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    拉格朗日力學(xué)逆問(wèn)題和量綱分析

    2018-03-23 08:13:15丁光濤
    關(guān)鍵詞:量綱諧振子拉格朗

    丁光濤

    (安徽師范大學(xué) 物理與電子信息學(xué)院,安徽 蕪湖 24100)

    引 言

    拉格朗日力學(xué)逆問(wèn)題研究力學(xué)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程能否表示成為拉格朗日方程形式,或者說(shuō),能否從哈密頓變分原理導(dǎo)出,這種研究開(kāi)拓了傳統(tǒng)分析力學(xué)的研究領(lǐng)域,將一些非保守系統(tǒng)納入了拉格朗日系統(tǒng);突破了傳統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)框架,提出非標(biāo)準(zhǔn)拉格朗日函數(shù)的概念。分析力學(xué)自身也因逆問(wèn)題研究而產(chǎn)生新的課題,如非保守系統(tǒng)的正則化問(wèn)題,拉格朗日函數(shù)的等效性問(wèn)題,進(jìn)而在物理學(xué)中也推動(dòng)了新課題的研究,如耗散系統(tǒng)的量子化問(wèn)題,場(chǎng)論中的逆問(wèn)題等。這種逆問(wèn)題研究的進(jìn)展推動(dòng)了應(yīng)用分析力學(xué)理論和方法來(lái)處理微分方程問(wèn)題,而在當(dāng)代自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)中建立以微分方程模型為代表的數(shù)學(xué)模型,是普遍應(yīng)用的重要研究方法,因此,逆問(wèn)題的成果可以也應(yīng)當(dāng)應(yīng)用到許多不同的學(xué)科研究中[1-6]。逆問(wèn)題研究中一個(gè)重要方面是拉格朗日函數(shù)的構(gòu)造方法,這個(gè)方面已經(jīng)取得很多的成果,值得強(qiáng)調(diào)的是許多方法與微分方程的第一積分相關(guān)[7-11]。

    通常將拉格朗日力學(xué)逆問(wèn)題稱為變分法逆問(wèn)題,兩者不加區(qū)別,這反映逆問(wèn)題研究中的一種普遍傾向,即重視問(wèn)題的數(shù)學(xué)方面,而忽視其物理方面,其實(shí)應(yīng)當(dāng)重視拉格朗日力學(xué)逆問(wèn)題研究中的物理意義,它不是純粹的數(shù)學(xué)問(wèn)題。本文以諧振子和線性阻尼振子為例來(lái)說(shuō)明上述觀點(diǎn),為了使討論簡(jiǎn)單明晰,下面只以量綱來(lái)代表問(wèn)題的物理方面,第一節(jié)給出量綱理論的簡(jiǎn)要回顧[12,13];第二節(jié)給出諧振子運(yùn)動(dòng)方程、第一積分,以及相應(yīng)的拉格朗日函數(shù)和哈密頓函數(shù),并討論相關(guān)的量綱問(wèn)題;第三節(jié)討論線性阻尼振子的對(duì)應(yīng)問(wèn)題;第四節(jié)是小結(jié)和討論。

    1 量綱及其法則要點(diǎn)

    物理學(xué)中存在諸多不同的物理量,可以分成基本量和導(dǎo)出量,在確定了單位制后,一個(gè)導(dǎo)出量能夠用若干個(gè)基本量的乘方之積表示出來(lái),這個(gè)表達(dá)式稱為該物理量的量綱式。量綱是物理學(xué)中的一個(gè)重要問(wèn)題,可以表征物理量的性質(zhì)(類別),如力學(xué)中的時(shí)間、長(zhǎng)度、質(zhì)量、動(dòng)量、能量等。量綱分析是物理科學(xué)中一種重要的研究方法,它根據(jù)一切量所必須具有的形式來(lái)分析判斷事物間數(shù)量關(guān)系所遵循的一般規(guī)律,簡(jiǎn)而言之,就是可以在量綱法則的原則下,分析和探求物理量之間關(guān)系。通過(guò)量綱分析可以檢查反映物理現(xiàn)象規(guī)律的方程在計(jì)量方面是否正確,甚至可提供尋找物理現(xiàn)象某些規(guī)律的線索,以指導(dǎo)在物理領(lǐng)域中建立數(shù)學(xué)模型或進(jìn)行實(shí)驗(yàn)?;镜牧烤V法則有兩條:1.只有量綱相同的物理量,才能彼此相加、相減和相等;2.指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的宗量量綱應(yīng)當(dāng)為1。量綱法則是量綱分析的基礎(chǔ), 對(duì)力學(xué)和物理學(xué)問(wèn)題,若導(dǎo)出的公式不符合量綱法則,該式必然是錯(cuò)誤的。下面從基本的量綱法則出發(fā),討論拉格朗日力學(xué)逆問(wèn)題的物理意義,而且討論局限于力學(xué)范圍內(nèi),基本量?jī)H有時(shí)間、長(zhǎng)度和質(zhì)量。

