不同發(fā)展演化方式下的電網(wǎng)統(tǒng)計特性和魯棒性分析

馮 乾，馬天琳，齊 程，朱紅路，姚建曦，亢 楠，施輝偉，梁俊霞

(1.云南電網(wǎng)公司 北京能源新技術(shù)研究發(fā)展中心，北京100084;2.華北電力大學 新能源電力系統(tǒng)國家重點實驗室，北京102206)

3 結(jié) 論

0 引 言

電網(wǎng)正發(fā)展成為世界上最復雜的人造網(wǎng)絡之一，電網(wǎng)中的發(fā)電廠和變電站不僅數(shù)量眾多，它們之間的連接也越來越復雜。近年來頻發(fā)的大停電事故表明，復雜電力網(wǎng)絡在滿足用戶用電需求的同時，局部故障或外界攻擊誘發(fā)的大停電事故對電網(wǎng)乃至社會造成的影響也越來越嚴重［1，2］。因此，分析大停電事故發(fā)生機理并據(jù)此尋找積極防御策略和最優(yōu)電網(wǎng)發(fā)展演化方式尤為必要。

研究表明，大停電事故大都是電力系統(tǒng)中單一元件或局部故障誘發(fā)連鎖故障，致使系統(tǒng)中元件相繼退出運行，最終導致大規(guī)模停電事故發(fā)生，甚至整個電網(wǎng)崩潰。梅生偉等將現(xiàn)有電力系統(tǒng)連鎖故障模型分為以下三類:(1)基于復雜網(wǎng)絡理論的連鎖故障模型，主要包括Motter-Lai 模型、相隔中心性模型和有效性能模型;(2)基于元件級聯(lián)失效的連鎖故障模型，主要包括分支過程模型和CASCADE 模型;(3)基于電網(wǎng)動態(tài)特性描述的連鎖故障模型，主要包括:OPA 模型、Manchester 模型和隱性故障模型［3］。其中，基于復雜網(wǎng)絡理論的連鎖故障模型從宏觀的網(wǎng)絡拓撲結(jié)構(gòu)角度出發(fā)，模擬連鎖故障傳播過程，剖析大停電發(fā)生機理，建模簡單，適用于節(jié)點數(shù)目巨大的復雜的電力系統(tǒng)連鎖故障研究。近年來一大批研究者采用該方法構(gòu)建了復雜網(wǎng)絡模型［4～11］和連鎖故障模型［12］，分析了元件故障誘發(fā)的連鎖故障對網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)和性能的影 響［13～15］，并 提 出 了 一 些 有 效 的 防 控 策略［16～20］。在復雜網(wǎng)絡建模方面，比較經(jīng)典的有ER 隨機網(wǎng)絡模型［4］、具有小世界特性的WS 網(wǎng)絡模型［5］和NW 網(wǎng)絡模型［6］，以及具有無標度特性的BA 網(wǎng)絡模型［7］。實證研究表明:部分電網(wǎng)具有小世界特性或無標度特性，因此許多研究者以上述經(jīng)典模型為研究對象，開展了網(wǎng)絡魯棒性和防控措施研究。然而多數(shù)實際電網(wǎng)的結(jié)構(gòu)與ER，WS，NW 和BA 網(wǎng)絡存在一些差別，主要表現(xiàn)在度分布并非嚴格服從指數(shù)分布或冪律分布，最大節(jié)點度小于與之具有相同規(guī)模的無標度網(wǎng)絡。因此，Liu［8］等考慮電網(wǎng)發(fā)展演化過程中存在一些不確定因素，在BA 網(wǎng)絡模型［7］的基礎上提出改進無標度網(wǎng)絡發(fā)展模型，有效地降低了網(wǎng)絡的最大節(jié)點度。Li［9］等在建模時首先隨機選擇一些節(jié)點作為新增節(jié)點的局域世界，然后再從局域世界中根據(jù)度優(yōu)先原則擇優(yōu)選擇新增節(jié)點的連接節(jié)點，得到的網(wǎng)絡的度具有冪律特性、聚類系數(shù)較大而平均最短路徑較小。此外，該模型也有效地降低了網(wǎng)絡的最大節(jié)點度。曹一家［10］等同時考慮節(jié)點的度和空間距離對電網(wǎng)發(fā)展演化的影響，提出了時空演化發(fā)展模型。Mei［11］等綜合能源和負荷分布、節(jié)點的電壓等級和空間距離等對新增電廠和變電站的選址、定容和接入方式的影響，提出了小世界電網(wǎng)生長演化模型。

