得出一些粗略的結(jié)論，但要更細(xì)化的結(jié)果，還是需要將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點，利用零點存在定理，有時還需結(jié)合二分法來解決.