(Pa-U)模型下的二行動線性決策的貝葉斯假設(shè)檢驗

王燕飛，楊沐華

(1.吉林化工學(xué)院理學(xué)院，吉林吉林132022;2.吉林石化公司乙二醇廠，吉林吉林132022)

由式(1)及(3)，行動a2的后驗風(fēng)險為

關(guān)于假設(shè)檢驗問題，經(jīng)典統(tǒng)計只研究了正態(tài)總體的情況.這種局限性主要是由于其需要構(gòu)造樞軸量及涉及的抽樣分布的復(fù)雜性.因此，對于總體分布為非正態(tài)分布時，經(jīng)典統(tǒng)計就無能為力了.而貝葉斯統(tǒng)計恰好彌補了這個缺憾.在貝葉斯統(tǒng)計中，只要給出先驗分布和總體分布形式，后驗分布總是容易求得的.基于后驗分布的貝葉斯假設(shè)檢驗問題就相對應(yīng)用較廣.對于這一類問題，已經(jīng)有些研究者得出了一些研究成果.文獻［1］對比了貝葉斯統(tǒng)計與經(jīng)典統(tǒng)計的方法.文獻［2］推出了新的二項分布的貝葉斯假設(shè)檢驗方法.文獻［3］研究了總體為幾何分布，負二項分布，威布爾分布和瑞利分布的未知參數(shù)的貝葉斯假設(shè)檢驗問題.文獻［4］研究了三類非正態(tài)總體指數(shù)分布、二項分布和泊松分布的未知參數(shù)的貝葉斯假設(shè)檢驗，給出了相應(yīng)的否定域.

無論貝葉斯決策論，還是經(jīng)典決策論都認為，狀態(tài)集Θ ={θ}，行動集A={a}和損失函數(shù)L(θ，a)是描述決策問題的3個基本要素.但兩種決策論主要有2點不同:1.經(jīng)典決策問題只利用抽樣信息，而貝葉斯決策問題除了利用抽樣信息以外，還用先驗信息;2.在做決策時兩種決策論所定義的期望損失不同.經(jīng)典決策論中定義的是風(fēng)險函數(shù)，即損失函數(shù)對樣本分布的期望值.而貝葉斯決策論中，分別利用先驗分布和后驗分布計算期望損失，即先驗期望損失和后驗期望損失(后驗風(fēng)險).貝葉斯假設(shè)檢驗問題實質(zhì)上也是一類決策問題.

在貝葉斯決策問題中，如果先驗分布，總體分布形同，但損失函數(shù)不同，那么所得到的決策問題仍不同.在實際應(yīng)用中，我們經(jīng)常會遇到總體服從均勻分布的情況.而帕累托分布可用來描述諸如個人收入、某種藥理過程后病人的存活時間等，被廣泛地應(yīng)用于經(jīng)濟學(xué)、保險損失、網(wǎng)絡(luò)流建模、可靠性研究等領(lǐng)域，非常具有研究價值.本文研究了在總體分布為均勻分布，先驗分布為帕累托分布的(Pa-U)模型下，對二行動線性決策問題作出貝葉斯假設(shè)檢驗的分析.這對于經(jīng)營管理者作出較為合理的決策提供了統(tǒng)計依據(jù).

1(Pa-U)模型

后驗分布綜合了先驗信息，總體信息，樣本信息3種信息，貝葉斯的統(tǒng)計推斷和統(tǒng)計決策問題都是基于后驗分布進行分析的.

2 (Pa-U)模型的二行動線性決策的貝葉斯假設(shè)檢驗

2.1 二行動線性決策的假設(shè)檢驗

設(shè)有H0:θ＞θ0，H1:θ≤θ0兩個假設(shè)，兩個行動a1，a2:a1表示接受H0的行動，a2表示接受H1的行動.即決策者認為，如果θ＞θ0，行動a1適宜;如果θ≤θ0，則行動a2最好.狀態(tài)θ可以是離散或連續(xù)的;收益函數(shù)對每個行動都是狀態(tài)參數(shù)的線性函數(shù).即收益函數(shù)

不妨設(shè)m1＞m2，b1＜b2，保證θ0＞0.若m1＜m2，將a1與a2互換即可.