    2 諧振子第一積分和拉格朗日函數(shù)的量綱分析

    質(zhì)量m的小球和倔強(qiáng)系數(shù)k的彈簧構(gòu)成的諧振子,其運(yùn)動(dòng)微分方程為

    (1)

    通常將上述方程改寫(xiě)為

    (2)

    (3)

    與之對(duì)應(yīng)的拉格朗日函數(shù)是

    (4)

    從數(shù)學(xué)上,還可以構(gòu)造其它積分,包括與時(shí)間無(wú)關(guān)的積分,如

    (5)

    下面利用文獻(xiàn)[15]中錢(qián)德拉塞卡等提出的方法,從I2構(gòu)造振子的拉格朗日函數(shù)。設(shè)對(duì)應(yīng)的拉格朗日函數(shù)為L(zhǎng)2,由于I2與時(shí)間無(wú)關(guān),直接取作雅可比積分,即存在如下關(guān)系式

    (6)

    進(jìn)而導(dǎo)出

    解出p2后,代入式(6),即得到待求的拉格朗日函數(shù)

    (7)

    文獻(xiàn)[18]對(duì)這種方法進(jìn)行了研究,說(shuō)明其理論基礎(chǔ)是諾特定理的逆問(wèn)題,同時(shí)指出這種方法存在局限性。對(duì)式(6)I2進(jìn)行上述程序的運(yùn)算后,得到

    (8)

    (9)

    上面諧振子的兩個(gè)拉格朗日函數(shù),如果從物理意義方面分析,例如,從基本的量綱法則分析,則可以表明第一個(gè)解是符合量綱法則的,I1和L1的量綱是能量量綱,L1是標(biāo)準(zhǔn)形式的拉格朗日函數(shù),它對(duì)時(shí)間積分的量綱是作用量量綱。但是,第二個(gè)解在物理上是存在問(wèn)題的,首先,I2表達(dá)式不符合量綱法則,對(duì)數(shù)函數(shù)的宗量量綱不是1,即不是無(wú)量綱的,而是具有能量量綱;p2的量綱不是通常的力學(xué)動(dòng)量量綱;L2是非標(biāo)準(zhǔn)形式的拉格朗日函數(shù),其表達(dá)式前一項(xiàng)量綱為1的純數(shù),而后一項(xiàng)是能量量綱宗量的對(duì)數(shù),它對(duì)時(shí)間的積分不具有力學(xué)(物理學(xué))作用量的量綱,這就是說(shuō),在傳統(tǒng)的力學(xué)(物理學(xué))意義上,第二個(gè)解是不符合要求的。

    根據(jù)第一個(gè)解,諧振子哈密頓函數(shù)為

    (10)

    在此基礎(chǔ)上,可以進(jìn)一步討論諧振子量子化。但是,根據(jù)第二個(gè)解,導(dǎo)出的諧振子的哈密頓函數(shù)為

    (11)

    顯然,它不符合量綱法則,也不可能由此討論系統(tǒng)的量子化。

    3 線性阻尼振子第一積分和拉格朗日函數(shù)的量綱分析

    考慮存在阻尼的情況,一維線性阻尼振子的運(yùn)動(dòng)微分方程為

    (12)

    可以得到振子的兩個(gè)積分[15-17]

    (13)

    (14)

    (15)

    從積分I3和I4構(gòu)造出對(duì)應(yīng)的拉格朗日函數(shù)分別是

    (16)

    (17)

    從方程(12)可確定β,ω0以及ω的量綱都是[T-1],顯然,積分I3和拉格朗日函數(shù)L3的表達(dá)式都是符合量綱法則的,它們的量綱與能量量綱相同(m=1)。但是,積分I4和拉格朗日函數(shù)L4的表達(dá)式不符合量綱法則,這兩個(gè)表達(dá)式中一項(xiàng)是量綱為1的純數(shù),另一項(xiàng)是對(duì)數(shù)函數(shù),其宗量卻具有能量量綱。L3是標(biāo)準(zhǔn)形式的拉格朗日函數(shù),對(duì)應(yīng)的哈密頓函數(shù)為

