四種思維真如鐵，平面向量從頭越
——一道江蘇模擬題的破解

☉江蘇省太倉高級中學 陳 健

平面向量的考查一直是每年高考、自主招生考試、數(shù)學競賽等試卷的熱點問題之一，有時單獨考查，有時與其他相關(guān)知識交匯與融合考查，是高考中能力齊全、方法多樣、思維各異的重要場所.

一、問題呈現(xiàn)

【問題】（江蘇省南京市2019屆高三二模數(shù)學試卷·12）已知AD是直角三角形ABC的斜邊BC上的高，點P在DA的延長線上，且滿足，若AD=，則的值為______.

二、多解思維

思維角度1

基底法是平面向量的本質(zhì)所在，是平面向量“幾何”化的表現(xiàn).選用合適的基底，借助平面向量的線性運算，通過極化恒等式或直角三角形的性質(zhì)加以巧妙轉(zhuǎn)化來求解相應的數(shù)量積問題.

解法1：取BC的中點O，結(jié)合平面向量的線性運算與數(shù)量積公式加以轉(zhuǎn)化得到的長度，結(jié)合極化恒等式以及勾股定理加以巧妙轉(zhuǎn)化來求解即可.

設OD=x，OB=y，則有AD2=OA2-OD2=OB2-OD2=y2-x2=2，所以結(jié)合極化恒等式可得

故填答案：2.

解法2：通過平面向量的線性運算分別表示出與，借助平面向量的線性運算與數(shù)量積公式加以轉(zhuǎn)化得到的長度，結(jié)合直角三角形的性質(zhì)AD2=DB×DC加以轉(zhuǎn)化來求解即可.

故填答案：2.

思維角度2

建系法是平面向量“代數(shù)”化的體現(xiàn)，是在可以建系的前提下進行的.建系時往往要借助平面向量中有關(guān)垂直向量的關(guān)系來處理，以此對應的向量為坐標軸所在的直線.不同的建系會導致不同的效果，經(jīng)常可以采用不同的方式來處理.

解法1：通過以A點為坐標原點，AB、AC所在的直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標系，進而確定三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，利用題目條件確定對應參數(shù)之間的關(guān)系，利用直線BC與直線AD的方程來求解點D的坐標，利用平面向量的坐標運算以及數(shù)量積公式加以轉(zhuǎn)化得到，再進一步求解即可.

以A點為坐標原點，AB、AC所在的直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標系xAy，

設△ABC的三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，

則有a2=b2+c2，A（0，0），B（c，0），C（0，b）.

圖1

由于AD是直角三角形ABC的斜邊BC上的高，則直線AD的方程為

故填答案：2.

思維角度3

三角函數(shù)法是平面向量問題在三角形中的具體展示，是平面向量問題向直角三角形回歸的充分體現(xiàn).借助三角函數(shù)的定義、三角恒等變換公式等，結(jié)合平面向量的數(shù)量積公式等加以有效轉(zhuǎn)化與求解.

解法1：引入∠DPC=α，∠DPB=β，結(jié)合條件，利用平面向量的數(shù)量積公式、直角三角形中三角函數(shù)的定義等加以轉(zhuǎn)化得到PD=2，再次利用平面向量的數(shù)量積公式，結(jié)合三角恒等變換公式，以及直角三角形中三角函數(shù)的定義等，通過直角三角形的性質(zhì)AD2=DB×DC的轉(zhuǎn)化來求解即可.

設∠DPC=α，∠DPB=β，

故填答案：2.

思維角度4

特殊圖形法是解決具有定值結(jié)論的平面向量問題的一種技巧方法.結(jié)合題目條件，通過構(gòu)造特殊的平面幾何圖形（特別是三角形、平行四邊形等），利用特殊的平面幾何圖形的特點，結(jié)合向量運算的幾何意義（三角形法則或平行四邊形法則等）來分析與求解，往往可以使解題更直觀，更簡捷，便于判斷與操作.

解法1：構(gòu)造等腰直角三角形ABC，利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到斜邊BC的中點也是D，根據(jù)條件AD=，利用數(shù)量積的轉(zhuǎn)化得到，通過勾股定理與余弦定理的轉(zhuǎn)化，利用平面向量的數(shù)量積公式來求解即可.

圖2

構(gòu)造等腰直角三角形ABC，此時斜邊BC的中點也是D，

故填答案：2.

三、規(guī)律總結(jié)

平面向量既有“數(shù)”的因素，又有“形”的思維，既是幾何的，可以畫圖；又是代數(shù)的，可以運算.因此平面向量的破解往往可以從“數(shù)”與“形”的“兩面性”思維來考慮，通過建系法或三角函數(shù)法以“數(shù)”的形式來破解，通過基底法或特殊圖形法以“形”的形式來破解，各有各的好，各有各的妙.所以，在平面向量中，充分提高平面向量的識“圖”、用“圖”能力，拓展平面向量的用“數(shù)”、解“數(shù)”思維，可以非常有效地從“數(shù)”的方面或從“形”的方面加以平面向量的“兩面性”思維，達到多角度思維、多方法處理的效果.