根據(jù)公式，有:行動ai的損失函數(shù)為L(θ，ai)=maax Q(θ，a)-Q(θ，ai)，得:

2.2 (Pa-U)模型的假設(shè)檢驗

即后驗風(fēng)險表示把損失函數(shù)L(θ，a)對后驗分布π(θ|x)求期望，是用后驗分布求得的平均損失［5］.它在樣本x給定下，不同的行動a有不同的后驗風(fēng)險.而在行動a固定下，樣本x的變化也會使后驗風(fēng)險隨之變化.對于決策者來說，我們希望找到最有行動，使得后驗風(fēng)險達到最小.

由式(1)及(2)，行動a1的后驗風(fēng)險為

由式(1)及(3)，行動a2的后驗風(fēng)險為

當(dāng)θ0≤ c時，

同理，行動 a1的后驗風(fēng)險為 R(a1|x)=Eθ|xL(θ，a1)=0，

行動a2的后驗風(fēng)險為

由于R(a1|x)＜R(a2|x)，故應(yīng)當(dāng)接受H0，認為θ＞θ0，行動a1更好.

對于決策者來說，如果認定總體X服從均勻分布，通過先驗信息確定未知參數(shù)θ為帕累托分布，那么只要知道收益函數(shù)的平衡點θ0與c=max{α，x(n)}及n，β的值，就能得到相應(yīng)的檢驗結(jié)果，從而采取相應(yīng)的行動.而后驗風(fēng)險可以作為做決策的量化分析，通過其大小來衡量是否值得作出該決策，或者說，如果兩個行動的后驗風(fēng)險相差不多時，考慮更加節(jié)約成本，獲利更大的決策更佳.

3 實 例

某美術(shù)廠與外單位商談一批美術(shù)品繪制任務(wù).若繪制成功，每張美術(shù)作品可得800元;若繪制不成，每張要賠償損失1 600元.為了決定是否接受該訂單，廠長希望企劃部門作出有理有據(jù)的決策，故進行如下調(diào)查.假設(shè)廢品率X～U(0，θ).而根據(jù)該廠的技術(shù)力量估計θ～Pa(α，β).α=0.2，β=1.抽取過去10 年作品得到廢品率分別為x1=0.1，x2=0.1，x3=0.05，x4=0.25，x5=0.04，x6=0.15，x7=0.13，x8=0.03，x9=0.04，x10=0.06.故 n=10，c=max{α，x10}=max{0.2，0.25}=0.25.設(shè) H0:θ＞ θ0，H1:θ≤θ0.a1:接受H0，則不接單，a2:接受H1，則接單.每張美術(shù)作品收益函數(shù)為

［1］張靜.貝葉斯假設(shè)檢驗有經(jīng)典假設(shè)檢驗的對比研究［J］.統(tǒng)計與決策，2012(9):36-37.

［2］賈旭山，金振中.二項分布貝葉斯假設(shè)檢驗方法［J］.現(xiàn)代防御技術(shù)，2008，36(5):37-40.

［3］姜培華，范國良.幾種非正態(tài)總體參數(shù)的貝葉斯假設(shè)檢驗問題［J］.南通大學(xué)學(xué)報，2013，12(1):82-86.

［4］楊興瓊，張德然，周偉萍.一類非正態(tài)總體未知參數(shù)的Bayes假設(shè)檢驗［J］.綿陽師范學(xué)院學(xué)報，2007，26(8):14-16.

［5］茆詩松.貝葉斯統(tǒng)計［M］.北京:中國統(tǒng)計出版社，1999.