重視數(shù)學(xué)思想方法的滲透和應(yīng)用培養(yǎng)優(yōu)秀人才

林彩金

摘 要：數(shù)學(xué)基本思想是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個重要研究的課堂。教師要從數(shù)學(xué)思想的滲透和數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用這兩個方面來研究。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教育；基本思想方法；優(yōu)秀人才

隨著現(xiàn)代科技的進(jìn)一步發(fā)展，特別是計(jì)算機(jī)應(yīng)用領(lǐng)域的擴(kuò)大，對信息的加工、處理、分類、統(tǒng)計(jì)要求越來越高。培養(yǎng)一代高素質(zhì)、具有創(chuàng)新能力的優(yōu)秀人才，對我們的教育教學(xué)工作提出了新要求。因此，這就更加突出了數(shù)學(xué)基本思想在中學(xué)教學(xué)中的滲透和應(yīng)用的重要意義。

下面，我就把教學(xué)中常用的數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用舉例說明。

一、數(shù)學(xué)思想方法的滲透

數(shù)學(xué)思想的滲透既是培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力的基礎(chǔ)，又是創(chuàng)新的源泉，既增益，又減負(fù)。有利于中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)，也符合教學(xué)大綱的要求。

（1）數(shù)形結(jié)合思想的滲透。數(shù)形結(jié)合的思想是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要思想之一，是數(shù)學(xué)的靈魂，數(shù)和形反映了事物的兩個方面：數(shù)無形，少直觀；形無數(shù)，難入微。因此，在解決有關(guān)數(shù)的問題時，需要畫出圖形或結(jié)合給出的圖形去尋求數(shù)之間的聯(lián)系；在解決形的問題時，又常常通過數(shù)的計(jì)算去找到圖形之間的聯(lián)系。這種數(shù)形結(jié)合的思想是解決數(shù)學(xué)問題的切入點(diǎn)，能讓學(xué)生比較容易地找到解題的途徑，達(dá)到化繁為簡的目的。

例1：代數(shù)式■+■的最小值是____。（第十二屆希望杯初二賽題）

分析：∵條件是x為實(shí)數(shù)，將數(shù)化為形。

如圖1，BA⊥AC于A，DC⊥AC于C，AB=2，CD=3，AC=12，AP=x，則BP+PD=■+■。

即轉(zhuǎn)化為：在AC上求一點(diǎn)P，使PB+PD最小。

于是作B關(guān)于AC的對稱點(diǎn)F，從而可得出BP+PD=FD=13，故■+■的最小值為13。

（2）換元思想的滲透。在初中數(shù)學(xué)中我們就接觸過換元法，有些題目如用常規(guī)方法求解，會帶來很大的計(jì)算量，甚至不得要領(lǐng)，無從下手。而通過換元這種轉(zhuǎn)化可減少運(yùn)算量，化難為易，帶來很大的方便。

例2：已知■=■=■，則■____。（2001年重慶初三數(shù)學(xué)競賽題）

分析：可設(shè)■=■=■=k，從而得x=■y+z=■z+x=■， 解出x，y，z，可得■=■。

（3）方程思想的滲透。方程思想是最基本的也是最重要的數(shù)學(xué)思想方法之一，要從對問題的數(shù)量關(guān)系分析入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型（這種模型可以是方程、不等式或方程與不等式的混合組），然后通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解。在具體應(yīng)用中，常見的技能包括待定系數(shù)法、直接設(shè)元解方程、運(yùn)用根的定義構(gòu)造方程、運(yùn)用判別式構(gòu)造方程、運(yùn)用根與系數(shù)關(guān)系構(gòu)造方程、由待求式與條件式構(gòu)造方程組、挖掘隱含條件構(gòu)造方程（組）和構(gòu)造復(fù)數(shù)方程八種解題方法，它們又是互相聯(lián)系、協(xié)調(diào)統(tǒng)一的數(shù)學(xué)方法。