本文根據(jù)上述文獻［8～11］提出的改進無標度發(fā)展模型、局域世界發(fā)展模型、小世界電網(wǎng)生長演化模型和時空演化模型，建立了與云南電網(wǎng)具有相容規(guī)模和相同連接數(shù)的改進無標度網(wǎng)絡、局域世界網(wǎng)絡、小世界電網(wǎng)和時空演化網(wǎng)絡;并通過對比分析上述5 個網(wǎng)絡的統(tǒng)計特性和對單一元件故障的耐受能力(魯棒性)，找出最優(yōu)的電網(wǎng)發(fā)展演化方式，為電網(wǎng)規(guī)劃和設計提供參考和依據(jù)。

1 復雜網(wǎng)絡統(tǒng)計特性

在復雜網(wǎng)絡理論中，通常將電網(wǎng)中的發(fā)電廠和變電站簡化為網(wǎng)絡中的節(jié)點，將連接發(fā)電廠和變電站之間的連接線路簡化為邊。據(jù)此，將云南電網(wǎng)簡化為擁有88 個節(jié)點和110 條邊的網(wǎng)絡，并根據(jù)文獻［8 ～11］建立了與云南電網(wǎng)具有相容規(guī)模(節(jié)點數(shù)相同)和相同連邊數(shù)的改進無標度網(wǎng)絡(Improved scale-free)、局域世界網(wǎng)絡(Local world)、小世界電網(wǎng)(Small world)和時空演化網(wǎng)絡(Space time)。假設初始網(wǎng)絡擁有n0個節(jié)點，m0條邊，各網(wǎng)絡可通過重復如下步驟得到:

(1)改進無標度網(wǎng)絡［8］:每次新增1 個節(jié)點，根據(jù)優(yōu)先概率選擇m 個已有節(jié)點與新增節(jié)點連接。在該模型中，節(jié)點i 的優(yōu)先連接概率為

式中:α(0≤α≤1)是比例系數(shù)，表征節(jié)點度和不確定性因素所占的比例;ki是節(jié)點i 的度;NE表示網(wǎng)絡中已有節(jié)點;K 為不確定性因子，該因子包括電網(wǎng)演化過程中的不確定因素。

(2)局域世界網(wǎng)絡［9］:每次新增1 個節(jié)點，從已有節(jié)點中隨機選取M 個節(jié)點作為新增節(jié)點的局域世界，根據(jù)優(yōu)先連接概率選擇局域世界中的m個節(jié)點與新增節(jié)點連接。節(jié)點i 優(yōu)先連接概率為

式中:t 表示已經(jīng)增加節(jié)點的次數(shù);Local 表示局域世界中節(jié)點集合。

(3)時空演化網(wǎng)絡［10］:每次新增1 個節(jié)點，其坐標從網(wǎng)絡生長點(靠近網(wǎng)絡中已有節(jié)點但尚未被占據(jù)的位置)中隨機選擇;根據(jù)優(yōu)先連接概率選擇m 個已有節(jié)點與新增節(jié)點連接。節(jié)點i 優(yōu)先連接概率為

式中:li表示節(jié)點i 到新增節(jié)點的距離。

(4)小世界電網(wǎng)發(fā)展模型［11］:根據(jù)實際需求每次新增一定數(shù)量的發(fā)電廠節(jié)點和變電站節(jié)點，其坐標從網(wǎng)絡節(jié)點中根據(jù)能源和負荷分布情況擇優(yōu)選擇，并根據(jù)能源大小和負荷需求量確定新增節(jié)點的電壓等級;根據(jù)網(wǎng)絡中已有節(jié)點與新增節(jié)點之間的距離和電壓等級擇優(yōu)選擇節(jié)點與新增節(jié)點連接。表1 列出了這5 個網(wǎng)絡的統(tǒng)計特性。

表1 復雜網(wǎng)絡的統(tǒng)計特性Tab.1 Statistical characteristics of complex networks

顯然，云南電網(wǎng)的特征路徑長度、網(wǎng)絡直徑和平均介數(shù)都大于其余4 個網(wǎng)絡，但其最大度最小，聚類系數(shù)也較大。改進無標度網(wǎng)絡和局域世界網(wǎng)絡的最大度較大，但前者降低經(jīng)典BA 網(wǎng)絡最大度的效果優(yōu)于后者;二者的聚類系數(shù)、特征路徑長度、網(wǎng)絡直徑和平均介數(shù)都小于其他網(wǎng)絡，改進無標度網(wǎng)絡的最大介數(shù)最大。小世界電網(wǎng)和時空演化網(wǎng)絡的聚類系數(shù)較大，其余特性位于云南電網(wǎng)與改進無標度網(wǎng)絡、局域世界網(wǎng)絡之間。圖1 為5個網(wǎng)絡的度分布圖，度分布p(k)表示度為k 的節(jié)點所占比例，即等于度為k 的節(jié)點數(shù)/節(jié)點總數(shù)。相比其他4 個網(wǎng)絡，云南電網(wǎng)度為1 的節(jié)點所占的比例最小，度為2 和3 的節(jié)點比例最大。改進無標度網(wǎng)絡、局域世界網(wǎng)絡和小世界電網(wǎng)的度為1的節(jié)點占45 %左右，時空演化網(wǎng)絡度為1 的節(jié)點的比例也大于35%。以上分析表明，不同的電網(wǎng)發(fā)展演化方式得到的網(wǎng)絡的統(tǒng)計特性存在較大的差異，即網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)存在較大的差異，這可能影響其魯棒性。

