基于Monte-Carlo的滑坡失穩(wěn)概率計(jì)算研究

，， ，

(1.四川省地質(zhì)礦產(chǎn)勘查開發(fā)局202地質(zhì)隊(duì)，四川 宜賓 644002； 2.成都理工大學(xué) a.地質(zhì)災(zāi)害防治與地質(zhì)環(huán)境保護(hù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室；b. 環(huán)境與土木工程學(xué)院，成都 610059)

1 研究背景

對于滑坡的穩(wěn)定性評價(jià)，最常用的是定值分析法。這是建立在確定性概念之上的。但在實(shí)際情況下，巖土體的物理力學(xué)參數(shù)(如摩擦因數(shù)、黏聚力、重度等)、孔隙水壓力、外荷載是復(fù)雜多變的、隨機(jī)的和相關(guān)的[1]。傳統(tǒng)觀念認(rèn)為當(dāng)穩(wěn)定性系數(shù)Fs>1時(shí)滑坡處于穩(wěn)定狀態(tài)，F(xiàn)s<1時(shí)滑坡可能失穩(wěn)，這種跳躍性的判斷標(biāo)準(zhǔn)也不合理[2]。同時(shí)對滑坡的失穩(wěn)概率也不能確定，所以在對于滑坡的穩(wěn)定性評價(jià)時(shí)，應(yīng)加入滑坡的失穩(wěn)概率計(jì)算才顯得更為合理。

傳統(tǒng)的滑坡失穩(wěn)概率計(jì)算，通常把影響滑坡穩(wěn)定性因素作為隨機(jī)變量，認(rèn)為巖土參數(shù)c和φ服從正態(tài)分布[2-8]，但在實(shí)際利用Monte-Carlo計(jì)算滑坡失穩(wěn)概率過程中，土性參數(shù)概率分布類型的不同將影響可靠度指標(biāo)的計(jì)算結(jié)果，嚴(yán)春風(fēng)等[9]通過研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)隨機(jī)變量c和φ假設(shè)為不同分布形式時(shí)，結(jié)果的計(jì)算誤差可達(dá)20%～30%。巖土參數(shù)的概率分布類型可分為5大類[10]：即Bernoulli分布系列、Poisson分布系列、極值分布系列、中心極限分布系列和用于統(tǒng)計(jì)分析的分布系列。不同的分布類型對滑坡的失穩(wěn)概率計(jì)算有相當(dāng)大的影響。且張繼周和繆林昌[10]研究發(fā)現(xiàn)在實(shí)際應(yīng)用中，中心極限分布系列對其描述較為合理，當(dāng)變異系數(shù)<30%且偏度系數(shù)<0.025時(shí)，選擇正態(tài)分布，反之，選擇對數(shù)正態(tài)分布。因此在實(shí)際對滑坡失穩(wěn)概率計(jì)算過程中，應(yīng)首先考慮巖土參數(shù)c和φ值符合何種概率分布，再基于蒙特卡洛(Monte-Carlo)法進(jìn)行滑坡失穩(wěn)概率計(jì)算。

2 Monte-Carlo基本原理

目前滑坡失穩(wěn)概率計(jì)算常用方法主要有一次二階矩陣法[11]、概率矩點(diǎn)估計(jì)法(又稱Rosen-blueth法)[12]、蒙特卡洛(Monte-Carlo)隨機(jī)模擬法[13]等。由于蒙特卡洛法受問題條件的限制較小，收斂性與極限狀態(tài)方程的非線性和變量分布的非正態(tài)性無關(guān),適用性強(qiáng),而且實(shí)力簡單，易于編制計(jì)算程序，因而其應(yīng)用越來越廣泛[14]。

蒙特卡洛法，是用數(shù)值模擬來解決隨機(jī)變量有關(guān)的實(shí)際工程問題的一種常用方法。對事件發(fā)生的概率可以通過大量實(shí)驗(yàn)所得頻率來估算。當(dāng)選取樣本數(shù)量足夠多時(shí)，實(shí)際發(fā)生的頻率可等同為概率。蒙特卡洛法就是基于對隨機(jī)變量大量抽樣，然后將其代入其功能函數(shù)，判斷其是否失效，從而得出失效概率。如對于滑坡的穩(wěn)定性系數(shù)，其受力狀態(tài)、土體結(jié)構(gòu)的函數(shù)可表示為