    (18)

    式中廣義動(dòng)量為

    (19)

    L4是非標(biāo)準(zhǔn)形式的拉格朗日函數(shù),對(duì)應(yīng)的哈密頓函數(shù)和廣義動(dòng)量為

    H4=-ln[ωxsec(ωxp4)]+βxp4

    (20)

    (21)

    顯然,H4的表達(dá)式不符合量綱法則,p2量綱也與標(biāo)準(zhǔn)的動(dòng)量量綱不同。討論阻尼振子的量子化,可以從式(18)出發(fā),卻不能從式(20)出發(fā)。但是應(yīng)該指出,這種不符合物理法則的結(jié)果,在數(shù)學(xué)上仍然是有用的,文獻(xiàn)[15]表明從這種形式的哈密頓函數(shù)出發(fā),利用分析力學(xué)的理論和方法,能夠得到方程(12)的解。

    4 結(jié)束語(yǔ)

    上面以諧振子和線性阻尼振子為例,討論了從運(yùn)動(dòng)方程到運(yùn)動(dòng)積分,再到拉格朗日函數(shù)和哈密頓函數(shù),這樣的求解逆問(wèn)題過(guò)程。值得注意的是,如果僅從數(shù)學(xué)方面來(lái)考慮,將上述諧振子方程(2)和線性阻尼振子方程(12)看作純粹的微分方程,那么上面導(dǎo)出的第一積分、拉格朗日函數(shù)、哈密頓函數(shù)、動(dòng)量的數(shù)學(xué)表達(dá)式等等都是容許的,不僅能夠利用這樣的拉格朗日函數(shù)和哈密頓函數(shù)導(dǎo)出運(yùn)動(dòng)微分方程,而且利用分析力學(xué)的方法能夠得到方程的解,事實(shí)上這種方法已經(jīng)推廣到求解更為復(fù)雜的微分方程[15,19]。但是,從力學(xué)(物理學(xué))方面來(lái)看,所有數(shù)學(xué)表達(dá)式,無(wú)論是定義式,還是方程式,其中出現(xiàn)的量都應(yīng)當(dāng)有確切的物理意義,這些數(shù)學(xué)表達(dá)式都應(yīng)當(dāng)遵循一般的物理規(guī)律。量綱法則是超越具體物理過(guò)程的基本物理規(guī)律,適合利用這個(gè)法則來(lái)檢驗(yàn)討論中的數(shù)學(xué)表達(dá)式,檢驗(yàn)的結(jié)果表明有些表達(dá)式是違背量綱法則的,上面指出從這種結(jié)果不具有物理意義,不能討論量子化問(wèn)題。

    我們認(rèn)為,對(duì)于討論逆問(wèn)題時(shí)出現(xiàn)的數(shù)學(xué)方法與物理意義之間的矛盾應(yīng)當(dāng)重視,在處理力學(xué)(物理學(xué))問(wèn)題時(shí),不能輕易突破物理規(guī)律的制約,而是應(yīng)當(dāng)在利用數(shù)學(xué)方法導(dǎo)出的結(jié)果中,有所鑒別和選擇,或者說(shuō),在運(yùn)用多種不同的數(shù)學(xué)方法處理實(shí)際力學(xué)(物理學(xué))問(wèn)題時(shí),必須重視物理意義的分析和物理規(guī)律的論證,即使在用數(shù)學(xué)方法處理實(shí)際力學(xué)(物理學(xué))問(wèn)題時(shí),不能每一步都滿足物理規(guī)律,不能每一個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式都具有確定的物理意義,但最后結(jié)果卻要回到力學(xué)(物理學(xué))上來(lái)。

    根據(jù)上述分析,我們認(rèn)為通常將拉格朗日力學(xué)逆問(wèn)題等同于變分法逆問(wèn)題的看法值得商榷,這兩種逆問(wèn)題提法實(shí)質(zhì)上是存在區(qū)別的,前者是物理學(xué)(力學(xué))中的理論和方法,必須同時(shí)遵循數(shù)學(xué)規(guī)律和物理規(guī)律,而后者是數(shù)學(xué)中的理論和方法,只需要遵循數(shù)學(xué)規(guī)律,不必討論其物理意義;換句話說(shuō),前者是后者的一部分。最后指出,除了逆問(wèn)題研究外,在力學(xué)研究中還存在著其它數(shù)學(xué)方法與物理意義相悖的問(wèn)題,我們都應(yīng)當(dāng)進(jìn)一步討論。

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