圖1 復雜網(wǎng)絡度分布p( k)Fig.1 Degree distributions p( k) of complex networks

2 魯棒性分析

網(wǎng)絡中少數(shù)元件故障后，能量傳輸?shù)穆窂綄l(fā)生變化，引起負荷在剩余節(jié)點中重新分布，可能導致部分節(jié)點因過負荷而被移除;過負荷節(jié)點被移除后將引起新一輪的負荷重分配和節(jié)點移除，此過程將繼續(xù)循環(huán)，直到網(wǎng)絡中剩余節(jié)點的負荷都小于其容量。本文根據(jù)Motter 和Lai 提出的連鎖故障模型［12］，以節(jié)點介數(shù)定義負荷，認為節(jié)點的容量Ci正比于其初始負荷Li(0)，Ci=T·Li(0)，i=1，2，… ，n(n 為節(jié)點總數(shù);T 為耐受系數(shù))，模擬單一元件故障誘發(fā)連鎖故障傳播過程，分析和比較不同網(wǎng)絡的魯棒性差異。

為了量化單一元件故障對網(wǎng)絡的影響，本文采用歸一化故障規(guī)模Sattack(式4)、連通性水平g(式5)和相對效率R(式6)3 個評價指標，分別從網(wǎng)絡的故障規(guī)模、連通性和性能3 個角度評估網(wǎng)絡的魯棒性。歸一化故障規(guī)模越小，連通性水平和相對效率越大，表明網(wǎng)絡的魯棒性越強。

式中:Si為移除節(jié)點i 誘發(fā)的連鎖故障規(guī)模;n′為故障后最大連通域中的節(jié)點數(shù);Enorm和Efaul分別表示故障前后電網(wǎng)的效率，用公式7 計算，dij表示節(jié)點i 和j 之間的最短距離。

從以前的研究中知道，蓄意攻擊負荷最大的節(jié)點對網(wǎng)絡的結(jié)構(gòu)和性能的影響都非常大。因此，本文分別攻擊云南電網(wǎng)、改進無標度網(wǎng)絡、局域世界網(wǎng)絡、小世界電網(wǎng)和時空演化網(wǎng)絡等5 個網(wǎng)絡中負荷最大的節(jié)點，待連鎖故障傳播結(jié)束后，計算網(wǎng)絡的歸一化故障規(guī)模Sattack、連通性水平g和相對效率R，結(jié)果如圖2 ～4 所示(除云南電網(wǎng)，其余網(wǎng)絡都是20 個網(wǎng)絡的模擬結(jié)果的平均值)。顯然，隨著耐受系數(shù)T 的增加，各個網(wǎng)絡的Sattack都減小，g 和R 增大;但當T 增大到一定程度后，Sattack，g 和R 不再隨T 的增加而變化。這說明適當?shù)卦黾泳W(wǎng)絡容量有利于提高電網(wǎng)的魯棒性。圖2 顯示:小世界電網(wǎng)的Sattack最小，時空演化網(wǎng)絡的次之;當T ＜1.38 時，云南電網(wǎng)的Sattack小于改進無標度網(wǎng)絡和局域世界網(wǎng)絡的;當T ＞1.38 時，則相反。然而，在圖3 和圖4 中，只有當耐受系數(shù)T ＜1.06 時，小世界電網(wǎng)的g 和R 均最大;當T ＞1.52時，在5 個網(wǎng)絡中其g 最小，R 也僅略高于云南電網(wǎng)(5 個網(wǎng)絡中云南電網(wǎng)R 最小)。還注意到，改進無標度網(wǎng)絡和局域世界網(wǎng)絡的g 和R 增加幅度較大，然而小世界電網(wǎng)的g 和R 增加幅度非常小(T 從1 增加到2 時，g 和R 的增加幅度不足0.05)。這說明:增加容量可以有效地增強改進無標度網(wǎng)絡和局域世界網(wǎng)絡的魯棒性，云南電網(wǎng)和時空演化網(wǎng)絡的魯棒性也有一定程度的提高;但對改善小世界電網(wