空天再入飛行器最優(yōu)過(guò)渡段軌道設(shè)計(jì)方法研究

郭付明 高曉光 端軍紅

西北工業(yè)大學(xué)電子信息學(xué)院，西安710129

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空天再入飛行器最優(yōu)過(guò)渡段軌道設(shè)計(jì)方法研究

郭付明 高曉光 端軍紅

西北工業(yè)大學(xué)電子信息學(xué)院，西安710129

針對(duì)空天再入飛行器在再入角和再入點(diǎn)位置給定條件下的過(guò)渡段軌道設(shè)計(jì)問(wèn)題，提出了一種最優(yōu)過(guò)渡段軌道的設(shè)計(jì)方法。首先，在制動(dòng)點(diǎn)給定的條件下，由制動(dòng)脈沖最大限制求得初始航跡角的區(qū)間范圍，然后詳細(xì)推導(dǎo)了由給定再入角解析計(jì)算初始航跡角的公式，進(jìn)而可由初始航跡角計(jì)算所需的離軌制動(dòng)脈沖和轉(zhuǎn)移時(shí)間。最后用一維搜索策略對(duì)轉(zhuǎn)移時(shí)間最短和燃料消耗最小的最優(yōu)制動(dòng)點(diǎn)位置進(jìn)行了迭代求解。仿真表明，該算法簡(jiǎn)單易行，具有很強(qiáng)的實(shí)時(shí)性，對(duì)于空天再入飛行器再入時(shí)最優(yōu)過(guò)渡軌道的設(shè)計(jì)具有較高的工程應(yīng)用價(jià)值。

過(guò)渡段軌道設(shè)計(jì)；離軌制動(dòng)脈沖；再入角；最優(yōu)制動(dòng)位置

近年來(lái)，由于空間遠(yuǎn)程快速運(yùn)輸系統(tǒng)和全球快速精確打擊等的需求，各類能夠往返于地球表面和空間軌道之間的空天飛行器成為各國(guó)的研究熱點(diǎn)。其中具有代表性的是美國(guó)研制的X-37B軌道試驗(yàn)飛行器[1]，它不僅可用于空間運(yùn)輸和空間試驗(yàn)，而且在偵查監(jiān)視與預(yù)警、全球快速精確打擊等軍事應(yīng)用方面具有重大潛力。此外，這類飛行器還有美國(guó)獵鷹計(jì)劃中的通用航空飛行器(CAV)、空間作戰(zhàn)飛行器(SOV)以及可重復(fù)使用運(yùn)載器(RLV)等。

空天再入飛行器的返回過(guò)程可分為原軌道運(yùn)行段、過(guò)渡段和大氣內(nèi)再入飛行段[2]。目前國(guó)內(nèi)外對(duì)再入飛行器返回過(guò)程中的再入飛行段進(jìn)行了大量的研究，主要研究?jī)?nèi)容集中在以下幾個(gè)方面：再入飛行器的再入制導(dǎo)方法[3-4]、再入軌跡的離線優(yōu)化問(wèn)題[5-7]和三自由度再入軌跡的實(shí)時(shí)在線生成技術(shù)[8]。而關(guān)于再入飛行器過(guò)渡段的軌道設(shè)計(jì)問(wèn)題研究較少，許多文獻(xiàn)研究飛行器再入飛行段時(shí)均假定再入點(diǎn)位置和再入?yún)?shù)已知[9-10]。文獻(xiàn)[11-13]在研究氣動(dòng)力輔助軌道轉(zhuǎn)移的離軌階段時(shí)，均采用簡(jiǎn)單的切向脈沖離軌制動(dòng)方法來(lái)確定再入點(diǎn)位置和再入?yún)?shù)，過(guò)渡轉(zhuǎn)移軌道遠(yuǎn)地點(diǎn)為離軌點(diǎn)，近地點(diǎn)在大氣層內(nèi)。文獻(xiàn)[14-15]研究了航天器連續(xù)小推力離軌制動(dòng)的最優(yōu)控制問(wèn)題，但連續(xù)小推力離軌制動(dòng)時(shí)間過(guò)長(zhǎng)，一般不滿足航天器快速返回的任務(wù)需求。文獻(xiàn)[16]在圓軌道情況下分析了依據(jù)初始軌道半徑和可施加的速度脈沖范圍確定最優(yōu)離軌推力角和轉(zhuǎn)移橢圓軌道的方法，但不適用于再入點(diǎn)位置已規(guī)劃好的情況。文獻(xiàn)[17]通過(guò)改變制動(dòng)點(diǎn)的位置，不斷迭代求解Lambert問(wèn)題來(lái)尋找滿足給定再入角和再入位置的過(guò)渡段轉(zhuǎn)移軌道，每改變一次制動(dòng)點(diǎn)位置，均要重新求解一次Lambert問(wèn)題，計(jì)算較為繁瑣，效率不高。

