基于改進(jìn)的ZMNL和SIRP的K分布雜波模擬方法

朱潔麗 湯 俊

(清華大學(xué)電子工程系 北京 100084)

基于改進(jìn)的ZMNL和SIRP的K分布雜波模擬方法

朱潔麗*湯 俊

(清華大學(xué)電子工程系 北京 100084)

零記憶非線性變換(ZMNL)法和球不變隨機(jī)過程(SIRP)法是模擬 K分布雜波的兩種常用方法。針對傳統(tǒng)ZMNL方法中形狀參數(shù)(半)整數(shù)化所導(dǎo)致的雜波模擬偏差問題，該文提出采用增加Gamma分布生成支路的方法進(jìn)行改進(jìn)，改進(jìn)后的方法能夠模擬任意形狀參數(shù)的K分布雜波；針對傳統(tǒng)SIRP方法運(yùn)算量較大的問題，給出了一種改進(jìn)的調(diào)制變量產(chǎn)生方法，該方法能夠避免求解非線性方程，極大地降低了運(yùn)算量，提高了仿真速度。仿真結(jié)果驗(yàn)證了改進(jìn)方法的有效性。

K分布；雷達(dá)雜波；相關(guān)；相干

1 引言

雜波是制約雷達(dá)目標(biāo)檢測和跟蹤性能的主要因素之一，因此對于雜波特性的研究及雜波模擬也始終是雷達(dá)領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。目前常用的雜波幅度分布模型有瑞利分布、對數(shù)正態(tài)分布、韋布爾分布和K分布等。由于K分布能較好地描述多種高分辨、低擦地角的地、海雜波，因此已成為重要的雜波建模與仿真的統(tǒng)計(jì)模型[1,2]。與瑞利分布等簡單模型相比，K分布雜波的建模和仿真較為復(fù)雜，而且根據(jù)模擬的雜波信號的正交分量和同相分量是否相關(guān)，需要分別開展相干和非相干雜波的仿真工作。

為了精確模擬 K分布雜波，國內(nèi)外諸多學(xué)者針對相干和非相干雜波模型進(jìn)行了一系列深入的研究[3－17]。文獻(xiàn)[3]提出了基于球不變隨機(jī)過程(SIRP)法的相關(guān)相干K分布雜波的生成方法。該方法可以模擬復(fù)雜波數(shù)據(jù)，能獨(dú)立控制雜波的功率譜和幅度分布，但需要求解非線性方程，計(jì)算量較大。文獻(xiàn)[4]提出了基于零記憶非線性變換(ZMNL)法的相關(guān) K分布雜波的模擬方法。該方法適用于非相干雜波模型，原理簡單，主要的缺陷是要求形狀參數(shù)設(shè)置為(半)整數(shù)，形狀參數(shù)(半)整數(shù)化會(huì)帶來雜波模擬偏差，不能獨(dú)立控制功率譜和幅度分布，為滿足功率譜特性需求，相關(guān)系數(shù)的計(jì)算較為復(fù)雜。文獻(xiàn)[5]證明了 K分布序列的同相正交分量可由兩列相互獨(dú)立的Gaussian矢量加權(quán)乘積和構(gòu)成?；谶@一原理，文獻(xiàn)[6]和文獻(xiàn)[7]提出了新的相關(guān)相干K分布雜波建模與仿真方法，與傳統(tǒng)SIRP與ZMNL方法相比，新方法可以使生成的雜波具有任意指定的功率譜，而且運(yùn)算相對簡單，易于軟件和硬件實(shí)現(xiàn)，但對形狀參數(shù)為非(半)整數(shù)的情況僅進(jìn)行了近似計(jì)算處理。文獻(xiàn)[10]基于ZMNL方法和線性變換理論提出了一種時(shí)空相關(guān)相干 K分布雜波的建模方法，減少了雜波模擬的運(yùn)算復(fù)雜度。為了更好地估計(jì)雜波背景下雷達(dá)恒虛警率檢測性能，文獻(xiàn)[11]對時(shí)間相關(guān)相干K分布雜波進(jìn)行了建模仿真。

本文針對傳統(tǒng)ZMNL方法和SIRP方法中存在的部分問題提出改進(jìn)，主要貢獻(xiàn)包括：

(1) 針對傳統(tǒng)的非相干模型ZMNL方法中形狀參數(shù)(半)整數(shù)化導(dǎo)致的雜波模擬偏差問題，提出一種增加形狀參數(shù)非(半)整數(shù)部分對應(yīng)的Gamma分布變量生成支路的改進(jìn)方法，該方法利用了Gamma分布的第2參數(shù)可加性，將雜波的形狀參數(shù)從(半)整數(shù)推廣到一般實(shí)數(shù)，改善了雜波幅度特性模擬性能；

(2) 針對傳統(tǒng)的相干模型 SIRP方法中雜波模擬運(yùn)算量大的問題，給出一種直接產(chǎn)生服從雜波特征分布的調(diào)制變量的方法，該方法不需要求解非線性方程，因此極大地提高了雜波模擬效率。

最后，仿真結(jié)果驗(yàn)證了本文方法的有效性。

2 傳統(tǒng)K分布雜波模擬方法

2.1 K分布雜波模型

K分布的概率密度函數(shù)(PDF)為[4]：

其中，a是尺度參數(shù)， v是形狀參數(shù)，Γ(?)是Gamma函數(shù)，Kv(?)是第2類修正Bessel函數(shù)。

雜波平均功率δ2,v和a之間的關(guān)系可表示為[18]：

雜波的功率譜特性可以用其功率譜密度或自相關(guān)函數(shù)來表示。常見雜波如地、云雨和箔條雜波的功率譜一般認(rèn)為服從Gaussian分布，其歸一化功率譜表達(dá)式為[18]：

其中，fd是多普勒頻率，f3dB是兩個(gè)半功率點(diǎn)間的帶寬。為滿足限制條件W(f3dB2)=0.5,a 取值為1.665。

2.2 ZMNL方法

令隨機(jī)變量 xs～G(xs;2; 1), y ～G(y;2a2;v)，二者相互獨(dú)立，則z=y xs～K(z ;a; v)[4,19]，其中xs被稱為散斑分量，y被稱為紋理分量，G(?)代表Gamma分布概率密度函數(shù)：G(xs;2;1)即為指數(shù)分布。

根據(jù)前述的通過紋理分量y乘以散斑分量xs獲得K分布變量z的思想，傳統(tǒng)的基于ZMNL的相關(guān)K分布雜波的產(chǎn)生流程如圖1所示[4]?？驁D1中包含兩條支路，其中一路利用2v個(gè)獨(dú)立 Gaussian變量的平方和來生成Gamma分布變量，另外一路利用兩個(gè)獨(dú)立 Gaussian變量的平方和來產(chǎn)生指數(shù)分布變量，兩條支路輸出的隨機(jī)變量相乘取平方根得到 K 分布雜波變量。其中，輸出序列{zi} (i=1,2,…) 為所需 K分布雜波序列，中間變量{w1,i}, … ,{ w2v+2,i}(i =1,2,…) 均為相關(guān)Gaussian隨機(jī)序列，但是兩兩之間相互獨(dú)立。

為了使模擬的雜波不僅在幅度上滿足K分布，在功率譜上也滿足所需的Gaussian譜特性，通過調(diào)整濾波器H1和H2來控制和改變非線性變換后K分布雜波序列的相關(guān)系數(shù)Sij[4]：

圖1 傳統(tǒng)相關(guān)K分布雜波產(chǎn)生框圖Fig. 1 Block diagram for conventional generation of correlated K distributed clutter

