站在“平面幾何”的肩上學(xué)習(xí)“立體幾何”

楊曦

摘 要 高中“平面”是從局部學(xué)習(xí)立體幾何的起始，對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)有重要作用，文章探討了“平面”教學(xué)的重點(diǎn)，并對(duì)教學(xué)過程進(jìn)行了設(shè)計(jì)，而設(shè)計(jì)的重要角度之一是類比“平面幾何”的學(xué)習(xí)，將“立體幾何”的學(xué)習(xí)與“平面幾何”進(jìn)行溝通，在學(xué)生已有知識(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)。

關(guān)鍵詞 平面幾何 立體幾何 教學(xué)設(shè)計(jì)

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1002-7661（2014）14-0005-02

一、教學(xué)設(shè)計(jì)重點(diǎn)

對(duì)于“平面”這一課時(shí)的教學(xué)設(shè)計(jì)，重點(diǎn)應(yīng)放在對(duì)“平面”概念的理解感受和對(duì)“三個(gè)公理”的理解上。

1.平面概念

平面是最基本的幾何概念，是立體幾何區(qū)別平面幾何的重要元素，平面是一個(gè)描述性的定義，重點(diǎn)在于理解其性質(zhì)，對(duì)平面概念的理解可以通過與直線進(jìn)行類比的方式深化，并且可以貫穿在“三個(gè)公理”的教學(xué)中。

2.三個(gè)公理

對(duì)空間圖形問題的研究經(jīng)常都是借助或轉(zhuǎn)化為平面的問題來解決的?！按_定平面”是將空間圖形問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題來解決的重要條件，而這種轉(zhuǎn)化又是空間圖形中解決許多問題的一種重要思想方法，這種轉(zhuǎn)化的最基本依據(jù)就是三個(gè)公理，可以說，刻畫平面的三個(gè)公理是立體幾何公理體系的基石，是研究空間圖形問題時(shí)進(jìn)行邏輯推理的基礎(chǔ)。

二、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

1.平面概念與表示方法教學(xué)設(shè)計(jì)

（1）概念引入

“平面”是學(xué)習(xí)立體幾何引入的新要素，在引入的時(shí)候可以聯(lián)系之前學(xué)過的平面圖形，如將長方形與長方體的概念進(jìn)行比較，引入長方體的知識(shí)。具體的過程如下：

①提出問題：長方體是什么幾何圖形？它是由哪些幾何元素構(gòu)成的？它與長方形有什么不同？

②引導(dǎo)學(xué)生觀察分析：長方體是由六個(gè)平面圍成的封閉幾何體，是由點(diǎn)、直線、平面三種幾何元素組成的。（由此引出“平面”，長方體與長方形的不同讓學(xué)生自由發(fā)現(xiàn)。）

（設(shè)計(jì)意圖：通過對(duì)長方形和長方體的對(duì)比實(shí)現(xiàn)由平面幾何到立體幾何的過渡，初步直觀地感受空間中“平面”這一重要元素。）

（2）概念深化

①列舉生活中“平面”的例子，如桌面、黑板面、海面等，再讓學(xué)生自己舉例，直觀感知生活中的平面，使這一概念更加具體形象化。

②進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)問題：如何表示平面？讓學(xué)生討論交流，然后師生共同概括得出結(jié)論，再提出問題：平面這種重要的幾何元素能定義嗎？教師再加以點(diǎn)撥：平面和其他幾何元素點(diǎn)、直線一樣，是只描述而不定義的數(shù)學(xué)原名，平面內(nèi)有無數(shù)個(gè)點(diǎn)，則平面可以看成點(diǎn)的集合。

③類比“直線”得到“平面”的性質(zhì)。通過類比直線的無限延伸性理解平面的無限延展性，并且類比直線“沒有粗細(xì)”這一特點(diǎn)理解平面“沒有厚薄”。也可以類比“直線將平面分成兩個(gè)部分”思考“一個(gè)平面可以將空間分成幾個(gè)部分？”（再一次從“平面幾何”角度出發(fā)思考新問題。）

2.公理1教學(xué)設(shè)計(jì)

