基于時(shí)滯理論的火箭發(fā)動(dòng)機(jī)燃燒過程有記憶反饋控制

惠俊軍 張合新 周 鑫 孟 飛 李國(guó)梁

1.第二炮兵工程大學(xué)，西安710025 2.中國(guó)人民解放軍96411部隊(duì)，寶雞721013

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基于時(shí)滯理論的火箭發(fā)動(dòng)機(jī)燃燒過程有記憶反饋控制

惠俊軍1,2張合新1周 鑫1孟 飛1李國(guó)梁1

1.第二炮兵工程大學(xué)，西安710025 2.中國(guó)人民解放軍96411部隊(duì)，寶雞721013

在控制系統(tǒng)中，時(shí)滯的存在往往引起系統(tǒng)性能變差，甚至不穩(wěn)定。文中針對(duì)線性時(shí)滯系統(tǒng)，基于時(shí)滯分割方法分析建立了系統(tǒng)穩(wěn)定新條件，在此基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了有記憶反饋控制器，該方法通過求解線性矩陣不等式(LMI)的可行解得到控制器的參數(shù)化表達(dá)式。該控制器應(yīng)用于液體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)燃燒室燃燒過程的仿真表明，所提方法擴(kuò)大了系統(tǒng)穩(wěn)定的最大時(shí)滯上界范圍，具有更低的保守性，同時(shí)具有更好的控制效果。

火箭發(fā)動(dòng)機(jī)；Lyapunov-Krasovskii (L-K)泛函；時(shí)滯分解；狀態(tài)反饋；線性矩陣不等式

時(shí)滯現(xiàn)象常存在于導(dǎo)彈的制導(dǎo)、飛行器的控制與航空航天系統(tǒng)當(dāng)中，它的存在一方面使得系統(tǒng)的分析與控制器的設(shè)計(jì)變的復(fù)雜，另一方面可以導(dǎo)致系統(tǒng)性能惡化甚至不穩(wěn)定。所以對(duì)時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析與綜合問題一直是控制理論研究的熱點(diǎn)問題[1]。

在載人航天，空間運(yùn)輸?shù)膭?dòng)力系統(tǒng)——液體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)的研制當(dāng)中，經(jīng)常會(huì)遇到不穩(wěn)定燃燒問題，其燃燒室內(nèi)燃燒過程的動(dòng)態(tài)模型是一不穩(wěn)定時(shí)滯系統(tǒng)[2-3]，近年來受到不少學(xué)者的關(guān)注[4-11]，如何保證燃燒室的穩(wěn)定燃燒，提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性能，學(xué)者們提出不同的方法。文獻(xiàn)[4]利用矩陣特征等式降階技術(shù)研究了該系統(tǒng)的魯棒鎮(zhèn)定性問題；文獻(xiàn)[5-6]設(shè)計(jì)了變結(jié)構(gòu)控制器；文獻(xiàn)[7]利用凸優(yōu)化算法設(shè)計(jì)了該系統(tǒng)的無記憶反饋控制器；文獻(xiàn)[8-9]采用模型變換結(jié)合交叉項(xiàng)界定技術(shù)對(duì)此問題做了進(jìn)一步深入研究，得出系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定和鎮(zhèn)定的充分條件。然而由于模型變換存在固有的缺陷,會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)的保守性。文獻(xiàn)[10]基于拉格朗日均值定理和Lyapunov穩(wěn)定性定理相結(jié)合的分析方法，給出了系統(tǒng)可魯棒鎮(zhèn)定的時(shí)滯相關(guān)條件，該方法避免了模型變換引起的不足，但應(yīng)用于燃燒鎮(zhèn)定時(shí)所獲得的參數(shù)可鎮(zhèn)定范圍較小。文獻(xiàn) [11]采用積分不等式方法研究燃燒過程的無記憶魯棒鎮(zhèn)定問題，獲得了較好的穩(wěn)定性能和鎮(zhèn)定性能。然而文獻(xiàn)[11]在構(gòu)造控制器的過程中，只利用當(dāng)前狀態(tài)信息x(t)，沒有考慮狀態(tài)x(t-δ)對(duì)系統(tǒng)性能的影響，結(jié)論相對(duì)較為保守。

