初中數(shù)學(xué)課堂學(xué)生探索活動之管見

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(湖州第四中學(xué)教育集團 浙江湖州 313000)

《國家中長期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要》的戰(zhàn)略主題是堅持以人為本、全面實施素質(zhì)教育.其核心是解決好培養(yǎng)什么人、怎樣培養(yǎng)人的重大問題，明確指出了要著力提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力、實踐能力、創(chuàng)新能力.而我們提出的初中數(shù)學(xué)“三力”發(fā)展型課堂就是在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中以數(shù)學(xué)內(nèi)容為載體，利用相關(guān)素材和情景，在教學(xué)設(shè)計、課堂組織過程和課堂練習(xí)等方面構(gòu)建發(fā)展學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力、動手實踐能力和探索創(chuàng)新能力相結(jié)合的課堂教學(xué)模式.

1 問題的提出

有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是學(xué)生通過觀察、模仿、實驗、猜想等手段，通過自主探索和合作交流的過程,真正理解和掌握數(shù)學(xué)知識與技能.目前，探索活動也積極充盈著我們的數(shù)學(xué)課堂，不過在探索活動的組織過程中還存在不少問題:其一,有些教師過分強調(diào)短期成績效應(yīng)，反復(fù)操練，課堂中缺乏對探索環(huán)境的創(chuàng)設(shè)，久而久之，影響學(xué)生的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)新能力;其二,有些教師在課堂中會忽視學(xué)生的年齡特征，出現(xiàn)了過分夸大學(xué)生自主學(xué)習(xí)的現(xiàn)象，使學(xué)生的探索學(xué)習(xí)得不到及時解釋與補充，導(dǎo)致探索能力停滯不前;其三,不少課堂的探索活動流于形式，沒有豐富的探究空間，導(dǎo)致學(xué)生的探索能力得不到最大限度的發(fā)揮與提升.

這3個弊端導(dǎo)致學(xué)生在學(xué)習(xí)活動中的自主性、主動性和創(chuàng)造性受到壓抑.《數(shù)學(xué)課程標準》強調(diào)要“培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識、實踐能力”，而學(xué)生的探索熱情需要教師激發(fā).筆者通過長期實踐,認為初中數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生探索活動的組織與指導(dǎo)應(yīng)把握以下幾個策略.

2 “三力”發(fā)展型課堂中學(xué)生探索活動的組織策略

2.1 營造問題情境，創(chuàng)設(shè)基點

《數(shù)學(xué)課程標準》強調(diào)要讓學(xué)生在現(xiàn)實中和已有知識的基礎(chǔ)上體驗和理解數(shù)學(xué)知識.基于這一理念，越來越多的教師開始重視情境創(chuàng)設(shè)，這也成為課堂教學(xué)中的一個新亮點.好的問題情境，能讓學(xué)生在這一環(huán)境下產(chǎn)生強烈探究、學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力，積極投入到自主探索、合作交流的氛圍中.下面以一節(jié)筆者開設(shè)的公開課“特殊平行四邊形專題復(fù)習(xí)”為例，進行具體闡述.

圖1

師:如圖1,已知平行四邊形ABCD紙片,如何用剪刀剪一刀,將這個紙片分成面積相等的2個部分?

生1:沿著對角線AC剪.

生2:沿著對角線BD剪也一樣.

師:能說明理由嗎?

生2:因為平行四邊形對邊平行且相等,所以這2個三角形是等底同高的,當然它們也是全等的.

師:表述得很完整.那么,還有其他不同的剪法嗎?

生3:也可沿著對邊中點的連線剪.

生4:只要沿著任何過對角線交點的直線剪都是可以的.

師:你能解釋一下嗎?

(顯示圖1中的直線EF.)

生4:平行四邊形的對角線互相平分.如圖1,若此直線交對邊于點E,F,則容易證明△AOF≌△COE,這樣四邊形AFED的面積就等于△ADC的面積,也就等于平行四邊形面積的一半.

師:解釋得真好,確實如此.那為什么平行四邊形會有這么美妙的結(jié)論呢?

生(齊答):因為它是一個中心對稱圖形.