（1）提出問題：思考直線與平面的關(guān)系？（可聯(lián)系“平面幾何”中點(diǎn)與直線的關(guān)系思考），再讓學(xué)生通過直觀想象，并且結(jié)合生活中的經(jīng)驗(yàn)思考問題，在學(xué)生得出結(jié)論后，教師給予評(píng)價(jià)，并且用教具直觀演示直線與平面的各種關(guān)系。

（2）繼續(xù)提出問題：那么在什么情況下能判斷直線在平面€%Z內(nèi)？如果直線與平面有一個(gè)公共點(diǎn)P，直線是否在平面€%Z內(nèi)？如果直線l與平面€%Z有兩個(gè)公共點(diǎn)呢？（結(jié)合生活實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生思考該問題：實(shí)際生活中，我們有這樣的經(jīng)驗(yàn)：把一根直尺邊緣上的任意兩點(diǎn)放在桌面上，可以看到，直尺的整個(gè)邊緣就落在了桌面上。）

（3）引出公理1并且將公理1符號(hào)化：由對(duì)上面的兩個(gè)問題的解答可引出公理1，再指導(dǎo)學(xué)生將公理1轉(zhuǎn)化成符號(hào)語言。

（4）深化問題：公理1可以推廣到曲面嗎？若不能，請舉例說明。（提出該推廣性問題的目的在于加深學(xué)生對(duì)“平面”的形象理解，感受平面是平的，也是對(duì)于平面概念的又一次深化。）

3.公理2教學(xué)設(shè)計(jì)

（1）類比平面幾何中學(xué)過的“直線”相關(guān)知識(shí)點(diǎn)思考問題：兩點(diǎn)能確定一條直線，那么兩點(diǎn)能確定一個(gè)平面嗎？若不能，要幾點(diǎn)？（引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合實(shí)例思考該問題：例如門、窗被兩個(gè)合頁點(diǎn)固定在門、窗的框架上，但門、窗代表的平面，可以繞兩合頁所在的直線轉(zhuǎn)動(dòng)。）

（2）進(jìn)一步提問：三個(gè)定點(diǎn)能唯一確定平面的位置嗎？

（3）引出概括公理2：在思考問題2時(shí)可先思考該問題：過三個(gè)定點(diǎn)能唯一確定圓的位置嗎？學(xué)生則能發(fā)現(xiàn)過三個(gè)不在同一直線上的定點(diǎn)能唯一確定圓的位置，再進(jìn)一步思考這能否說明過三個(gè)不共直線的定點(diǎn)能唯一確定平面位置嗎？（因?yàn)閳A本身就是封閉的平面圖形，這三個(gè)定點(diǎn)唯一確定圓的位置就確定了圓所在的平面位置。）再舉出生活中的例子：如三腳架可以牢固地支撐照相機(jī)或測量用的平板儀等等，并且通過這些例子體會(huì)公理2的簡單應(yīng)用。

（4）再將該公理推廣到曲面提出問題：不在一條直線上的三個(gè)已知點(diǎn)，能否唯一確定曲面的位置？通過直觀想象，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)不在一條直線上的三個(gè)已知點(diǎn)不能唯一確定球面的位置，它只能確定過這三點(diǎn)的球面的一個(gè)截面圖。（讓學(xué)生充分理解公理2是平面的一個(gè)基本性質(zhì)，不能推廣到曲面，則進(jìn)一步對(duì)平面有深刻的感知和理解。）

4.公理3教學(xué)設(shè)計(jì)

（1）實(shí)物操作并思考問題：把三角板的一個(gè)角立在課桌面上，三角板所在平面與桌面所在平面是否只相交于一點(diǎn)？為什么？

（2）觀察長方體，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)平面相交成直線，這條直線叫做兩個(gè)平面的交線，并且，相鄰兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，且經(jīng)過該點(diǎn)有且只有一條過該點(diǎn)的公共線，由此引出公理3。再指導(dǎo)學(xué)生將公理3用符號(hào)語言描述。

