分形理論在巖體穩(wěn)定性分析中的應(yīng)用

(上海市政工程設(shè)計(jì)研究總院(集團(tuán))有限公司，上海 200433)

1 研究背景

長期以來，自然科學(xué)工作者由于受到歐幾里德幾何學(xué)以及傳統(tǒng)數(shù)學(xué)方法的影響，習(xí)慣將復(fù)雜的研究對象進(jìn)行簡化與抽象，建立起各種理想模型(絕大多數(shù)為線性模型)，從而將問題納入到可以解決的范疇。這種近似線性的處理方法雖然對有些問題很有效，但是難以認(rèn)識到與非線性有關(guān)的特性。物質(zhì)世界絕大部分不是規(guī)整有序、穩(wěn)定和平衡的，是非線性的[1]。分形理論是在20世紀(jì)70年代末80年代初出現(xiàn)的處理復(fù)雜性問題的數(shù)學(xué)理論。一般把在形態(tài)、結(jié)構(gòu)、功能和信息等方面具有自相似性或者統(tǒng)計(jì)自相似性的研究對象統(tǒng)稱為分形，而分形的定量表征就是分維，分形和分維與其他數(shù)學(xué)概念一樣，都是從客觀存在的數(shù)形關(guān)系中抽象出來的[2]。

分形理論是處理自然界中那些極不規(guī)則構(gòu)型的有力工具，目前已在巖土力學(xué)中得到了成功應(yīng)用，如土的微結(jié)構(gòu)分析、巖石節(jié)理表面分形、節(jié)理分布分形、巖體損傷特征等方面[3-4]；但對于分形理論在巖體穩(wěn)定性分析中的應(yīng)用研究較少且不系統(tǒng)。本文結(jié)合工程實(shí)例，依托Matlab強(qiáng)大的數(shù)值計(jì)算能力，自編程序，通過巖體變形過程中的分維特征驗(yàn)證巖體變形分維預(yù)報(bào)的合理性與有效性，并總結(jié)相關(guān)規(guī)律，以供實(shí)際巖土工程設(shè)計(jì)、施工與運(yùn)營參考。

2 分維的計(jì)算方法

目前對巖體復(fù)雜系統(tǒng)量化信息的探測，最常見的就是位移動態(tài)監(jiān)測[5]。因此可以采用位移時(shí)間序列來重建巖體變形破壞的分維動態(tài)特征[6-7]。

一般來說，通常認(rèn)為單變量位移時(shí)間序列只能提供巖體系統(tǒng)十分有限的信息，甚至有人可能認(rèn)為可以用“一維”的觀點(diǎn)處理實(shí)際上含有大量相互關(guān)聯(lián)的復(fù)雜體系。實(shí)際上位移時(shí)間序列本身包含著比人們想象更為豐富的信息，它是巖體變形或者失效的綜合反映，蘊(yùn)含著參與變形動態(tài)過程全部變量的痕跡。因此利用位移時(shí)間序列重建巖體系統(tǒng)變形破壞的動態(tài)分維過程，可為巖體穩(wěn)定性分析提供可靠的依據(jù)，為失穩(wěn)預(yù)報(bào)提供重要的信息。

以X(t)為監(jiān)測所獲取的位移時(shí)間序列，選擇一個(gè)固定的時(shí)間間隔Δt，將原有序列X(t)加以拓展，并從數(shù)據(jù)集中取m個(gè)等距節(jié)點(diǎn)，得到新的變量組：

X1:X(t1),X(t2),X(t3),…,X(tm);

X2:X(t1+Δt),X(t2+Δt),X(t3+Δt),…,

X(tm+Δt);

X3:X(t1+2Δt),X(t2+2Δt),X(t3+2Δt),…,

X(tm+2Δt);

Xn:X(t1+(n-1)Δt),X(t2+(n-1)Δt),

X(t3+(n-1)Δt),…,X(tm+(n-1)Δt)。

{X(ti),X(ti+Δt),…,X(ti+(n-1)Δt)} ，

(1)

式中θ(x)為Heaviside函數(shù)，它的定義為

(2)

可以證明，當(dāng)r較小時(shí)，C(r)=rD。若在一定范圍內(nèi)取不同r值，則lnC(r)與lnr之間呈現(xiàn)線性關(guān)系。因此可以用lnr和lnC(r)作坐標(biāo)圖，找出無標(biāo)度區(qū)的斜率D(見圖1)：

(3)

圖1 lnC(r)-lnr曲線

然后考察D隨相空間維數(shù)n的變化。如果隨著n的增大，D值穩(wěn)定，即lnC(r)-lnr曲線圖出現(xiàn)相互平行的直線段，則稱時(shí)間序列描敘的巖體系統(tǒng)具有吸引子，且其分維為D的穩(wěn)定值。

實(shí)際計(jì)算時(shí)，通過累加生成變換能夠消除或者削弱監(jiān)測數(shù)據(jù)隨機(jī)干擾的成分，加強(qiáng)其代表研究對象本質(zhì)特征的確定性信息。因此在動態(tài)分維計(jì)算前，還需要對位移序列一次累加生成處理[8]。此外，如果監(jiān)測所得數(shù)據(jù)偏少，還要對其進(jìn)行插值處理。

3 實(shí)例分析

3.1 邊坡變形過程中的分維特征

1986年長江西陵峽新灘鎮(zhèn)發(fā)生一次大規(guī)模邊坡失穩(wěn)，總方量達(dá)到3×107m3，造成了極大的損失。下面取新灘邊坡失穩(wěn)A3點(diǎn)的監(jiān)測信息進(jìn)行分析[7]，表1為A3測點(diǎn)不同時(shí)期位移觀測數(shù)值，圖2為A3測點(diǎn)實(shí)測位移和位移累加值時(shí)程曲線。