本文基于時(shí)滯分割理論，通過把時(shí)滯區(qū)間[-δ,0]進(jìn)行平均分割，構(gòu)造適當(dāng)?shù)腖-K泛函并結(jié)合積分不等式方法建立了基于LMI形式的有記憶狀態(tài)反饋控制器。該控制器應(yīng)用于火箭發(fā)動(dòng)機(jī)的燃燒過程，仿真結(jié)果表明，該方法擴(kuò)大了系統(tǒng)穩(wěn)定的最大時(shí)滯上界范圍，且具有較好的控制效果。

1 問題描述

考慮如下線性時(shí)滯系統(tǒng)：

(1)

其中，x(t)∈Rn是狀態(tài)向量，u(t)∈R為控制輸入，φ(t)為連續(xù)的初始向量函數(shù)，A，A1，B為給定的常數(shù)矩陣。

本文的目的是設(shè)計(jì)有記憶的反饋控制器：

u(t)=K1x(t)+K2x(t-δ)

(2)

使得系統(tǒng)(1)漸近穩(wěn)定。

證明中用到如下引理：

引理[12]對(duì)于任意的定常矩陣X∈Rn×n,X=XT>0，標(biāo)量h>0，向量函數(shù)x(t):[0,h]→Rn的以下相關(guān)積分項(xiàng)有定義，則有

2 穩(wěn)定性判據(jù)及控制器設(shè)計(jì)

首先考慮當(dāng)u(t)=0時(shí)，系統(tǒng)(1)的穩(wěn)定性問題，即：

(3)

2.1 穩(wěn)定性判據(jù)

定理1 對(duì)于給定的常數(shù)δ和正整數(shù)N≥2，若存在正定矩陣P，Q，R，W和

(4)

則系統(tǒng)(3)是漸近穩(wěn)定的，其中

Ξ12=W+S12，Ξ23=S23-S12，

證明：首先基于時(shí)滯分割法構(gòu)造如下形式的L-K泛函：

(5)

其中,

取V(t)沿系統(tǒng)(3)對(duì)時(shí)間取導(dǎo)數(shù)得:

(6)

由引理可得

(7)

(8)

(9)

其中，

Φ12=W+S12，Φ14=PA1+R+ATMA1，

Φ23=S23-S12，M=δ2R+(δ/N)2W。

2.2 有記憶的反饋控制器的設(shè)計(jì)

在2.1穩(wěn)定性定理的基礎(chǔ)上，下面給出有記憶反饋控制器的設(shè)計(jì)。

(10)

則閉環(huán)控制系統(tǒng)(3)是漸近穩(wěn)定的，且控制器的參數(shù)化表示為：

(11)

其中，

3 火箭發(fā)動(dòng)機(jī)燃燒過程仿真

本節(jié)考慮帶有反饋伺服機(jī)構(gòu)的單一燃料液體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)，在假定非恒穩(wěn)流動(dòng)并考慮一致滯后情況下，文獻(xiàn)[2-3,7]給出整個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為：

(12)

其中,φ(t) 表示燃燒室內(nèi)的瞬時(shí)壓力，μ1(t)表示燃料流過的瞬時(shí)質(zhì)量速度，μ(t)表示整個(gè)系統(tǒng)的燃料穩(wěn)態(tài)質(zhì)量速率，ψ(t)表示燃料管道的瞬時(shí)壓力。選u(t)為壓力控制輸入,取γ=1，ξ=0.5，P=1，J=2，Ee=1，令x(t)=[φ(t)μ1(t)μ(t)

ψ(t)]T，則燃燒過程方程可表示為:

(13)