其中2F1(α , β; γ; η)為Gaussian超幾何分布函數(shù)，且Λ=Γ(v+3/2) Γ( 3/2)/Γ(v+1)。rij是 wk(k=1,2,…2v)的相關(guān)系數(shù)，qij是 wk(k=2v+1,2v+2)的相關(guān)系數(shù)。該公式具有無限種組合解。實(shí)際仿真過程中，可采用傅里葉級數(shù)展開法推導(dǎo)出相關(guān)系數(shù)Sij，再將rij和qij的組合代入式(5)中求解rij和qij，從而計(jì)算得到濾波器H1和H2的系數(shù)[4,20]。

該方法適用于產(chǎn)生形狀參數(shù)v為(半)整數(shù)的 K分布雜波。若v為非(半)整數(shù)，一般可通過向下或向上取(半)整數(shù)的方法得到(半)整數(shù)v'，此時(shí)模擬的雜波滿足分布 K(z ; a; v')，它與實(shí)際所需分布K(z; a;v)存在一定的偏差。為改善相關(guān)K分布雜波幅度特性模擬性能，需要尋求更精確的模擬方法。

2.3 SIRP方法

調(diào)制變量序列{si}的平均功率為 1，其平方服從Gamma分布，即～G。最后用{s}調(diào)i制復(fù)Gaussian變量{yi}即得到相關(guān)相干K分布雜波序列{zi}[3,15]。

圖 2中，低通濾波器 H1的作用是使{yi}具有{zi}的功率譜形狀。低通濾波器H2的作用是使非線性變換后的隨機(jī)序列的功率譜足夠窄，可以采用多階Butterworth濾波器實(shí)現(xiàn)[20]。非線性變換使得{xi}和{si}滿足關(guān)系[3]：

其中γ(a, b)為低階不完全Gamma函數(shù)，Q(?)為標(biāo)準(zhǔn)Gaussian隨機(jī)變量的尾部面積?；喪?7)到非線性方程：

其中erf(?)是誤差函數(shù)。通過數(shù)值方法計(jì)算即可根據(jù)輸入變量序列{xi}得到輸出變量序列{si}。

圖2 傳統(tǒng)相關(guān)相干K分布雜波產(chǎn)生框圖Fig. 2 Block diagram for conventional generation of correlated coherent K distributed clutter

SIRP方法用符合所要求的單點(diǎn)概率密度函數(shù)的隨機(jī)序列調(diào)制相關(guān)Gaussian隨機(jī)過程，能獨(dú)立控制雜波的功率譜和幅度分布，能夠較好地實(shí)現(xiàn)對相關(guān)相干K分布雜波的模擬。但該法易受序列階數(shù)和自相關(guān)函數(shù)的限制，而且需要求解非線性方程，計(jì)算量較大[17]。

3 改進(jìn)的K分布雜波模擬方法

3.1 改進(jìn)的ZMNL方法

那么 y2=2a2ηβ～ G(y2;2a2; v2)[21]。

基于Gamma分布的第2參數(shù)可加性，通過在傳統(tǒng)產(chǎn)生框圖1中添加形狀參數(shù)的非(半)整數(shù)部分對應(yīng)的Gamma分布變量生成支路，得到改進(jìn)的相關(guān)K分布雜波產(chǎn)生流程如圖3所示，其中添加的支路由虛線框出。先將形狀參數(shù)v分解為(半)整數(shù)部分v1和非(半)整數(shù)部分 v2。若 v2=0，則按照傳統(tǒng)ZMNL方法生成K分布雜波；若v2＞0，則在利用2v1個(gè)獨(dú)立 Gaussian變量經(jīng)濾波后求平方和得到Gamma分布變量 y1的同時(shí)，利用指數(shù)分布變量η和 Beta分布變量β生成非(半)整數(shù)部分對應(yīng)的Gamma分布變量y2，從而得到服從分布 G(y;2 a2; v)的變量y。另一支路利用兩個(gè)獨(dú)立Gaussian變量經(jīng)濾波后的平方和生成服從指數(shù)分布的變量xs。兩路輸出的隨機(jī)變量序列{yi}和{xs,i}相乘后開平方即得到K分布雜波序列{zi}。為使得{y2,i}對輸出序列功率譜的影響盡量可以忽略，仍采用式(5)計(jì)算推導(dǎo)中間相關(guān)系數(shù)，本文采用常用組合之一：qij=rij，即令 Gamma分布變量序列{y1,i}和指數(shù)分布變量序列{xs,i}的相關(guān)系數(shù)的權(quán)重相等。實(shí)際仿真過程中，根據(jù)雜波的 Gaussian譜形狀推導(dǎo)出相關(guān)系數(shù)Sij，再將 qij=rij代入式(5)中求解qij和rij，從而計(jì)算得到圖3中濾波器H1和H2的系數(shù)[4,20]。具體實(shí)現(xiàn)方法可以采用遞推查詢法和二分法等，相對而言，二分法算法復(fù)雜度較低。