師:很好!平行四邊形的本質(zhì)就是中心對稱,因此我們?nèi)菀椎玫綄呄嗟?、對角相等、三角形全等等性質(zhì),進而也能得到圖形之間的面積關(guān)系.下面就讓我們圍繞對稱這個線索進行更深入的探討.

在這個情境中，筆者以一個簡單的問題入手，使學(xué)生迅速進入學(xué)習(xí)狀態(tài)，而對方法背后的本質(zhì)探討，凸顯了本堂課的認知線索，也激發(fā)了學(xué)生進一步探究的興趣和欲望.

2.2 展現(xiàn)活動軌跡，立足起點

教學(xué)的過程不是讓知識在學(xué)生的頭腦中進行簡單地復(fù)制，而是數(shù)學(xué)知識的生成和生長過程.“如何引發(fā)知識生成，促使學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)產(chǎn)生波瀾，誘發(fā)學(xué)生通過自主探索解決問題的心理向往”是引導(dǎo)學(xué)生進行探索的起點所在.如“特殊平行四邊形專題復(fù)習(xí)”這一課：

2.2.1 引例——低起點

探索過程要給予學(xué)生時間與空間，但也不能天馬行空，學(xué)生會找不到方向，無路可想，無法可依.在給出變式題之前，筆者設(shè)置了一個引例，既鞏固新知，也為下面的問題埋下伏筆，可謂是低起點、深立意.

圖2

如圖2,已知平行四邊形ABCD,M是對角線BD上一點,EH∥AB,FG∥AD.若四邊形AGME的面積為5,則四邊形MHCF的面積是多少?

生:四邊形ABCD是平行四邊形,BD為對角線,從而S△ADB=S△DCB.又EH∥AB,FG∥AD,由平行線的傳遞性可得AB∥CD∥EH,AD∥BC∥FG,這樣就得到了平行四邊形DEMF,MGBH.再利用對角線平分面積,得到S△DEM=S△DFM,S△MGB=S△MHB,這樣就得到了四邊形MHCF的面積等于四邊形AGME的面積,因此四邊形MHCF的面積是5.

學(xué)生的回答迅速而又準確，牢牢把握了圖形的本質(zhì)，能夠在已知條件中尋找隱含的等量關(guān)系，激發(fā)了學(xué)生進一步探究的興趣與欲望.

2.2.2 探索——勇猜想

有了先前的鋪墊，教師適時拋出新問題，在明確了本節(jié)課的“新視角”之后，學(xué)生會以最佳的狀態(tài)投入到問題的探索中去.

圖3

變式如圖3,已知點D是Rt△ABC中斜邊BC上的一點,過點D分別作DE∥AC交AB于點E,DF∥AB交AC于點F.若BE=8,CF=6,求四邊形DFAE的面積.

面對這道題，筆者這樣提問：“看來這道題有點難度,那不妨大家先大膽猜猜看,它的答案可能是多少?”這個問題激活了學(xué)生的知識存儲，促使學(xué)生對原有認知結(jié)構(gòu)進行搜索和整理，從而產(chǎn)生了豐富的猜想：

(1)面積應(yīng)是48；

(2)若是這樣，可以設(shè)元,設(shè)AE=x,AF=y,那么問題就轉(zhuǎn)化為證明xy=48；

(3)圖中有直角，可以用勾股定理試試；

(4)要有xy的出現(xiàn)，可以試試用面積來建立等式；

(5)相似也可以試試;

……

課堂良好氛圍的呈現(xiàn)及教師開放式的問題，點燃了學(xué)生思想的火花，激發(fā)了創(chuàng)新的靈感，借助探究促使問題明朗化，教室里充滿了濃郁的“探索味”.

2.2.3 交流——促生成

圖4

經(jīng)過探究，學(xué)生或多或少掌握了解決問題的一些方法.教師的“鋪”與“導(dǎo)”，讓學(xué)生主動探究，在與學(xué)生的交流中，完善思考問題的方法，進而提高自己解決問題的能力，促使思維的形成及發(fā)展.此課例中，筆者的總結(jié)及點撥，也迎來了課堂較為精彩的一瞬間.“將幾何問題代數(shù)化是幾何解題中的常見方法，剛才這位同學(xué)通過相似三角形的性質(zhì)把分散的x,y有效地進行集中.那么,有沒有直接把這2個分散的量聚集起來的方法呢?”短暫時間后，教室里“我明白了”的聲音此起彼伏……“可以通過平移的方式,即以AC,AB為邊,補全成一個矩形(如圖4),則MD=CF=6,ND=BE=8,那么四邊形GMDN的面積就是48,這就和上一題完全一樣了,于是,四邊形DFAE的面積也為48.”