其中：

圖1 燃燒室燃燒過程的自由運(yùn)動(dòng)曲線

下面分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性能及控制器的鎮(zhèn)定性能。

1) 自由系統(tǒng)穩(wěn)定性能分析

首先考慮在不加控制時(shí)，自由系統(tǒng)的穩(wěn)定性能。由文獻(xiàn)[11]定理1計(jì)算可知，保證系統(tǒng)穩(wěn)定的最大時(shí)滯上界為δmax=0.7061；應(yīng)用本文定理1，當(dāng)取時(shí)滯分割數(shù)N=2時(shí)，計(jì)算可得保證系統(tǒng)穩(wěn)定的最大時(shí)滯上界 為δmax=0.7440；當(dāng)N=3時(shí)，獲得的最大時(shí)滯上界δmax=0.7510?？梢姳疚姆椒〝U(kuò)大了系統(tǒng)穩(wěn)定的時(shí)滯上界范圍，具有更低的保守性。

2) 系統(tǒng)的鎮(zhèn)定性能

在線性反饋控制器的作用下，文獻(xiàn)[10]計(jì)算系統(tǒng)可鎮(zhèn)定的時(shí)滯上界為δmax=0.898，相應(yīng)的控制增益為：K=[-89.125 -20.000 -215.161 -125.040]。

文獻(xiàn)[11]得到的最大時(shí)滯上界為δmax=0.999995，為了便于比較，這里取相同的時(shí)滯參數(shù)δ=0.898，則對(duì)應(yīng)的控制增益為：

K=

[46.1892 -14.0652 107.4290 -87.1953]。

由本文定理2，當(dāng)時(shí)滯分割數(shù)N=5(取調(diào)整參數(shù)d1=0.3，d2=0.6)時(shí)，求解定理2的線性矩陣不等式(10)，可得系統(tǒng)鎮(zhèn)定的時(shí)滯上界為δmax=1.0440，取δ=0.898，則相應(yīng)的參數(shù)解為：

，

，

控制器增益為：

K1=

[9.3956 -4.3986 5.4489 -4.0673]，

K2=

[-4.6602 -0.3174 0.7965 -0.1295]。

可見本文方法擴(kuò)大了閉環(huán)系統(tǒng)可鎮(zhèn)定的范圍，具有更低的保守性。另外在相同的比較條件下，本文控制器具有較小的增益。

將上述反饋增益代入燃燒過程仿真得圖2～4所示。

圖2 文獻(xiàn)[10]控制器作用下系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)

圖3 文獻(xiàn)[11]控制器作用下系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)

圖4 本文控制器作用下系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)

從圖2～4可以看出，系統(tǒng)在文獻(xiàn)[10]的作用下，系統(tǒng)狀態(tài)曲線振蕩幅度較大，收斂較慢；在文獻(xiàn)[11]控制器的作用下,收斂較快，但是狀態(tài)變量x2(t)曲線振蕩仍然較大；在本文有記憶狀態(tài)反饋控制器的作用下,收斂較快、狀態(tài)曲線振蕩較小，具有較好的控制效果。

4 結(jié)論

首先基于時(shí)滯分割理論研究了系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了有記憶反饋控制器。該控制器應(yīng)用于液體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)的燃燒室的燃燒過程，仿真驗(yàn)證了所提方法的有效性，同時(shí)和已有文獻(xiàn)相比，具有更小的保守性和較好的控制效果。

[1] Gu K, Kharitonov V L, Chen J. Stability of Time-delay Systems [M]. Basel: Birkhauser, 2003: 1-17.

[2] Crocco L. Aspects of Combustion Stability in Liquid Propellant Rocket Motors, Part I: Fundamentals-Low Frequency Instability with Monopropellants [J]. Journal of the American Rocket Society,1951, 21(2):163-178.

[3] 錢學(xué)森，宋健.工程控制論(上)[M].北京：科學(xué)出版社，1980:343-365.

[4] Fiagbedzi Y A, Pearson A E. A Multistage Reduction Technique for Feedback Stabilizing Distributed Time-lag Systems[J]. Automatica, 1987, 23(3):311-326.

