巧借常值數(shù)列 妙破數(shù)列問題

四川省成都市第七中學(xué)

廖學(xué)軍

常值數(shù)列是一類特殊的數(shù)列，是等差數(shù)列與等比數(shù)列的一個和諧統(tǒng)一.常值數(shù)列中各項的值都相等，其通項公式是an=a1=a(n∈N*，a∈R)，是一個公差d=0的等差數(shù)列，當(dāng)a≠0時其又是一個公比q=1的等比數(shù)列.常值數(shù)列在解題過程中往往有其特殊的作用，特別在一些相關(guān)的數(shù)列問題中，常值數(shù)列的特征不明顯，經(jīng)過合理的變形、轉(zhuǎn)化與推導(dǎo)，“添油加醋”才能選取、配湊或構(gòu)造出對應(yīng)的常值數(shù)列，進而借助常值數(shù)列的相關(guān)特征性質(zhì)來處理與解決問題，往往能起到非常良好的效果，出奇制勝，簡單快捷處理相應(yīng)的數(shù)列問題.

1 巧選常值數(shù)列

根據(jù)題目條件，選取滿足條件的特殊數(shù)列——常值數(shù)列，進而利用常值數(shù)列的特征性質(zhì)來分析、處理與解決問題.

例1已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a3+a5+a7=24，則S9等于( ).

A.288 B.144 C.72 D.36

分析：結(jié)合題目條件，通過選取特殊數(shù)列——常值數(shù)列，使一般性的等差數(shù)列問題特殊化，進而在特殊情況下加以運算，再對特殊情況下常值數(shù)列的運算結(jié)果進行一般化處理即可得以快捷求解.

解析：不妨設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為0，此時數(shù)列{an}是一個常值數(shù)列，則由a3+a5+a7=24，可得a1=an=8，所以S9=9a1=9×8=72.

故選：C.

點評：通過特殊的常值數(shù)列的選取與引入，可以非?？旖莸靥幚硪恍┡c數(shù)列運算有關(guān)的通項、求和等問題.通過常值數(shù)列等特殊數(shù)列的選取，將一般性的數(shù)列問題特殊化，使問題簡單統(tǒng)一化，簡化運算.

2 巧判常值數(shù)列

根據(jù)題目條件，準(zhǔn)確判斷出滿足條件的數(shù)列為特殊數(shù)列——常值數(shù)列，直接利用常值數(shù)列的特征性質(zhì)來分析、處理與解決問題.

例2(2014年高考數(shù)學(xué)安徽卷理科第12題)數(shù)列{an}是等差數(shù)列，若a1+1，a3+3，a5+5構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列，則q=______.

分析：利用兩個等差數(shù)列對應(yīng)的項依次相加后得到的數(shù)列還是等差數(shù)列的性質(zhì)，可以判定a1+1，a3+3，a5+5構(gòu)成一個等差數(shù)列，其同時又是一個等比數(shù)列，得以判定其是一個常值數(shù)列，再利用其特征性質(zhì)來確定公比的值.

解析：因為數(shù)列{an}是等差數(shù)列，而1，3，5也是一個等差數(shù)列，所以a1+1，a3+3，a5+5構(gòu)成一個等差數(shù)列.又a1+1，a3+3，a5+5構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列，所以a1+1，a3+3，a5+5是一個常值數(shù)列，則有q=1.

故填答案：1.

點評：利用“非零常值數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列”這一基本性質(zhì)，進而結(jié)合一個數(shù)列滿足既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列這一性質(zhì)特征來判定其是常值數(shù)列，則知其公差d=0，公比q=1.綜合等差數(shù)列的性質(zhì)，巧妙判斷，合理應(yīng)用，快捷求解.

3 巧用常值數(shù)列

根據(jù)題目條件，巧妙選用滿足條件的特殊數(shù)列——常值數(shù)列，為進一步利用常值數(shù)列的特征性質(zhì)來分析、處理與解決問題提供條件.

例3設(shè)數(shù)列{an}，{bn}都是等差數(shù)列，且a1=20，b1=80，a10+b10=100，則a2020+b2020等于( ).

A.2020 B.100 C.50 D.無法確定

分析：結(jié)合條件列出關(guān)系式(a10+b10)-(a1+b1)=0的確定，綜合等差數(shù)列的性質(zhì)得以判定滿足cn=an+bn的數(shù)列{cn}為常值數(shù)列，進而利用常值數(shù)列的性質(zhì)特征來確定對應(yīng)通項的值即可.