2.3 尊重個性思維，凸顯亮點

學(xué)生的思維是靈動的，他們閃現(xiàn)的個性化思維，也體現(xiàn)出學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是否充分.對于成功的探索活動，蘊涵創(chuàng)新成分的個性思維是不可磨滅的亮點.在教學(xué)中，教師應(yīng)努力營造開放的交流氛圍，鼓勵學(xué)生充分展示其個性思維.

圖5

剛學(xué)平行四邊形時，筆者在課堂上問了學(xué)生這樣一個問題:“如圖5,P為平行四邊形ABCD內(nèi)任一點，聯(lián)結(jié)AP,BP,CP,DP,你知道圖中S1,S2,S3,S4之間的關(guān)系嗎？”

題目的思維含量其實挺高.也正因為相信學(xué)生的能力，筆者等著他們的答案.略作思考后，學(xué)生給出了2種不同的方法.

圖6

3 “三力”發(fā)展型課堂中學(xué)生探索活動的指導(dǎo)策略

3.1 實施細化點撥，關(guān)注重點

《新課程標準》指出：教師應(yīng)成為學(xué)生學(xué)習(xí)活動的組織者、引導(dǎo)著、合作者，為學(xué)生的發(fā)展提供良好的環(huán)境和條件.其主旨是強調(diào)教師的作用和地位，即在學(xué)生迫切需要時給予指引、幫助、暗示、提醒等.鑒于學(xué)生的年齡特征和學(xué)科特點，學(xué)生的探究活動在一定程度上需依賴于教師的適度“點撥”.“點”在臨界點，“撥”在關(guān)鍵處，讓學(xué)生的思維接通、延續(xù)，這就是點撥的價值.

(1)點在新知迷茫處.

學(xué)生在接受新知時都不同程度會感到困難，容易在自我探索的過程中迷失方向.若教師在這時沒有尋找突破口，幫助學(xué)生整理、分析，往往會成為今后學(xué)習(xí)的障礙.教師應(yīng)以點睛式的引導(dǎo)為學(xué)生指點迷津，使其把準方向，將課堂探索帶入“柳暗花明又一村”的境界.

例如，“將△ABC以點A為旋轉(zhuǎn)中心，順時針旋轉(zhuǎn)60°，作出旋轉(zhuǎn)變換后的圖形”是“旋轉(zhuǎn)變換”這節(jié)課的難點，如何幫助學(xué)生解惑呢？可分解成幾個小問題：已知線段AB，你能以點A為旋轉(zhuǎn)中心順時針旋轉(zhuǎn)60°嗎;線段AB上的任一點繞點A旋轉(zhuǎn)了多少度;若要將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°，你只要怎樣做就可以了.這幾個小問題為學(xué)生指明了解決問題的途徑，并能順利完成.

(2)點在認知沖突處.

在教學(xué)中，同一個問題，不同的學(xué)生往往會有不同的回答，進而引發(fā)爭辯，教師的點撥不應(yīng)是評價孰是孰非，而是激發(fā)2種觀點的分歧，從而在交流中實現(xiàn)認知的統(tǒng)一.

例如，對于單項式乘法：(x-y)3(y-x)2，學(xué)生有以下2種解法：

(x-y)3(y-x)2=-(y-x)5,

(x-y)3(y-x)2=(x-y)5.

當學(xué)生注意到2個答案不同且爭論不休時，教師讓雙方闡述自己的理由，分析解題過程.在交流中進而達成共識，2個答案都可以，而且還有一定的規(guī)律.此時的點撥，促使學(xué)生思維積極，知識的生成也是自然而然的.

(3)點在知識理解疑難處.