本文針對(duì)再入角和再入點(diǎn)位置給定條件下的空天再入飛行器過(guò)渡段軌道設(shè)計(jì)問(wèn)題，首先推導(dǎo)出由給定再入角解析計(jì)算初始航跡角的公式，進(jìn)而可用初始航跡角由極坐標(biāo)系下的轉(zhuǎn)移軌道速度計(jì)算公式直接求出所需的離軌制動(dòng)脈沖，避免了迭代計(jì)算，在此基礎(chǔ)上，以初始軌道飛行弧段對(duì)應(yīng)的地心角為迭代變量，采用黃金分割法迭代求解出轉(zhuǎn)移時(shí)間最短和燃料消耗最小過(guò)渡軌道對(duì)應(yīng)的制動(dòng)點(diǎn)位置。

1 最優(yōu)過(guò)渡段轉(zhuǎn)移軌道設(shè)計(jì)問(wèn)題

如圖1所示，設(shè)再入飛行器在初始點(diǎn)M收到再入任務(wù)命令，要求以給定的再入角到達(dá)再入點(diǎn)E。再入飛行器并不立即進(jìn)行離軌制動(dòng)，而是沿原軌道飛行一段時(shí)間后，在K點(diǎn)進(jìn)行離軌制動(dòng)，顯然不同的制動(dòng)點(diǎn)K對(duì)應(yīng)的總轉(zhuǎn)移時(shí)間和需要施加的制動(dòng)速度脈沖各不相同，把所需轉(zhuǎn)移時(shí)間最短或燃料消耗最小的制動(dòng)點(diǎn)都稱為最優(yōu)制動(dòng)點(diǎn)。最優(yōu)過(guò)渡段轉(zhuǎn)移軌道設(shè)計(jì)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)就是最優(yōu)制動(dòng)點(diǎn)位置的選擇和制動(dòng)脈沖的求解問(wèn)題。

圖1 最優(yōu)過(guò)渡段軌道設(shè)計(jì)問(wèn)題示意圖

若給定制動(dòng)點(diǎn)位置，且規(guī)定從制動(dòng)點(diǎn)到再入點(diǎn)的轉(zhuǎn)移時(shí)間，則再入飛行器從制動(dòng)點(diǎn)到再入點(diǎn)的軌道轉(zhuǎn)移過(guò)程可以看成Lambert問(wèn)題。但是Lambert問(wèn)題僅僅對(duì)轉(zhuǎn)移時(shí)間有要求，對(duì)飛行器到達(dá)目標(biāo)位置的速度傾角并沒(méi)有進(jìn)行限制，然而對(duì)于再入飛行器來(lái)說(shuō)，再入點(diǎn)處的速度傾角對(duì)飛行器大氣再入段的過(guò)載和熱負(fù)荷起著十分重要的作用，一般在任務(wù)規(guī)劃階段應(yīng)給出確定值，飛行器到達(dá)再入點(diǎn)的速度傾角應(yīng)嚴(yán)格滿足給定值；相反，對(duì)轉(zhuǎn)移飛行時(shí)間并不需要嚴(yán)格規(guī)定為某一定值，只需要在一定的時(shí)間范圍內(nèi)即可。

下面首先研究制動(dòng)點(diǎn)位置、再入角、再入點(diǎn)位置均給定的情況下離軌制動(dòng)脈沖的求解方法，在此基礎(chǔ)上，再討論確定最優(yōu)制動(dòng)點(diǎn)位置的迭代算法。

2 制動(dòng)點(diǎn)給定時(shí)離軌制動(dòng)脈沖的求解方法

2.1 極坐標(biāo)系下軌道方程

以地心為極點(diǎn)，地心到再入飛行器制動(dòng)點(diǎn)的連線為極軸建立極坐標(biāo)系，再入飛行器的運(yùn)動(dòng)可以用極徑r和極角θ表示，如圖2所示。

圖2 極坐標(biāo)示意圖

假設(shè)再入飛行器只受地球引力的作用，則在r1和r2組成的平面內(nèi)，再入飛行器的運(yùn)動(dòng)方程可描述為[18]