解析：由于(a10+b10)-(a1+b1)=100-(20+80)=0，則知滿足cn=an+bn的數(shù)列{cn}是一個常值數(shù)列，所以c2020=a2020+b2020=a10+b10=100.

故選：B.

點評：結(jié)合“一個公差為0的等差數(shù)列”為常值數(shù)列這一基本性質(zhì)，利用常值數(shù)列的各項的值都相等這一性質(zhì)特征來確定對應(yīng)通項的值問題.巧妙應(yīng)用常值數(shù)列，合理轉(zhuǎn)化，快捷求解.

4 巧湊常值數(shù)列

根據(jù)題目條件，通過合理配湊得以確定滿足條件的特殊數(shù)列——常值數(shù)列，為進一步利用常值數(shù)列的特征性質(zhì)來分析、處理與解決問題奠定基礎(chǔ).

例4(2018年北京大學(xué)自主招生數(shù)學(xué)試卷第10題)設(shè)數(shù)列{an}的首項a1=2019，前n項和Sn=n2an，則a2018的值為( ).

分析：根據(jù)題目條件進行消元處理，把涉及通項an與前n項和Sn的關(guān)系式轉(zhuǎn)化為只含有通項an的關(guān)系式(n+2)an+1=nan，借助配湊思維，合理添加相應(yīng)的系數(shù)n+1轉(zhuǎn)化為(n+2)(n+1)an+1=(n+1)nan，結(jié)合常值數(shù)列的判定與性質(zhì)來確定對應(yīng)的通項an.

解析：由Sn=n2an，得Sn+1=(n+1)2an+1.

以上兩式對應(yīng)相減，可得

Sn+1-Sn=(n+1)2an+1-n2an.

即an+1=(n+1)2an+1-n2an，化簡可得

(n+2)an+1=nan.

上式兩邊同時乘n+1，可得

(n+2)(n+1)an+1=(n+1)nan.

則數(shù)列{(n+1)nan}是一個常值數(shù)列，所以

(n+1)nan=2×1×a1.

即

故選：C.

點評：結(jié)合條件的合理配湊來確定“an+1=an”這一特征關(guān)系式，進而確定一個常值數(shù)列，為進一步解決數(shù)列通項等相關(guān)問題奠定基礎(chǔ).通過合理配湊，結(jié)合常值數(shù)列的判定，合理利用常值數(shù)列的性質(zhì)，為數(shù)列相關(guān)問題的破解開辟一個新局面.

5 巧構(gòu)常值數(shù)列

根據(jù)題目條件，通過合理的變形、轉(zhuǎn)化與推導(dǎo)，構(gòu)造滿足條件的特殊數(shù)列——常值數(shù)列，再結(jié)合常值數(shù)列的特征性質(zhì)來分析、處理與解決問題.

例5已知數(shù)列{an}滿足an+1=2an+3×5n，a1=6，則數(shù)列{an}的通項公式為an=______.

解析：由an+1=2an+3×5n，可得an+1-5×5n=2an-2×5n，則有an+1-5n+1=2(an-5n).

故填答案：2n-1+5n.

點評：結(jié)合數(shù)列遞推關(guān)系式的變形與轉(zhuǎn)化，并合理構(gòu)造新數(shù)列，通過常值數(shù)列“an+1=an”這一特征關(guān)系式來判斷與應(yīng)用，為求解復(fù)雜的數(shù)列通項公式提供條件.合理構(gòu)造常值數(shù)列來解決問題，可以有效簡化解題過程，減少運算量.

在破解一些數(shù)列問題時，結(jié)合對題目中已知的數(shù)列遞推關(guān)系式等條件加以變形、轉(zhuǎn)化與推導(dǎo)，通過特殊選取、準(zhǔn)確判斷、有效選用、合理配湊、巧妙構(gòu)造等技巧，“慧眼識英雄”，挖掘常值數(shù)列的影子.結(jié)合整體思想與目標(biāo)意識，利用直覺思維、邏輯推理與敏銳的眼光，從而選取、識別或?qū)С鱿鄳?yīng)的常值數(shù)列，進而利用常值數(shù)列的特征性質(zhì)加以解題，往往能出奇制勝，快速破解.