Fs=f(σ,τ,h,w,p…)。

(1)

式中：σ為正應(yīng)力條件；τ為剪應(yīng)力條件；h為地形條件；w為地下水條件；p為外荷載條件。這些參數(shù)均是隨機(jī)變量，大部分服從正態(tài)分布或?qū)?shù)正態(tài)分布。

其功能函數(shù)可表示為

Z=Fs-1 ,

(2)

則失效概率即滑坡破壞概率可表示為

(3)

式中f(Fs)為Fs的概率密度函數(shù)。

在實(shí)際抽樣計(jì)算過程中，可用下式方法計(jì)算其破壞概率：

Fs=N/M。

(4)

式中：M為模擬的總次數(shù)；N為出現(xiàn)Fs<1的次數(shù)。

圖1 藕塘滑坡地質(zhì)剖面圖

3 工程實(shí)例

3.1 滑坡概況

藕塘滑坡位于奉節(jié)縣長江南岸，系安坪鄉(xiāng)新集鎮(zhèn)所在地。安坪鄉(xiāng)行政區(qū)劃隸屬重慶市奉節(jié)縣，位于奉節(jié)縣城上游約15 km。

滑體前緣高程95～102 m，后緣高程475 m，滑體南北向(從前緣到后緣)長約1 500 m，東西寬830～1 170 m，面積133×104m2，一般厚40～70 m，最厚為114 m，體積約6 380×104m3。第四系堆積物按其成因可分為：①?zèng)_積層(Q4al)，厚一般1～5 m；②沖、洪積層(Q4al+pl)，厚1～5 m；③滑坡堆積層(Q4del)。其地質(zhì)剖面圖見圖1。

區(qū)內(nèi)出露地層為侏羅系中統(tǒng)新田溝組(J2x)、侏羅系下統(tǒng)珍珠沖組(J1z)、自流井組(J1zl)和三疊系上統(tǒng)須家河組(T3xj)。

3.2 滑坡參數(shù)選取

根據(jù)藕塘滑坡多組鉆孔取樣進(jìn)行室內(nèi)試驗(yàn)和現(xiàn)場試驗(yàn)取得滑帶土巖土力學(xué)參數(shù)c和φ值，并計(jì)算其均值、標(biāo)準(zhǔn)差、變異系數(shù)、偏度系數(shù)，見表1。

表1 滑帶土物理參數(shù)

3.3 考慮變異系數(shù)和偏度系數(shù)計(jì)算滑坡失穩(wěn)概率

對于非標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，可采用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)的隨機(jī)變量x′經(jīng)過線性轉(zhuǎn)換得到：

X=μ+σx′。

(5)

式中：x′為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)變量；μ和σ分別為所求非標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)變量X的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。

本文采用Box和Muller提出的變換法[11]，取2個(gè)獨(dú)立的[0,1]區(qū)間均勻隨機(jī)數(shù)u1和u2，利用二元函數(shù)轉(zhuǎn)換，再由式(5)得到正態(tài)分布N(0,1)的隨機(jī)變量。

對數(shù)正態(tài)分布和正態(tài)分布有確定的轉(zhuǎn)換關(guān)系，如果隨機(jī)變量Y服從平均值μ和方差σ2的正態(tài)分布，可通過公式X=eY，則X服從對數(shù)正態(tài)分布。

根據(jù)張繼周和繆林昌[10]研究成果正態(tài)、對數(shù)正態(tài)分布特性的對比完全而且唯一受控于變異系數(shù)，在實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)變異系數(shù)<30%且偏度系數(shù)<0.025時(shí)，選擇正態(tài)分布，反之，選擇對數(shù)正態(tài)分布。通過表1可得，天然c值和飽和c值選擇對數(shù)正態(tài)分布，而天然φ值和飽和φ值選擇正態(tài)分布。

通過對c和φ進(jìn)行相應(yīng)的處理后，隨機(jī)獲取12 000組數(shù)據(jù)所得c和φ值概率密度分布見圖2。

圖2 考慮變異系數(shù)和偏度系數(shù)c和φ值概率密度分布

根據(jù)巖土規(guī)范[15]的規(guī)定，當(dāng)滑動(dòng)面為折線形時(shí)，可采用傳遞系數(shù)法(推力傳遞法)計(jì)算滑坡穩(wěn)定性，并考慮以下5種工況進(jìn)行穩(wěn)定性計(jì)算。

工況1：145 m水位+自重+地表荷載；

工況2：175 m水位+自重+地表荷載；

工況3：145 m水位+自重+地表荷載+地震+暴雨；

工況4：175 m水位+自重+地表荷載+地震+暴雨；

工況5：175 m水位驟降至145 m水位+自重+地表荷載+暴雨。

根據(jù)產(chǎn)生的12 000組c，φ值隨機(jī)抽取代入傳遞系數(shù)公式中可得藕塘滑坡的穩(wěn)定系數(shù)，并由公式(4)可計(jì)算得失穩(wěn)概率見表2。

在模擬過程中將采用多次多組蒙特卡洛(Monte-Carlo)模擬，在輸入不同的N值時(shí)，計(jì)算得出的失穩(wěn)概率有一定程度的差異。從圖3(a)可以看出在前400次模擬過程中，滑坡失穩(wěn)概率極不穩(wěn)定。從圖3(b)可以看出：當(dāng)模擬次數(shù)超過1 000次以后，滑坡失穩(wěn)概率已經(jīng)趨于穩(wěn)定狀態(tài)。

表2 考慮變異系數(shù)和偏度系數(shù)計(jì)算得到的失穩(wěn)概率

圖3 輸入不同模擬總次數(shù)時(shí)的失穩(wěn)概率

3.4 不考慮變異系數(shù)和偏度系數(shù)計(jì)算滑坡失穩(wěn)概率

如果不考慮巖土體參數(shù)的變異系數(shù)和偏度系數(shù)，均為正態(tài)分布，同樣采用Box和Muller提出的變換法，對滑帶土的參數(shù)進(jìn)行處理，則天然c值和飽和c值的概率密度分布如圖4所示。

圖4 不考慮變異系數(shù)和偏度系數(shù)c值概率密度分布

同理根據(jù)巖土規(guī)范的規(guī)定，當(dāng)滑動(dòng)面為折線形時(shí)，可采用傳遞系數(shù)法(推力傳遞法)計(jì)算滑坡穩(wěn)定性，并計(jì)算出滑坡失穩(wěn)概率見表3。

表3 不考慮變異系數(shù)和偏度系數(shù)計(jì)算得到的失穩(wěn)概率

3.5 2種情況對比分析

通過對2種不同情況的失穩(wěn)概率計(jì)算可知，2種情況所得出的失穩(wěn)概率完全不同，結(jié)果表明，不考慮變異系數(shù)和偏度系數(shù)計(jì)算得出的滑坡失穩(wěn)概率比考慮變異系數(shù)和偏度系數(shù)計(jì)算得出的滑坡失穩(wěn)概率較高，見表4。

表4 2種方法失穩(wěn)概率

由表3和圖5可得，如果不考慮變異系數(shù)和偏度系數(shù)計(jì)算出的失穩(wěn)概率將比考慮變異系數(shù)和偏度系數(shù)偏大，其分析原因可能是由于當(dāng)巖土體參數(shù)的變異系數(shù)>30%且偏度系數(shù)>0.025時(shí)，采用正態(tài)分布，可能導(dǎo)致巖土體參數(shù)的分布較大，甚至產(chǎn)生負(fù)數(shù)(如圖4)。而如果采用對數(shù)正態(tài)分布，則巖土體參數(shù)分布相對集中，且不產(chǎn)生負(fù)數(shù)(如圖2(a),(b))。巖土體參數(shù)c和φ值變小，則導(dǎo)致穩(wěn)定性系數(shù)變小，失穩(wěn)概率變大。

圖5 2種方法失穩(wěn)概率對比

根據(jù)表4相對百分比可得，2種方法的相對百分比為10%～25%，說明在該種情況下巖土體參數(shù)c和φ值服從不同分布形式時(shí)，可能導(dǎo)致的誤差為10%～25%。而較嚴(yán)春風(fēng)等[9]所得的計(jì)算誤差(可達(dá)20%～30%)偏小，其原因可能是由于本文在c和φ值服從何種分布時(shí)，考慮c和φ值的變異系數(shù)和偏度系數(shù)，而φ值的變異系數(shù)<30%和偏度系數(shù)<0.025，所以沒有改變其分布形式，只改變c值的分布形式，導(dǎo)致誤差偏低。

4 結(jié) 論

本文基于蒙特卡洛法對藕塘滑坡失穩(wěn)概率計(jì)算，彌補(bǔ)了傳統(tǒng)觀念對滑坡失穩(wěn)判斷(Fs>1時(shí)滑坡處于穩(wěn)定狀態(tài)，F(xiàn)s<1時(shí)滑坡可能失穩(wěn))的不足，對工程實(shí)例有一定的參考價(jià)值和意義。

(1) 通過對藕塘滑坡失穩(wěn)概率計(jì)算可得，在175 m水位驟降至145 m水位+自重+地表荷載+暴雨工況下，藕塘滑坡的穩(wěn)定系數(shù)為0.993 43，失穩(wěn)概率為0.521 888，失穩(wěn)可能性極大。

(2) 如果考慮巖土參數(shù)分布形式，不考慮變異系數(shù)和偏度系數(shù)計(jì)算出的失穩(wěn)概率將比考慮變異系數(shù)和偏度系數(shù)計(jì)算出的失穩(wěn)概率相對較高。

(3) 通過對c和φ值在正態(tài)分布和對數(shù)正態(tài)分布的處理下，若考慮c和φ值的變異系數(shù)和偏度系數(shù)使用分布形式，2種失穩(wěn)概率誤差在10%～25%之間，與嚴(yán)春風(fēng)等研究結(jié)果大致吻合。

參考文獻(xiàn)：

[1] 李 猛.邊坡穩(wěn)定可靠度的蒙特卡羅數(shù)值模擬及其應(yīng)用研究[D] .河南：鄭州大學(xué)，2004: 5-24.(LI Meng. Numerical Simulation on Slope Stability Reliability by Monte-Carlo Method and Application[J]. Henan: Zhengzhou University, 2004: 5-24.(in Chinese))

[2] 賈鵬云，杜 宇.蒙特卡洛法在發(fā)耐斜坡穩(wěn)定性評價(jià)中的應(yīng)用[J] .路基工程，2010，(2)： 127-129.(JIA Peng-yun, DU Yu. Application of Monte-Carlo Method in Evaluation of Fanai Slope Stability[J]. Subgrade Engineering，2010，(2): 127-129. (in Chinese))

[3] 徐鐘濟(jì).蒙特卡羅方法[M] .上海：上海科學(xué)技術(shù)出版社，1985：156-162. (XU Zhong-ji. Monte-Carlo Method[M]. Shanghai: Shanghai Scientific and Technical Publishers, 1985: 156-162. (in Chinese))

[4] 趙壽剛，蘭 雁，沈細(xì)中，等.蒙特卡羅法在土質(zhì)邊坡可靠性分析中的應(yīng)用[J] .人民黃河，2006，28(5)：65-66.(ZHAO Shou-gang, LAN Yan, SHEN Xi-zhong,etal. Monte-Carlo Method in Reliability Analysis of Earth Slopes Application[J]. Yellow River, 2006, 28(5): 65-66.(in Chinese))