(1)

V=

(2)

初始速度脈沖的方向由下式確定

(3)

其中，

(4)

在0<λ<2，λ=2，λ>2三種情況下，由積分式(4)，可得飛行時(shí)間的閉合形式解ft(γ)(具體形式參見(jiàn)文獻(xiàn)[18])，它們分別對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)移軌道形狀為橢圓、拋物線和雙曲線。

2.2 初始航跡角范圍限定

由于再入飛行器攜帶燃料有限，其制動(dòng)速度脈沖有最大值限制，所以制動(dòng)后的速度大小也不會(huì)超過(guò)某一最大值。設(shè)飛行器初始速度大小為V0，制動(dòng)速度脈沖最大值為ΔVmax，當(dāng)制動(dòng)速度脈沖沿初始速度方向時(shí)，制動(dòng)后所能達(dá)到的最大速度為

Vmax=V0+ΔVmax

(5)

在式(2)中，將V對(duì)γ求導(dǎo)并令導(dǎo)數(shù)為0，可得極點(diǎn)

(6)

(7)

求解上式中的γ，可得最大制動(dòng)速度對(duì)應(yīng)的2個(gè)極限速度傾角為

(8)

(9)

其中，

Δ=k4sin2θf(wàn)-(1-cosθf(wàn))2+

2.3 由給定再入角解析求解初始航跡角

由2.1節(jié)可知，若已知制動(dòng)點(diǎn)位置、再入點(diǎn)位置和初始航跡角，便可求出到達(dá)再入點(diǎn)所需的初始速度和轉(zhuǎn)移時(shí)間，進(jìn)一步可得到再入飛行器到達(dá)再入點(diǎn)時(shí)的速度和再入角。因此再入角可以看作是關(guān)于初始航跡角的函數(shù)，下面推導(dǎo)再入角關(guān)于初始航跡角的關(guān)系式。

(10)

在r1處，由能量守恒定理可得轉(zhuǎn)移軌道半長(zhǎng)軸

(11)

在r2處，由能量守恒定理有

(12)

將式(11)帶入式(12)可得

(13)

將式(13)帶入式(10)，可得再入角γf關(guān)于初始速度傾角γ的函數(shù)關(guān)系式

γf=fγ(γ)

(14)

圖3 再入角-航跡角關(guān)系曲線

在滿足初始航跡角限制時(shí)，再入角關(guān)于初始航跡角的函數(shù)曲線形狀可能出現(xiàn)如圖4所示的3種情況：?jiǎn)握{(diào)增，單調(diào)減，先單調(diào)增后單調(diào)減。對(duì)于單調(diào)增和單調(diào)減的情況，如果給定再入角，可能存在唯一的初始航跡角，使再入飛行器到達(dá)再入點(diǎn)時(shí)滿足給定的再入角要求，也可能不存在滿足要求的初始航跡角；對(duì)于先單調(diào)增后單調(diào)減的情況，則可能有3種結(jié)果： 存在唯一的初始航跡角、存在2個(gè)初始航跡角或不存在滿足給定再入角要求的初始航跡角。

圖4 航跡角限制下的再入角-航跡角關(guān)系曲線

對(duì)于上述由已知再入角求解初始航跡角的問(wèn)題，直觀的想法是先確定一個(gè)隔根區(qū)間，然后迭代求解方程γf=fγ(γ)的根，但是下面經(jīng)過(guò)推導(dǎo)發(fā)現(xiàn)式(14)可化為關(guān)于tanγ的一元二次方程形式，從而可獲得γ的解析解，避免了求解γ值的迭代計(jì)算。

2、基于當(dāng)下開(kāi)始普及流行的 HTML5，Web App可以實(shí)現(xiàn)很多原本Native App才可以實(shí)現(xiàn)的功能，比如 Canvas、本地離線存儲(chǔ)等；

(15)

將式(2)和(13)帶入上式，經(jīng)化簡(jiǎn)整理可得

acos2γ+bcosγsinγ+c=0

(16)

將式(16)進(jìn)一步整理為關(guān)于tanγ的一元二次方程形式

ctan2γ+btanγ+a+c=0

(17)

解上述方程可得求解γ的解析公式

(18)

特別地，當(dāng)γf=0時(shí)，方程有唯一實(shí)根

(19)