3.2 改進(jìn)的SIRP方法

對于傳統(tǒng)SIRP方法，若能不通過數(shù)值方法求解非線性方程而直接產(chǎn)生具有雜波特征 PDF的實(shí)非負(fù)調(diào)制變量s，仿真速度將大大提高。本文在3.1節(jié)提出了β為任意正實(shí)數(shù)時(shí)分布G(x; α; β)的生成方法，其運(yùn)算效率高，而傳統(tǒng)SIRP模型中調(diào)制變量s的平方服從Gamma分布，所以可以采用圖3中生成Gamma分布變量的方法替代傳統(tǒng)SIRP方法中求解非線性方程的方法來獲得調(diào)制變量s，得到改進(jìn)的相關(guān)相干K分布雜波產(chǎn)生流程如圖4所示，其中改進(jìn)的支路由虛線框出。

圖4中，標(biāo)準(zhǔn)Gaussian變量序列{w1,i}和{w2,i}所在支路是為了產(chǎn)生復(fù)Gaussian變量序列{yi}，其中低通濾波器 H1的作用是使{yi}具有{xi}的功率譜形狀。另一支路是為了產(chǎn)生具有雜波特征 PDF的調(diào)制變量序列{si}，先利用Gamma分布的第2參數(shù)可加性產(chǎn)生服從 Gamma分布的變量序列{pi}，具體實(shí)現(xiàn)過程與圖3類似，然后開平方得到實(shí)非負(fù)調(diào)制變量序列{si}。特別需要注意的是，圖4中低通濾波器H2的作用與圖3中H1的作用不同，這里是使調(diào)制變量序列{si}的功率譜足夠窄，以實(shí)現(xiàn)功率譜和幅度分布的獨(dú)立控制，可以采用多階Butterworth濾波器實(shí)現(xiàn)[20]。

該方法與傳統(tǒng) SIRP 方法相比，產(chǎn)生復(fù)Gaussian變量序列的支路相同，而產(chǎn)生調(diào)制變量序列的支路不同，該支路不需要通過求解非線性方程來產(chǎn)生具有雜波特征 PDF的實(shí)非負(fù)調(diào)制變量序列{si}，只需要簡單的加法、乘法和開平方運(yùn)算。假設(shè)需要產(chǎn)生的K分布序列長度為L，圖2和圖4中低通濾波器H2的點(diǎn)數(shù)均為M。對于傳統(tǒng)SIRP方法，產(chǎn)生調(diào)制變量序列的支路首先需要進(jìn)行低通濾波，運(yùn)算量為O(ML)，然后還需要求解L次非線性方程。若采用二分法求解非線性方程，設(shè)定查詢區(qū)間為 [sl, sh]，誤差精度為ε，則每次求解方程需要進(jìn)行l(wèi)og2((sh-s1)/ε)次積分計(jì)算。對于圖4所示的改進(jìn)方法，產(chǎn)生調(diào)制變量序列的支路不需要進(jìn)行積分計(jì)算，運(yùn)算量為 O(v1ML)。文獻(xiàn)[22]指出，形狀參數(shù)v在實(shí)際中的取值上限為20，而積分計(jì)算的運(yùn)算量要遠(yuǎn)大于加法或乘法的運(yùn)算量，因此當(dāng)仿真序列長度L較大時(shí)，與傳統(tǒng) SIRP方法相比，改進(jìn)的 SIRP方法能夠極大地提升運(yùn)算速度，提高雜波模擬效率。

