復Kropina度量

湯 冬 梅

(廈門理工學院應用數(shù)學學院,福建 廈門 361024)

Kropina[1]提出實Kropina度量,而它又是特殊的(α,β)度量．除了Randers空間外,Kropina空間也特別令人感興趣,而且在Finsler 空間中是很重要的,它被C-張量的特殊形式所刻畫．Antonelli等[2]指出它在生態(tài)學的Krivan問題上擔任著一個有趣的角色．許多數(shù)學家研究Kropina度量,并且得到了一系列關于曲率和共形變換方面好的結果[1,3-6]．

與實Finsler幾何相比,對復Finsler幾何中的許多種類了解得不多,除了兩個平凡的復Finsler度量:Hermitian度量和復局部Minkowski度量[7]．近來一些學者研究了特殊的復(α,β)度量:復Randers度量.Aldea等[8]致力于研究K?hler-Randers度量,并且得到了復Randers空間中Lorentz型的復非線性聯(lián)絡．陳濱等[9]討論了復Randers度量的全純曲率,以及具有迷向全純曲率的復Berwald-Randers度量的幾何性質(zhì)．另外,Aikou[10]給出了復Berwald空間的定義,并且得到了具有負常值全純截面曲率的Berwald空間的剛性定理．

1 預備知識

定義1[12]M上的連續(xù)函數(shù)F:T1,0M→R+如果滿足下列條件,則它被稱作復Finsler度量:

(ii)F(z,η)≥0等號成立當且僅當η=0;

(iii) 對于任意的λ∈C有F(z,λη)=|λ|F(z,η);

令

(1)

(2)

其中

由文獻[12]可知,復Finsler空間(M,F)沿著方向η的全純曲率是

(3)

局部上它表示成[11]

(4)

Ricci標量定義成[14]

(5)

命題1[9]復Finsler度量是Hermitian的當且僅當它的Cartan形式一致消失．

類似于實Finsler幾何有如下定義．

定義3[10]如果存在一個開覆蓋{U,XU}使得在每個π-1(U)上F僅僅是纖維坐標的函數(shù),那么復Finsler流形(M,F) 被稱作是復局部Minkowski,稱這樣的開覆蓋{U,XU}是 適合的．

2 復Kropina度量

2) b∶=bi(z)dzi是一個微分(1,0)形式．

(6)

其中

且

β(z,η)∶=bi(z)ηi.

(7)

注意到|β(z,η)|=0當且僅當β(z,η)=0．但是β(z,η)=0當且僅當ηi=0或bi(z)=0,i=1,…,n.因此記D∶={(z,η)3∈T1,0M,β(z,η)=0}．

(8)

(9)

所以

命題3[11]假設

那么

(10)

需要說明的是對于復Kropina度量而言,不必附加其他限制條件,默認它就是復Finsler度量．

一旦有了復Kropina度量的度量張量,下面就可通過技巧性的計算得到復Cartan張量、Chern-Finsler復非線性聯(lián)絡的表達式和弱K?hler條件．

首先介紹下面的復Cartan張量．

因為

令

因此

(11)

令

則Chern-Finsler聯(lián)絡的垂直系數(shù)是

(12)

命題6 復Kropina度量是Hermitian當且僅當函數(shù)q僅僅依賴于z．

令

有

接下來計算Chern-Finsler復非線性聯(lián)絡的系數(shù)．

(13)

因此噴射系數(shù)是

(14)

因此

(15)

(ii) 此時(M,F)是復Berwald空間．另外,(M,F)是K?hler-Finsler當且僅當α是M上的K?hler-Hermitian度量．

(iii) 如果Hermitian度量α是平坦的,那么(M,F)是復局部Minkowski．

證明如果q2b2=1,即α2b2=|β|2,關于bi可以得到下面的關系式

α2bi=βηi.

從而得證．

(i) ρ(z)=b2和 q2b2=1;

(ii) 根據(jù)定理2可以得到結論．

(iii) 由(i)的結論以及直接計算容易得出(iii)成立.