此時(shí)γ值對(duì)應(yīng)圖2中曲線的頂點(diǎn)。

2.4 離軌制動(dòng)脈沖求解步驟

綜上，將再入飛行器在制動(dòng)點(diǎn)位置、再入角和再入點(diǎn)位置均給定的情況下解析求解離軌制動(dòng)脈沖的步驟歸納如下：

1)根據(jù)變軌速度增量限制由式(8)和(9)求解初始航跡角范圍[γmin,γmax]；

2)將制動(dòng)點(diǎn)位置r1、再入點(diǎn)位置r2、地心角θf(wàn)、給定再入角γf帶入式(18)，求解初始航跡角；

3)將初始航跡角值γ1和γ2與步驟1)求解出的航跡角范圍進(jìn)行比較，若γ1和γ2有1個(gè)值位于區(qū)間[γmin,γmax]內(nèi)，則該值即為所求；若γ1和γ2均位于限制區(qū)間內(nèi)，由文獻(xiàn)[19]可知轉(zhuǎn)移飛行時(shí)間隨初始航跡角單調(diào)遞增，較小的初始航跡角對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)移軌道所需轉(zhuǎn)移時(shí)間較少，因此可選擇較小的初始航跡角作為求解結(jié)果；若γ1和γ2均位于限制區(qū)間外，則不存在滿足要求的解；

4)將步驟3)所求的初始航跡角帶入式(2)～(4)，求得所需初始速度矢量V和轉(zhuǎn)移時(shí)間，進(jìn)而求解離軌速度脈沖矢量ΔV=V-V0，其中V0為制動(dòng)點(diǎn)處原軌道速度矢量。

3 最優(yōu)過(guò)渡段軌道的確定

在以上求解制動(dòng)脈沖問(wèn)題的討論中，假設(shè)再入飛行器的制動(dòng)點(diǎn)是給定的，但在實(shí)際工程中，考慮到過(guò)渡段時(shí)間與能量的限制有必要對(duì)過(guò)渡段的軌道設(shè)計(jì)進(jìn)行尋優(yōu)，即確定最優(yōu)制動(dòng)點(diǎn)的位置。在得到最優(yōu)制動(dòng)點(diǎn)位置后，由上節(jié)給出的方法求得該制動(dòng)點(diǎn)處的制動(dòng)速度脈沖，便可完成最優(yōu)過(guò)渡段軌道的設(shè)計(jì)。下面分別討論最短轉(zhuǎn)移時(shí)間和最小燃料消耗制動(dòng)點(diǎn)的求解方法。

3.1 最短轉(zhuǎn)移時(shí)間制動(dòng)點(diǎn)求解

1)置初始區(qū)間[θmin,θmax]=[0,θME]及精度要求ε>0，計(jì)算試探點(diǎn)λ1，μ1，計(jì)算函數(shù)值tME(λ1)，tME(μ1)，其中試探點(diǎn)計(jì)算公式為

λ1=θmin+0.382(θmax-θmin)

(20)

μ1=θmin+0.618(θmax-θmin)

(21)

2)若θmax-θmin<ε，則停止計(jì)算，取最優(yōu)值θMK=(θmin+θmax)/2。否則，當(dāng)tME(λ1)>tME(μ1)時(shí)， 轉(zhuǎn)步驟3)；當(dāng)tME(λ1)≤tME(μ1)時(shí)，轉(zhuǎn)步驟4)。

3)置θmin=λ1，λ1=μ1，μ1=θmin+0.618(θmax-θmin)，計(jì)算函數(shù)值tME(μ1)，轉(zhuǎn)步驟2)；

4)置θmax=μ1，μ1=λ1，λ1=θmin+0.382(θmax-θmin)，計(jì)算函數(shù)值tME(λ1)，轉(zhuǎn)步驟2)。

3.2 最小燃料消耗制動(dòng)點(diǎn)求解

4 仿真算例

設(shè)再入飛行器初始時(shí)刻位于軌道傾角i0=0°的近地圓軌道上，軌道高度為400km，初始點(diǎn)M的經(jīng)度φM=30°，緯度φM=0°。再入點(diǎn)在地心慣性系中的經(jīng)度、緯度、高度分別為φE=120°，φE=5°，hE=120km，且滿足給定再入角γE=-6.0°。再入飛行器離軌制動(dòng)速度脈沖限制ΔVmax=2000m/s，黃金分割法的迭代精度ε=0.01°。