圖3 改進(jìn)的相關(guān)K分布雜波產(chǎn)生框圖Fig. 3 Block diagram for improved generation of correlated K distributed clutter

圖4 改進(jìn)的相關(guān)相干K分布雜波產(chǎn)生框圖Fig. 4 Block diagram for improved generation of correlated coherent K distributed clutter

4 仿真結(jié)果

本文基于 McMaster大學(xué)的 IPIX型雷達(dá)于1993年在Dartmouth采集的一組典型的高海況下的海雜波數(shù)據(jù)[23]，利用2階/4階矩估計(jì)法對數(shù)據(jù)進(jìn)行 K分布擬合[24,25]，計(jì)算得到形狀參數(shù)v=2.74，尺度參數(shù)a=0.4，根據(jù)此組形狀參數(shù)和尺度參數(shù)開展K分布雜波仿真。設(shè)定采樣頻率為 FS=1000 H z ，取采樣點(diǎn)數(shù)為 N= 5 × 104,K分布雜波功率譜采用Gaussian譜，兩個(gè)半功率點(diǎn)間的帶寬為f3dB= 100 Hz，仿真次數(shù)為M=500。

根據(jù)圖1-圖4所示框圖進(jìn)行仿真，圖1中形狀參數(shù)向下取(半)整數(shù)即v'=2.5，圖2中采用二分法求解非線性方程，設(shè)定s1=0,sh=8,ε=10-4，采用 Burg法估計(jì)雜波功率譜密度，得到的某次典型仿真結(jié)果如圖5-圖8所示。圖5(a)-圖8(a)中橫坐標(biāo)為雜波幅度，縱坐標(biāo)為幅度概率密度，虛線表示K分布雜波的理論幅度概率密度曲線，實(shí)線表示仿真得到的雜波序列的幅度概率密度曲線。圖 5(b)-圖8(b)中橫坐標(biāo)為采樣頻率，縱坐標(biāo)為功率譜密度，虛線表示K分布雜波的理論功率譜密度曲線，實(shí)線表示仿真得到的雜波序列的功率譜密度曲線。表 1給出了4種方法幅度分布的平均檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量和相對運(yùn)算時(shí)間，通過KS檢驗(yàn)和 χ2檢驗(yàn)來定量比較各種方法的雜波幅度特性模擬性能[26]，通過計(jì)算相對運(yùn)算時(shí)間來定量比較各種方法的仿真效率。

圖5 傳統(tǒng)ZMNL方法Fig. 5 Conventional ZMNL method

圖6 傳統(tǒng)SIRP方法Fig. 6 Conventional SIRP method

圖7 改進(jìn)的ZMNL方法Fig. 7 Improved ZMNL method

圖8 改進(jìn)的SIRP方法Fig. 8 Improved SIRP method

表1 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量和相對運(yùn)算時(shí)間Tab. 1 Test statistics and relative operation time

觀察圖5(a)和圖7(a)，傳統(tǒng)ZMNL方法模擬的雜波的幅度概率密度曲線與理論值有一定的偏差，相比而言，改進(jìn)的ZMNL方法對相關(guān)K分布雜波的模擬效果有明顯的改善，這與表 1中改進(jìn)的ZMNL方法的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量小于傳統(tǒng)方法的相符。比較圖5(b)和圖7(b)發(fā)現(xiàn)，忽略圖3中變量序列{y2,i}對功率譜的影響，對K分布雜波的功率譜密度帶來的影響可以忽略不計(jì)。改進(jìn)的 ZMNL方法與傳統(tǒng)ZMNL方法仿真運(yùn)算所需的時(shí)間比為25:26，由此可見，圖3所示的改進(jìn)方法在不增加仿真時(shí)間的前提下，改善了K分布雜波的模擬性能。

