拋物線切線的一個優(yōu)美性質(zhì)

楊堯偉

優(yōu)美性質(zhì)拋物線C在點(diǎn)D處的切線為m，和直線m平行的直線l與拋物線C相交于A、B兩點(diǎn)，則直線l與拋物線所圍封閉圖形的面積和△DAB面積的比值為4∶3.

為證明此性質(zhì)，先證明性質(zhì)1.

性質(zhì)1 直線l：y=kx+m與拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）相交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)，則直線與拋物線所圍成封閉圖形的面積為：線段AB在x軸上投影的立方的六分之一乘以二次項(xiàng)系數(shù)的絕對值，即∫x1x2（kx+m-ax2-bx-c）dx=ax1-x236或∫x1x2（kx+m-ax2-bx-c）dx=

a（x1+x2）2-4x1x236.（利用韋達(dá)定理）

所以結(jié)論成立.

優(yōu)美性質(zhì)證明僅以拋物線x2=2py（p>0）為例證明，其它情況同理可證.

設(shè)直線l：y=kx+m，D（x0，y0），則由導(dǎo)數(shù)知識得x0p=k，所以D（pk，pk22），記D到直線l的距離為d.

由性質(zhì)1得直線l與拋物線所圍成封閉圖形面積為112px1-x23，顯然直線l與拋物線所圍成封閉圖形面積與△DAB面積比值為4∶3.

通過上述性質(zhì)的證明過程可以看出，利用定積分求面積時，有時并不需要把交點(diǎn)坐標(biāo)具體求出來，只要充分利用兩曲線聯(lián)立后的方程就可以進(jìn)行整體代換，這樣就把設(shè)而不求的方法運(yùn)用得恰到好處.由此性質(zhì)可以看出，不規(guī)則圖形總可以轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形求面積，其它曲線也理應(yīng)如此.

優(yōu)美性質(zhì)拋物線C在點(diǎn)D處的切線為m，和直線m平行的直線l與拋物線C相交于A、B兩點(diǎn)，則直線l與拋物線所圍封閉圖形的面積和△DAB面積的比值為4∶3.

為證明此性質(zhì)，先證明性質(zhì)1.

性質(zhì)1 直線l：y=kx+m與拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）相交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)，則直線與拋物線所圍成封閉圖形的面積為：線段AB在x軸上投影的立方的六分之一乘以二次項(xiàng)系數(shù)的絕對值，即∫x1x2（kx+m-ax2-bx-c）dx=ax1-x236或∫x1x2（kx+m-ax2-bx-c）dx=

a（x1+x2）2-4x1x236.（利用韋達(dá)定理）

所以結(jié)論成立.

優(yōu)美性質(zhì)證明僅以拋物線x2=2py（p>0）為例證明，其它情況同理可證.

設(shè)直線l：y=kx+m，D（x0，y0），則由導(dǎo)數(shù)知識得x0p=k，所以D（pk，pk22），記D到直線l的距離為d.

由性質(zhì)1得直線l與拋物線所圍成封閉圖形面積為112px1-x23，顯然直線l與拋物線所圍成封閉圖形面積與△DAB面積比值為4∶3.

通過上述性質(zhì)的證明過程可以看出，利用定積分求面積時，有時并不需要把交點(diǎn)坐標(biāo)具體求出來，只要充分利用兩曲線聯(lián)立后的方程就可以進(jìn)行整體代換，這樣就把設(shè)而不求的方法運(yùn)用得恰到好處.由此性質(zhì)可以看出，不規(guī)則圖形總可以轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形求面積，其它曲線也理應(yīng)如此.

優(yōu)美性質(zhì)拋物線C在點(diǎn)D處的切線為m，和直線m平行的直線l與拋物線C相交于A、B兩點(diǎn)，則直線l與拋物線所圍封閉圖形的面積和△DAB面積的比值為4∶3.

為證明此性質(zhì)，先證明性質(zhì)1.

性質(zhì)1 直線l：y=kx+m與拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）相交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)，則直線與拋物線所圍成封閉圖形的面積為：線段AB在x軸上投影的立方的六分之一乘以二次項(xiàng)系數(shù)的絕對值，即∫x1x2（kx+m-ax2-bx-c）dx=ax1-x236或∫x1x2（kx+m-ax2-bx-c）dx=

a（x1+x2）2-4x1x236.（利用韋達(dá)定理）

所以結(jié)論成立.

優(yōu)美性質(zhì)證明僅以拋物線x2=2py（p>0）為例證明，其它情況同理可證.

設(shè)直線l：y=kx+m，D（x0，y0），則由導(dǎo)數(shù)知識得x0p=k，所以D（pk，pk22），記D到直線l的距離為d.

由性質(zhì)1得直線l與拋物線所圍成封閉圖形面積為112px1-x23，顯然直線l與拋物線所圍成封閉圖形面積與△DAB面積比值為4∶3.

通過上述性質(zhì)的證明過程可以看出，利用定積分求面積時，有時并不需要把交點(diǎn)坐標(biāo)具體求出來，只要充分利用兩曲線聯(lián)立后的方程就可以進(jìn)行整體代換，這樣就把設(shè)而不求的方法運(yùn)用得恰到好處.由此性質(zhì)可以看出，不規(guī)則圖形總可以轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形求面積，其它曲線也理應(yīng)如此.