最短轉(zhuǎn)移時(shí)間過(guò)渡軌道設(shè)計(jì)結(jié)果如表1所示，最小燃料消耗過(guò)渡軌道設(shè)計(jì)結(jié)果如表2所示。圖5為再入飛行器在地心慣性系OXYZ中的過(guò)渡段飛行軌跡，圖中M為初始點(diǎn)，E為再入點(diǎn)，K1為最短轉(zhuǎn)移時(shí)間制動(dòng)點(diǎn)，K2為最小燃料消耗制動(dòng)點(diǎn)。

表1 最短轉(zhuǎn)移時(shí)間制動(dòng)點(diǎn)設(shè)計(jì)參數(shù)

表2 最小燃料消耗制動(dòng)點(diǎn)設(shè)計(jì)參數(shù)

圖5 再入飛行器過(guò)渡段飛行軌跡

在本仿真算例中，由最短轉(zhuǎn)移時(shí)間過(guò)渡軌道設(shè)計(jì)結(jié)果可知，θMK數(shù)值很小，可以近似認(rèn)為制動(dòng)點(diǎn)與初始點(diǎn)位置相同，制動(dòng)速度脈沖大小為1491.70m/s，總體轉(zhuǎn)移時(shí)間1173.12s。對(duì)于最省燃料設(shè)計(jì)結(jié)果，θMK為42.9161°，制動(dòng)速度脈沖大小為1037.64m/s，總體轉(zhuǎn)移時(shí)間為1424.33s。軌道設(shè)計(jì)算法在CPU為3.0GHz的微機(jī)配置下，由Matlab編程實(shí)現(xiàn)，2種軌道設(shè)計(jì)結(jié)果分別僅耗時(shí)2.55ms和5.51ms，說(shuō)明算法具有很高的實(shí)時(shí)性。

5 結(jié)論

針對(duì)空天再入飛行器最優(yōu)過(guò)渡段軌道設(shè)計(jì)問(wèn)題，提出了一種求解離軌制動(dòng)脈沖解析算法，并給出了確定最優(yōu)制動(dòng)點(diǎn)位置的一種迭代算法。從再入角關(guān)于初始航跡角的函數(shù)關(guān)系式出發(fā)，推導(dǎo)出由已知再入角求解初始航跡角的解析公式，進(jìn)而由得到的初始航跡角計(jì)算離軌制動(dòng)脈沖，避免了迭代計(jì)算，保證了算法的實(shí)時(shí)性。以初始軌道飛行弧段對(duì)應(yīng)的地心角為迭代變量，采用黃金分割法迭代求解了最短轉(zhuǎn)移時(shí)間和最省燃料制動(dòng)點(diǎn)位置。通過(guò)仿真算例證明了算法的可行性和較強(qiáng)的實(shí)時(shí)性，該算法對(duì)于天地往返的空天飛行器或天基再入對(duì)地打擊武器等的過(guò)渡段軌道設(shè)計(jì)具有很高的參考應(yīng)用價(jià)值。

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Research on Optimal Transition Trajectory Planning for Reentry Vehicle

GUO Fuming GAO Xiaoguang DUAN Junhong

School of Electronic and Information Technology，Northwestern Polytechnical University，Xi’an 710129，China

Amethodoftheoptimaltransitiontrajectoryplanningisproposedfortheproblemofplanningthetransitiontrajectoryofthereentryvehicleonconditionthatthereentrylocationandreentryanglearefixed.Firstly,onconditionofagivenbrakingposition,theconstraintofthevelocityincrementistransformedintoflyoutangleinterval.Secondly,theformulatocalculatetheflyoutanglebyusingknownreentryangleisderived,andthenthede-orbitthrustandthetransfertimecanbecalculated.Finally,theoptimalbrakingpositionsoftheoptimaltransfertimeandtheoptimalfuelconsumingarecalculatediteratively.Thesimulationresultapprovesthatthemethodproposedissimpleandhighreal-time,whichpossesseshighapplicationvalueforthechoiceofthebrakingpositionandthede-orbitthrustcalculationofreentryvehicle.

Transitiontrajectory；De-orbitthrust；Reentryangle；Optimalbrakingposition

2013-09-10

郭付明(1987-)，男，河南鶴壁人，碩士研究生，主要研究方向?yàn)橄冗M(jìn)火力控制技術(shù)；高曉光(1957-)，女，遼寧鞍山人，博士，教授，主要研究方向?yàn)楹娇瘴淦飨到y(tǒng)效能分析與先進(jìn)火力控制技術(shù)；端軍紅(1983-)，男，河北邢臺(tái)人，博士研究生，主要研究方向?yàn)橄冗M(jìn)火力控制技術(shù)。

1006-3242(2014)04-0069-06

V448.235

A