[5] Zheng F,Cheng M, Gao W B．Variable Structure Control of Time Delay Systems with a Simulation Study on Stabilizing Combustion in Liquid Propellant Rocket Motors [J].Automatica,1995,31(7)：1031-1037．

[6] 鄭鋒，程勉，高為炳．時(shí)滯系統(tǒng)的變結(jié)構(gòu)控制及其在火箭發(fā)動(dòng)機(jī)燃燒過程鎮(zhèn)定中的應(yīng)用[J]．自動(dòng)化學(xué)報(bào)，1996，22(3)：257-262．(Zheng F ,Cheng M, Gao W B. Variable Structure Control of Time-lag System and Its Application to the Stabilization of Combustion in Rocket Motors [J]. Acta Automatica Sinica, 1996，22(3)：257-262.)

[7] Moon Y S, Park P, Kwon W H,et a1．Delay-dependent Robust Stabilization of Uncertain State Delayed Systems[J]．International Journal of Control，2001,74(14)：1447-1455．

[8] Zheng F, Frank P M. Robust Control of Uncertain Distributed Delay Systems with Application to the Stabilization of Combustion in Rocket Motor Chambers [J]. Automatica, 2002,38(3):487-497.

[9] Chen W H, Zheng W X．Delay-dependent Robust Stabilization for Uncertain Neutral Systems with Distributed Delays[J]．Automatica,2007,43(1):95-104．

[10] Jafarov E M．Robust Stabilization of Input-delayed Systems with Design Example for Rocket Motor Control [J]．Aircraft Engineering and Aerospace Technology：An International Journal，2008，80(1):59-65.

[11] 李濤，張合新，孟飛.火箭發(fā)動(dòng)機(jī)燃燒過程無記憶魯棒鎮(zhèn)定的積分不等式方法[J].宇航學(xué)報(bào)，2010,31(12): 2788-2793.( Li T, Zhang H X, Meng F. Integral Inequality Approach to Memoryless Robust Stabilization of Combustion Process in Rocket Motor [J]. Journal of Astronautics, 2010,31(12): 2788-2793.)

[12] Zhang X M, Han Q L. New Lyapunov-Krasovskii Functionals for Global Asymptotic Stability of Delayed Neural Networks [J].IEEE Transactions on Neural Netwoks,2009，20(3):533-539.

The Memory Feedback Controller for Combustion Process in Rocket Motor Based on Theory of Time-Delay

HUI Junjun1,2ZHANG Hexin1ZHOU Xin1MENG Fei1LI Guoliang1

1. Department of Automation, The Second Artillery Engineering University, Xi’an 710025, China 2. No.96411 Unit,People’s Liberation Army of China,Baoji 721013, China

Incontrolsystems,timedelayisalwaysthesourceofinstabilityandpoorperformance.Regardingthelineartime-delaysystem,anewstabilityconditionisformulated,whichisbasedondelay-decompositionapproach.Basedonthiscondition,amemorystatefeedbackcontrollerisdesignedandtheparameterexpressionofcontrollerisobtainedbysolvingthefeasiblesolutionproblemoflinearmatrixinequality(LMI).Then,thiscontrollerisappliedtothecombustionprocessinliquidpropellantrocketmotorchambers.Thesimulationresultsshowthattheproposedmethodenlargestheupperboundofthetime-delayandhasgoodperformance.

Rocketmotors; Lyapunov-Krasovskii (L-K)functional;Delay-decomposition;Statefeedback；Linearmatrixinequality(LMI)

2013-07-23

惠俊軍(1977-)，男，西安人，博士，主要研究方向?yàn)闀r(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性與控制；張合新(1965-)，男，河北易縣人，教授，博士生導(dǎo)師，主要研究方向?yàn)閷?dǎo)航、制導(dǎo)與控制；周 鑫(1979-)，男，湖南益陽(yáng)人，講師，主要研究方向?yàn)榫W(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)；孟 飛(1976-)，男，安徽亳州人，講師，主要研究方向?yàn)閷?dǎo)航、制導(dǎo)與控制；李國(guó)梁(1981-)，男，呼和浩特人，博士，主要研究方向?yàn)榫W(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)。

1006-3242(2014)04-0031-06

TP13

A