三、實(shí)施要點(diǎn)分析

1.類比“平面幾何”相關(guān)知識(shí)學(xué)習(xí)新知

以上所設(shè)計(jì)的教學(xué)過程中很重要的一個(gè)角度是從“平面幾何”的相關(guān)知識(shí)出發(fā)，從而引出新知識(shí)。通過提出問題，讓學(xué)生聯(lián)想學(xué)習(xí)平面幾何時(shí)的類似問題及解答，從而得出自己的結(jié)論，并且向?qū)W生滲透“在解決立體幾何問題時(shí)可以通過轉(zhuǎn)化成平面幾何的問題進(jìn)行解決”的思想。endprint

但需要注意的是，平面幾何只是作為學(xué)習(xí)立體幾何的基礎(chǔ)，并不是要在立體幾何的教學(xué)過程中過分重視回到平面幾何，從而弱化學(xué)生的空間幾何觀念，在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力也尤為重要。

2.“平面”的概念深化及其教學(xué)應(yīng)貫穿在“三個(gè)公理”教學(xué)中

平面概念是學(xué)生相對(duì)陌生的概念，雖然掌握了平面幾何的相關(guān)知識(shí)，但是對(duì)于空間中存在的各個(gè)平面的理解還是存在陌生感，尤其是平面的無限延展性等，因此在對(duì)平面概念進(jìn)行教學(xué)時(shí)可以類比直線，將直線的性質(zhì)拓展到平面。另外很重要的一點(diǎn)是區(qū)分平面和曲面，要能充分感受理解“平面是平的”，因此在教學(xué)中可以將“三個(gè)公理”推廣到曲面，讓學(xué)生思考平面與曲面的區(qū)別，從而深化對(duì)平面的理解。

3.教學(xué)應(yīng)注重直觀形象性

另外重要的一點(diǎn)是在高中立體幾何教學(xué)的初始要注意直觀形象性，因此借助實(shí)例來引入平面的概念是必要的，讓學(xué)生感受生活中的平面。教科書給出的平面畫法，主要是從“直觀性”來考慮的，教學(xué)時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生注意：畫的平行四邊形表示的是整個(gè)平面，需要時(shí)，可以把它延展開來，如同畫直線一樣，直線是可以無限延展的，但在畫直線時(shí)卻只畫出一條線段來表示。

4.“三個(gè)公理”的教學(xué)

所謂公理，就是不必證明而直接承認(rèn)的真命題，是進(jìn)一步推理的出發(fā)點(diǎn)和根據(jù)。在進(jìn)行三個(gè)公理教學(xué)時(shí)，要讓學(xué)生盡快熟悉立體幾何中的各種語言表述方法，因此在給出三個(gè)公理時(shí)，要同時(shí)使用三種語言的描述。

另外，在給出公理之前，先提出“思考”，引導(dǎo)學(xué)生的思維，并結(jié)合生活中的例子說明公理所描述的事實(shí)，以幫助學(xué)生更好地領(lǐng)會(huì)公理，并且要引導(dǎo)學(xué)生通過直觀感知、操作確認(rèn)、理性思考，以及三種語言的描述和相互轉(zhuǎn)換，經(jīng)歷公理的歸納、概括過程，形成對(duì)公理的完整認(rèn)識(shí)。

三個(gè)公理的各自作用也是在教學(xué)中需要讓學(xué)生思考的，并且公理教學(xué)的過程中要穿插對(duì)平面概念的深化。為了使學(xué)生更好地掌握三個(gè)公理，教學(xué)中應(yīng)當(dāng)多給學(xué)生提供觀察實(shí)物，用三個(gè)公理進(jìn)行判斷的機(jī)會(huì)，特別是要充分利用長方形這個(gè)模型。

參考文獻(xiàn)：

[1]編寫組.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修（2）[M].北京：人民教育出版社，2007.

[2]編寫組.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修（2）教師教學(xué)用書[M].北京：人民教育出版社，2007.

[3]薛紅霞.讓學(xué)生體會(huì)立體幾何學(xué)習(xí)的愉悅感——由高中數(shù)學(xué)《平面》課例說起[J].教育理論與實(shí)踐，2009，（7）.

（責(zé)任編輯 曾 卉）endprint