比較圖6(a)和圖8(a)，發(fā)現(xiàn)改進(jìn)的SIRP方法對相關(guān)相干K分布雜波的模擬效果與傳統(tǒng)SIRP方法的效果相當(dāng)，表1給出的這兩種方法的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量也近似相等。比較圖6(b)和圖8(b)，可知與傳統(tǒng)SIRP方法相比，改進(jìn)的SIRP方法也能獲得較理想的功率譜。傳統(tǒng)SIRP方法與改進(jìn)的SIRP方法仿真運(yùn)算所需的時(shí)間比為 112:1。由此可見，圖 4所示的改進(jìn)方法在不影響雜波幅度特性和功率譜特性的基礎(chǔ)上，極大地提高了仿真速度。

5 結(jié)論

本文對幅度分布特性為K分布、功率譜特性為Gaussian譜的雷達(dá)雜波模擬方法進(jìn)行了研究。針對傳統(tǒng)相關(guān)K分布雜波模擬方法中形狀參數(shù)為(半)整數(shù)的問題，通過增加Gamma分布生成支路，得到改進(jìn)的相關(guān)K分布雜波的生成方法，將K分布雜波的形狀參數(shù)從(半)整數(shù)推廣到一般正實(shí)數(shù)。針對傳統(tǒng)相關(guān)相干 K分布雜波模擬方法計(jì)算量大的問題，本文給出不通過求解非線性方程直接產(chǎn)生調(diào)制變量的改進(jìn)的相關(guān)相干K分布雜波生成方法，運(yùn)算量大大減小。仿真結(jié)果表明，改進(jìn)的ZMNL方法在不影響仿真時(shí)間的基礎(chǔ)上，改善了雜波幅度特性模擬的性能；改進(jìn)的SIRP方法在不影響幅度概率密度分布仿真結(jié)果的前提下，有效地提高了仿真速度，節(jié)約了仿真時(shí)間。

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朱潔麗(1989-)，女，安徽安慶人，清華大學(xué)碩士研究生，研究方向?yàn)槔走_(dá)信號處理。

E-mail: smile_zjl@163.com

湯 俊(1973-)，男，江蘇南京人，清華大學(xué)副教授，博士生導(dǎo)師，主要研究方向?yàn)镸IMO雷達(dá)、信息論、陣列信號處理、通用高速實(shí)時(shí)信號處理系統(tǒng)。

K-distribution Clutter Simulation Methods Based on Improved ZMNL and SIRP

Zhu Jie-li Tang Jun
(Department of Electronic Engineering, Tsinghua University, Beijing 100084, China)

Zero Memory NonLinearity (ZMNL) and Spherically Invariant Random Process (SIRP) are two commonly used methods in K-distribution clutter simulations. An improved simulation method, which adds abranch of Gamma-distributed variable and extends the shape parameter to arbitrary positive real, is proposed to address the clutter simulation error in the conventional ZMNL method. To reduce the computation required for the conventional SIRP method, an improved method of modulation variable generation is also proposed, what avoids large computations for solving nonlinear equations and improves the simulation speed. The simulation results verify the effectiveness of the improved methods.

K distribution; Radar clutter; Correlation; Coherent

TN957

A

2095-283X(2014)05-0533-08

10.3724/SP.J.1300.2014.13124

2013-12-12收到，2014-03-20改回；2014-05-26網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版

61171120)，清華大學(xué)自主科研基金 (20131089362)，國家部委重點(diǎn)基金(9140A07020212JW0101)資助課題

*通信作者： 朱潔麗 zhu-jl10@mails.tsinghua.edu.cn