例3：若m2=m+1，n2=n+1，且m≠n，則m5+n5=____。（江蘇省第四屆初中數(shù)學(xué)競賽題）

解：∵m2=m+1，n2=n+1，且m≠n，∴m、n是方程x2-x-1=0的兩個根。由根與系數(shù)關(guān)系得m+n=1，m n=-1?！鄊2+n2=3，m3+n3=4。m5+

n5=（m2+n2）（m3+n3 ）-m2 n2 （m+n）=11。

（4）分類討論思想的滲透。分類討論思想是指依據(jù)數(shù)學(xué)研究對象有本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)和差異點(diǎn)，將數(shù)學(xué)對象分為不同種類的數(shù)學(xué)思想。分類討論思想是一種常用而重要的數(shù)學(xué)思想。

例4：求y=1+sint+■ 的值域。

解：①當(dāng)sint>0，y=1+sint+■≥3。②sint<0，y=1-（-sint+■）≤1-2=-1。∴ y ∈ （-∞，-1]∪ [3，+∞）。

（5）整體思想的滲透。解數(shù)學(xué)問題時，可將需要解決的問題看作一個整體，通過研究問題的整體形式、整體結(jié)構(gòu)，并注意已知條件及待求結(jié)論在這個整體中的地位和作用，然后對整體結(jié)構(gòu)的調(diào)節(jié)和轉(zhuǎn)化使問題獲解。整體思想是數(shù)學(xué)解題中的一種常用思維方法，由于這種思維具有一定的簡約性和跳躍性，掌握起來有一定的難度，教師在教學(xué)當(dāng)中應(yīng)注意通過一些具體實(shí)例由淺入深地進(jìn)行展開和討論，以便學(xué)生領(lǐng)會和掌握。

例5：設(shè)對所有實(shí)數(shù)x ，不等式x2log2■+2xlog2■+log2■>0恒成立，求a的取值范圍。

分析：此題可以有多種解法，一般學(xué)生都利用二次函數(shù)性質(zhì)來解，不但運(yùn)算復(fù)雜，而且因討論的層次較多，容易出錯。如果通過觀察題設(shè)中不等式的整體結(jié)構(gòu)可以發(fā)現(xiàn)，式中三個對數(shù)可以轉(zhuǎn)化為同一形式，從而原不等式化簡為：3x2+[（〖x-1）〗2+1]log2■>0，這個不等式對所有實(shí)數(shù)恒成立的充要條件是log2■>0？圳■>1？圳0

二、數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用

所謂應(yīng)用是讓學(xué)生逐步獨(dú)立地、自覺地將觀念應(yīng)用于數(shù)學(xué)思維過程中，一方面深化對觀念的理解，一方面檢驗(yàn)觀念的正解與否，從而完成從抽象到具體的飛躍。這個階段要求學(xué)生在數(shù)學(xué)觀念下能概略解決問題，而教師的主導(dǎo)作用在于對學(xué)生思維活動的評價(jià)。

通過十幾年教學(xué)實(shí)踐，使我更深刻地認(rèn)識到，在教學(xué)過程中注重?cái)?shù)學(xué)思想的滲透，使學(xué)生受到潛移默化的教育，為數(shù)學(xué)思想應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)，學(xué)生能容易地建立對這一數(shù)學(xué)思想的初步認(rèn)識，從而在檢驗(yàn)、應(yīng)用中逐步獨(dú)立地、自覺地將觀念運(yùn)用于數(shù)學(xué)思維的過程中，使學(xué)生提高了用同一種思想處理不同問題的能力，提高解決問題的能力，從而增強(qiáng)了數(shù)學(xué)思維的“動力機(jī)制”，提高了數(shù)學(xué)質(zhì)量。

總之，我們數(shù)學(xué)師應(yīng)重視數(shù)學(xué)基本思想在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透，從而培養(yǎng)更多的優(yōu)秀人才。

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（福建莆田青璜中學(xué)）