表1 A3測點(diǎn)位移觀測資料

圖2 A3點(diǎn)實(shí)測位移曲線和位移累加值曲線

依據(jù)不同時(shí)期無標(biāo)度區(qū)的形態(tài)，動態(tài)分維計(jì)算結(jié)果如圖3所示，利用線性回歸分析計(jì)算無標(biāo)度區(qū)直線斜率即分維大小繪成圖4，由此可以得出結(jié)論：

圖3 邊坡不同時(shí)期lnC(r)-lnr曲線

圖4 邊坡動態(tài)分維變化曲線

(1) 變形邊坡具有分形特征，而且這種分形性質(zhì)隨著變形的發(fā)展越來越明顯。具體體現(xiàn)在lnC(r)-lnr關(guān)系曲線上，無標(biāo)度區(qū)和D值的穩(wěn)定性在邊坡變形前期不太突出，隨著變形的發(fā)展，無標(biāo)度區(qū)越來越明顯，D值的穩(wěn)定性也越來越好。

(2) 與邊坡變形一樣，邊坡變形的動態(tài)分維具有明顯的時(shí)效性，隨著時(shí)間的推移，分維數(shù)D也會相應(yīng)地發(fā)生變化。

(3) 邊坡變形是一個(gè)升維過程，變形開始加速時(shí)分維值增大至逼近1附近，并最終導(dǎo)致邊坡破壞。

3.2 深基坑變形過程中的分維特征

上海外灘觀光隧道浦西豎井深基坑處于市區(qū)密集路網(wǎng)間的地塊內(nèi)，周邊環(huán)境復(fù)雜，施工場地狹窄，基坑工程的變形保護(hù)等級為一級。該深基坑平面呈組合矩形，主體尺寸86 m×16 m，開挖深度20.43 m，端頭井部分落深24.46 m。采用1 m厚地下連續(xù)墻作為圍護(hù)結(jié)構(gòu)，基坑內(nèi)設(shè)多道支撐：第1，3，5道為O|609 mm鋼支撐，第2，4，6道為C40早強(qiáng)混凝土支撐，第7，8道為雙拼O| 609 mm鋼支撐，地墻頂部設(shè)C30冠梁。沿基坑四周布設(shè)了9處地墻水平位移監(jiān)測點(diǎn)，選取從1997-12-21至1998-02-06監(jiān)測深度為34 m的地下連續(xù)墻水平位移的48個(gè)監(jiān)測數(shù)據(jù)(表2及圖5)進(jìn)行分析[9]。

表2 地下連續(xù)墻水平位移監(jiān)測數(shù)據(jù)

圖5 地下連續(xù)墻水平位移時(shí)程曲線

動態(tài)分維計(jì)算結(jié)果如圖6所示。分維值計(jì)算后，通過分析圖6至圖8可知：

圖6 基坑不同時(shí)期lnC(r)-lnr曲線

圖7 1998-02-06的分維特點(diǎn)

圖8 基坑動態(tài)分維變化曲線

(1) 1998-01-11之前基坑水平變形較小分維不明顯，隨著變形的快速發(fā)展，分形越來越明顯，無標(biāo)度區(qū)越來越明顯，D值越來越穩(wěn)定。

(2) 基坑變形是一個(gè)升維過程，1998-01-22以后分維值大小基本不變，表明將保持1998-01-11至01-22之間較快的變形趨勢和速率，應(yīng)該引起高度重視。

3.3 隧道洞周收斂過程中的分維特征

取鷹嘴巖隧道右洞進(jìn)口段的37號斷面(樁號YK40+275)洞周收斂監(jiān)測數(shù)據(jù)進(jìn)行分析[10]，表3為實(shí)測收斂數(shù)據(jù)，圖9為收斂變形監(jiān)測曲線。

表3 洞室收斂數(shù)據(jù)

圖9 收斂變形監(jiān)測曲線

由計(jì)算結(jié)果(圖10)可知，2007-10-17之后的分維基本保持不變且無標(biāo)度區(qū)不明顯，變形將不會繼續(xù)發(fā)展 ，洞周逐漸趨于穩(wěn)定，這與監(jiān)測結(jié)果是相符的。

圖10 隧洞不同時(shí)期的lnC(r)-lnr曲線

4 結(jié) 語

本文結(jié)合邊坡工程、基坑工程和隧道工程，將分形理論系統(tǒng)地用于分析巖體的變形的穩(wěn)定性，研究結(jié)果表明巖體位移時(shí)間序列的分維值將隨著變形的發(fā)展逐漸增加，無標(biāo)度區(qū)將越來越明顯，利用分維的動態(tài)特征可以分析巖體對象的安全性，同時(shí)也證明了位移時(shí)序的分維值作為巖土工程安全性預(yù)警指標(biāo)是合理的。

實(shí)際上目前已有大量的方法基于變形監(jiān)測時(shí)間序列，用于分析巖體穩(wěn)定，諸如灰色理論(Grey Theory)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Neural network)、Verhulst函數(shù)與反Verhulst函數(shù)模型、時(shí)間序列分析模型(Time series analysis)等，這些方法均是通過變形序列本身，依托數(shù)據(jù)挖掘技術(shù)(Data mining)對將來的變形大小和規(guī)模進(jìn)行預(yù)測，而分形理論則是重在研究序列本身的分維特征，不是直接進(jìn)行變形預(yù)報(bào)，這與以上這些方法具有不同之處。無論怎樣，這些方法都是重在趨勢預(yù)測，過分追求具體數(shù)值意義不大。但是分形理論還存在許多弱點(diǎn)，如表征信息少、逆向分析困難等，有待進(jìn)一步研究。

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