統(tǒng)計(jì)收斂與超濾子收斂的關(guān)系

林麗華,鮑玲鑫

(1.三明學(xué)院信息工程學(xué)院,福建 三明 365004;2.福建農(nóng)林大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息學(xué)院,福建 福州 350002)

1951年,Fast[1]和Steinhaus[2]分別獨(dú)立地引入了統(tǒng)計(jì)收斂的定義:稱實(shí)值序列(xn)統(tǒng)計(jì)收斂于a∈R,如果對(duì)?ε>0,都有

其中A#表示集合A的勢(shì)．顯然這是數(shù)列通常意義下收斂的推廣．

之后,統(tǒng)計(jì)收斂問(wèn)題得到Connor[3]、Fridy[4-6]、Miller[7]、Bal-cerzak[8]、Das[9]等人的深入研究．值得注意的是,自20世紀(jì)90 年代以來(lái)對(duì)統(tǒng)計(jì)收斂的性質(zhì)以及各種在統(tǒng)計(jì)收斂概念的基礎(chǔ)上,再次推廣的概念與性質(zhì)的研究異?；钴S,成為人們研究的熱點(diǎn)問(wèn)題,在各個(gè)純數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域進(jìn)行了廣泛的討論和深入的研究．其討論涉及矩陣求和、級(jí)數(shù)理論、傅里葉分析、三角級(jí)數(shù)論、Banach空間理論、局部凸空間以及模糊數(shù)學(xué)等等諸多領(lǐng)域．

2008年程立新等[10]建立了統(tǒng)計(jì)收斂的測(cè)度理論,并在此基礎(chǔ)上將每一類型的統(tǒng)計(jì)收斂都用統(tǒng)一的統(tǒng)計(jì)測(cè)度來(lái)刻畫[11]．最近程立新與鮑玲鑫[12]給出了統(tǒng)計(jì)測(cè)度與統(tǒng)計(jì)收斂中最為一般的收斂形式——理想收斂之間的關(guān)系．本文在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步討論統(tǒng)計(jì)測(cè)度收斂與超濾子收斂的關(guān)系．

為了讀者的閱讀方便,先將在本文中統(tǒng)計(jì)收斂理論中常用的記號(hào)簡(jiǎn)述如下:

A(ε,x,xn)={n∈N:‖xn-x‖>ε}，

在不至于混淆情況下,簡(jiǎn)記為A(ε)．

1 超濾子、端點(diǎn)與有限可加退化概率測(cè)度之間的關(guān)系

本節(jié)將給出超濾子、端點(diǎn)與有限可加退化概率測(cè)度的關(guān)系．為此首先回顧一些基本的概念．

設(shè)(Ω,Σ)為一測(cè)度空間,其中Ω為一非空集合,Σ?2Ω是一σ-代數(shù)．稱函數(shù)μ:Σ→R+為Σ上的有限可加概率測(cè)度,如果它滿足條件:(i)μ(φ)=0且μ(Ω)=1;(ii) 對(duì)任意的A,B∈Σ，當(dāng)A∩B=φ時(shí),有μ(A∪B)=μ(A)+μ(B)．

另外,μ若還滿足:1) 對(duì)?A∈Σ,μ(A)=0或者μ(A)=1,則稱μ為定義在Σ上的有限可加退化概率測(cè)度；2) 對(duì)于Σ中的單點(diǎn)集{x}有μ({x})=0,則稱μ為定義在Σ上的統(tǒng)計(jì)測(cè)度．

濾子與理想是一對(duì)互補(bǔ)的概念．設(shè)Ω是一個(gè)非空集合,2Ω是集合Ω的冪集,F?2Ω,若F滿足:(i)φ?F;(ii) 若A∈F,B∈F,則A∩B∈F;(iii) 若A?B?Ω,A∈F,則B∈F,則稱F為集合Ω上的濾子．顯然如果Ω是非空集,易得F={Ω}就是一個(gè)Ω上的濾子．所以對(duì)任何非空集Ω,都可談?wù)摝干系臑V子．集合Ω上的一個(gè)濾子F若滿足:對(duì)于集合Ω上的其他濾子F1,當(dāng)F?F1時(shí),有F=F1,則稱F為集合Ω的一個(gè)超濾子．超濾子有一個(gè)很好的特征性質(zhì),即F是集合Ω上的一個(gè)超濾子的充分必要條件是對(duì)任何A?Ω,有下列條件之一且只有之一成立:A∈F,或ΩA∈F．

本文中考慮Ω=N,以及Σ=2N的情況．這里我們先給出l∞中兩元素乘積的形式表達(dá)式．

若記x={x1,x2,…xn,…}∈l∞,y={y1,y2,…yn,…}∈l∞,本文中的x·y是指x·y={x1y1,x2y2,…，xnyn,…},易知x·y∈l∞．

=·.(1)

==

·,

即式(1)成立．

接著考慮,當(dāng)x,y中有一個(gè)范數(shù)小于1時(shí)的情形．

=-

·,

有

=+=

+-

·=+

(1-)≥0，

類似的有

=-=

-+

·=-

+·=

+·

y>≥0.