(16)

命題7 如果α是K?hler且β是閉的,那么F是弱K?hler當且僅當β關于α是平行的．

3 全純曲率

本節(jié)研究復Kropina度量的全純曲率．在Hermitian幾何里,全純截面曲率起著相當重要的作用,所以我們自然也想尋求復Finsler幾何中的相似曲率．首先嘗試(水平)全純旗曲率,在某種情況下全純旗曲率包含太多的信息．令人遺憾的是全純旗曲率并不是最適合研究的,所以全純曲率就變成了復Finsler幾何里最重要的Hermitian數(shù)量．文獻[14]表明幾何學者已經(jīng)研究了復Finsler幾何中的常值全純曲率．在本節(jié)我們打算討論復Kropina空間中的迷向全純曲率．

定義4 如果Κ(z,η)=Κ(z)是M上的標量函數(shù),那么就稱F具有迷向全純曲率．

定義5 如果Κ(z,η)為常值,那么就稱F具有常值全純曲率．

根據(jù)式(4),經(jīng)過復雜的計算后復Kropina度量的全純曲率如下．

其中Κα是α的全純截面曲率．

由式(9)和(14)得到

(17)

因此得到下面的結果,

(18)

(iii) 最后從式(17)中減掉式(18)有

(19)

注1 (i) ΚF與Κα成比例;

(ii) q是一個正實值函數(shù),依賴于z和η,所以ΚF和Κα同符合．

注2 如果β全純,由推論2知ΚF=2b2Κα．我們發(fā)現(xiàn)ΚF迷向當且僅當Κα也迷向．

類似的有

復Finsler空間(M,F)的全純曲率可以寫成

(20)

所以根據(jù)式(5)和(20)立即可以得到下面的結果．

引理1 假設(M,F)是復Finsler空間,如果(M,F)是復局部Minkowski流形,那么它的全純曲率和Ricci曲率都為零．

(i) ΚF=0和Ric=0;

(ii) 如果β全純,那么Κα=0．

[1]KropinaVK.OnprojectiveFinslerspaceswithametricofsomespecialform(inRussian)[J].NaunDoklVys?.kolyFisMat,1959,2:38-42.

[2]AntonelliPL,IngardenRS,MatsumotoM.ThetheoryofspraysandFinslerspaceswithapplicationsinphysicsandbiology[M].Netherlands:KluwerAcademicPublishers,1993.

[3]ShibaraC.OnFinslerspaceswithKropinametric[J].ReponMathPhys,1978,13:117-128.

[4]MatsumotoM.FinslerspaceofconstantcurvaturewithKropinametric[J].TensorNS,1991,50:194-201.

[5]YoshikawaR,OkuboR.Kropinaspacesofconstantcurvature[J].TensorNS,2007，68:190-203.

[6]SinghUP,SinghAK,ShibataC.OninducedandintrinsictheoriesofhypersurfacesofKropinaspaces[J].JHokkaidoUnivEducation(SectionⅡA),1983,34:1-11.

[7]MunteanuG.ComplexspacesinFinsler,lagrangeandHamiltongeometries[M].Netherlands:KluwerAcadPubl,2004.

[8]AldeaN,MunteanuG.OncomplexFinslerspaceswithRandersmetric[J].JKoreanMathSoc,2009,46(5):949-966.

[9]ChenB,ShenYB.OncomplexRandersmetrics[J].IntJMath,2010,21(8):971.

[10]AikouT.SomeremarksonlocallyconformalcomplexBerwaldspaces[J].ContemporaryMathematics,1996,196:109-120.

[11]AldeaN,MunteanuG.(α,β)-complexFinslermetrics[C]∥Proceedingsofthe4thInternationalColloquium"MathematicsinEngineeringandNumericalPhysics".Bucharest:BalkanPress,2007:1-6.

[12]AbateM,PatrizioG.Finslermetrics:aglobalapproach[M].Berlin:Springer-Verlag,1994.

[13]ChenB,ShenYB.KaehlerFinslermetricsareactuallystronglyKaehler[J].ChineseAnnalsofMathematics:SeriesB,2009,30(2):173-178.

[14]AldeaN.ComplexFinslerspacesofconstantholomorphiccurvature[C]∥DiffGeomanditsAppl.Prague,CzechRepublic:CharlesUniv,2005:175-186.