抽象性是數(shù)學(xué)的特征.正因如此，由抽象性帶來的疑難問題，依靠自主探索難以解決,需要教師及時點撥，讓學(xué)生從正確與錯誤的比較辨析中明確是非，從而提高思維的精確度.

如“逆命題與逆定理”這節(jié)中的一道課后練習(xí)是這樣的：下列定理有無逆定理?如果有,請寫出逆定理.不少學(xué)生在完成時都是直接寫出逆命題，教師適時點撥：“為什么題目這樣問，而不說請寫出下列定理的逆定理？”學(xué)生產(chǎn)生了疑點，進行深入思考，探索也有了新的方向，從而了解到逆定理必須是真命題的道理，解決了一個知識的模糊點.

(4)點在錯例的反思處.

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生往往會受到思維定勢的影響.對于這些錯誤，教師該如何點撥呢？筆者認為可以點在反思處，與舊知相聯(lián)系、與客觀實際相聯(lián)系、與原有條件相聯(lián)系，對錯誤的反思感悟來加強思維的批判性.

例如,求函數(shù)y=x2+2x(-0.5≤x≤1)的最小值.有的學(xué)生直接利用公式來求.教師可以組織學(xué)生反思，當取這個值時，x的值是多少？此時會使學(xué)生恍然大悟，原來超出了自變量的取值范圍.

3.2 強調(diào)實踐應(yīng)用，突破難點

課堂是否高效，學(xué)生是否能在課堂活動中充分地思維并能生成和生長知識，這要著力于教師所設(shè)計的探索活動是否符合實際，問題是否富有探索性和思考性.教師要給學(xué)生留出空間和時間，不能用一連串問題，讓學(xué)生“自然而然”地走進先前設(shè)計的情境中去.

一方面，教師可以引領(lǐng)學(xué)生走出課堂，參與真實的實踐應(yīng)用.例如學(xué)習(xí)“相似三角線的性質(zhì)”后，可以讓學(xué)生自己動手，測量一個竹竿的高度，并提出探究要求：你要想知道這根竹竿的高度，有哪些好方法？這樣的開放情境，促使學(xué)生進行不同角度的嘗試探索，更深刻地了解相似三角形性質(zhì)的運用，也在彼此交流探究中增加感情，營造開放自由的交流氛圍.

另一方面，數(shù)學(xué)知識的探索，要讓學(xué)生經(jīng)歷“猜測—驗證—發(fā)現(xiàn)”的漸進過程，只有立足于自主分析和充分歸納得出的數(shù)學(xué)結(jié)論，才是最具生命力的.

例如“同底數(shù)冪的法則”這堂課，如何讓學(xué)生得出同底數(shù)冪的乘法法則，可以這樣設(shè)計：

(1)問題：冪能不能進行乘法運算.

(2)試驗：給出6個冪，要求在6個冪中尋找一些由2個冪相乘的式子.

(3)觀察：①你找到了哪些等式？②你從這些等式中有什么發(fā)現(xiàn)？③你能用語言概括你的發(fā)現(xiàn)嗎？

這個內(nèi)容的設(shè)計，既給學(xué)生指引了思考的方向，又給他們留有一定的探索空間，也只有在豐富的環(huán)境中，學(xué)生的探索能力才能得到真正的訓(xùn)練.

探索的過程是充滿主動性、能動性和創(chuàng)造性的，它需要通過體驗感悟、實踐操作、發(fā)現(xiàn)問題、解決問題、表達與交流等方式來展現(xiàn)，旨在讓學(xué)生進行數(shù)學(xué)的“再創(chuàng)造”.優(yōu)化探索活動，要立足現(xiàn)行教材并進行創(chuàng)造性地處理；要立足于學(xué)生，關(guān)注他們的思維發(fā)展；要立足于自身，聚智慧于細節(jié).成功的處理，必將“窺一斑而見全貌”地折射出“探索性”課堂模式所蘊含的現(xiàn)代理念，成為我們初中課堂改革的一個重要方向.

參 考 文 獻

[1] 葉柱.新視界探真[M].杭州：浙江大學(xué)出版社，2005：91-102.

[2] 鄭強.初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的55個細節(jié)[M].成都：四川教育出版社，2006：208-212.