又由于

=+=

1+-·=1,

所以我們有x*±y*∈(B(l∞)*+),又x*∈ext(B(l∞)*+),故y*=θ．于是由y的任意性即得:當(dāng)x,y∈l∞中有一個(gè)滿足范數(shù)小于1時(shí)式(1)成立．

s==

·=

s·,

μ(A)=,A∈2N，

(2)

則由于χA(i)≥0,i∈N,x*是正泛函,故有μ(A)≥0,且有μ(φ)==0．

另外,若A,B∈2N且A∩B=φ,則有

μ(A∪B)==+

=μ(A)+μ(B),

綜上所述知,由式(2)定義的測(cè)度是一個(gè)有限可加測(cè)度．

由引理1,?A∈2N,有

0===

χA>·=·

(1-)，

即與1-中至少有一個(gè)為零．這也就說(shuō)明了由式(2)定義的測(cè)度是一個(gè)取值為{0,1}的有限可加概率測(cè)度．

下面證明,上述的有限可加退化概率測(cè)度μ可定義一個(gè)2N上的超濾子．

事實(shí)上,令U={A|A∈2N,μ(A)=1},則U就是一個(gè)由測(cè)度μ確定的超濾子．首先由1=μ(N)=μ(φ∪N)=μ(φ)+μ(N)=1+μ(φ),可得μ(φ)=0,即φ不屬于U;若設(shè)A∈U,B∈U,則由

μ(NA)+μ(NB)=0，

又若A∈U,由

1=μ(N)=μ(A∪(NA))=

μ(A)+μ(NA)=1+μ(NA),

有μ(NA)=0,即NA?U,這也就說(shuō)明了A與NA有且僅有一個(gè)屬于U,于是由超濾子的性質(zhì)知,此時(shí)的U={A|A∈2N,μ(A)=1}就是一個(gè)由測(cè)度μ確定的超濾子．

定理2 設(shè)U?2N為一個(gè)超濾子,若通過(guò)下式定義函數(shù)μ:2N→R,

(3)

證明由于U?2N是超濾子,故N∈U,φ?U,于是μ(N)=1,μ(φ)=0．

若A,B∈2N且A∩B=φ,則由φ?U知A,B至少有一個(gè)不屬于U,于是易得

μ(A∪B)=μ(A)+μ(B),

即滿足有限可加性,所以由式(3)定義的測(cè)度μ是定義在2N上的有限可加概率測(cè)度．

故由下式

2 統(tǒng)計(jì)測(cè)度收斂與超濾子收斂

有了以上的超濾子、端點(diǎn)和退化的有限可加概率測(cè)度的關(guān)系,下面可以給出統(tǒng)計(jì)測(cè)度收斂與超濾子收斂之間的等價(jià)關(guān)系．為此先給出一個(gè)定義．

定義1[12]設(shè)ω是定義在(N,2N)上的一個(gè)統(tǒng)計(jì)測(cè)度族,x∈X,A∈2N,(xn)?X．

(i) 若?μ∈ω,有μ(A)=0,則稱A為ω-零集;

(ii) 若?ε>0,A(ε)是一個(gè)ω-零測(cè)集,則稱(xn)ω-測(cè)度收斂于x．

μ(A)=,A∈2N,

則此時(shí)定義的測(cè)度是取值為{0,1}的統(tǒng)計(jì)型有限可加概率測(cè)度．

令U={A|A∈2N,μ(A)=1},則U是由測(cè)度μ確定的超濾子．于是若序列(xn)按x*所確定的測(cè)度收斂于x,即

μ({n∈N,‖xn-x‖≥ε})=0或μ({n∈N,

‖xn-x‖<ε})=1,

則{n∈N,‖xn-x‖<ε}∈U,于是序列(xn)超濾子收斂于x．

反之,若序列(xn)超濾子收斂于x,即{n∈N,‖xn-x‖<ε}∈U,則有

μ({n∈N,‖xn-x‖<ε})=1,

即μ({n∈N,‖xn-x‖≥ε})=0,于是序列(xn)按x*所確定的測(cè)度收斂于x.

由以上容易得出如下推論．

推論1 設(shè)X是一個(gè)Banach空間,ω={μ,μ(A)=,x*∈ext(B(l∞/c0)*)}是一個(gè)統(tǒng)計(jì)測(cè)度集,則存在一個(gè)超濾子U?2N,使得測(cè)度ω收斂等價(jià)于超濾子U收斂．

[1] Fast H.Sur le convergence statistical[J].Colloq Math,1951,2(1):241-244.

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