[5] 許英姿，余宏明，唐輝明.蒙特卡羅法在某廠區(qū)土坡穩(wěn)定性評價(jià)中的應(yīng)用[J] .水文地質(zhì)工程，2002，(2)：49-52.(XU Ying-zi, YU Hong-ming, TANG Hui-ming. Application of Monte-Carlo Method to a Slope Stability Assessment[J]. Hydrogeology and Engineering Geology, 2002，(2)：49-52. (in Chinese))

[6] 許文達(dá).基于蒙特卡洛一有限元法的邊坡可靠度分析[J] .福州大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2004，(2)：73-77.(XU Wen-da. Reliability Analysis of Slope Based on Monte-Carlo Finite Element Method[J]. Journal of Fuzhou University(Natural Science)，2004，(2)：73-77. (in Chinese))

[7] 陳 偉，許 強(qiáng)，王新平.單體滑坡災(zāi)害危險(xiǎn)性評價(jià)方法研究[J] .地質(zhì)與環(huán)境，2011，39(4)：561-566.(CHEN Wei, XU Qiang, WANG Xin-ping. Study on the Method of Hazard Assessment for Single Landslide[J].Earth and Environment, 2011，39(4)：561-566. (in Chinese))

[8] 劉 鑫.單體滑坡風(fēng)險(xiǎn)評價(jià)方法研究[D] .武漢：中國地質(zhì)大學(xué)，2008. (LIU Xin. Methods of Landslide Risk Assessment[D]. Wuhan: China University of Geosciences, 2008. (in Chinese))

[9] 嚴(yán)春風(fēng)，劉東燕，張建輝，等.巖土工程可靠度關(guān)于強(qiáng)度參數(shù)分布函數(shù)概型的敏感性分析[J] . 巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào)，1999，18(1)：36-39.(YAN Chun-feng, LIU Dong-yan, ZHANG Jian-hui，etal. The Susceptibility Analysis of Reliability for the Probability Distribution Types of Parameters in Strength Criterion [J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 1999，18(1)：36-39. (in Chinese))

[10] 張繼周, 繆林昌.巖土參數(shù)概率分布類型及其選擇標(biāo)準(zhǔn)[J] .巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào),2009，28(增2)：3526-3532.(ZHAN Ji-zhou, MIAO Lin-chang. Type of distribution and Selection Criteria of Soil Parameters[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2009，28(Sup.2)：3526-3532. (in Chinese))

[11] 祝玉學(xué).邊坡可靠性分析[M] .北京：冶金工業(yè)出版社，1993. (ZHU Yu-xue. Slope Reliability Analysis[M]. Beijing: Metallurgical Industry Press, 1993. (in Chinese))

[12] 羅文強(qiáng)，龔 玨.Rosenblueth方法在斜坡穩(wěn)定性概率評價(jià)中的應(yīng)用[J] .巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào),2003，22(2)：232-235.(LUO Wen-qiang, GONG Jue. Application of Rosenblueth Moment Estimation Method to Probabilistic Analysis of Slope Stability[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering，2003，22(2)：232-235. (in Chinese))

[13] 陳祖煜.土質(zhì)邊坡穩(wěn)定分析——原理·方法·程序[M].北京：中國水利水電出版社，2003. (CHEN Zu-yu. Earth Slope Stability Analysis: Principle, Method, and Procedures[M]. Beijing: China Water Power Press, 2003. (in Chinese))

[14] 陳 偉，許 強(qiáng)，王朝陽.蒙特卡洛在滑坡穩(wěn)定性可靠度分析中的應(yīng)用[J] .路基工程，2011，(4)：135-137.(CHEN Wei, XU Qiang, WANG Zhao-yang. Application of Monte-Carlo Method in Reliability Analysis of Slope Stability[J]. Subgrade Engineering，2011，(4)：135-137. (in Chinese))

[15] GB50021—2001，巖土工程勘察規(guī)范 [S] .北京：中國建筑工業(yè)出版社, 2009. (GB50021—2001, Specification of Geotechnical Investigation[S]. Beijing: China Architecture & Building Press, 2009. (in Chinese))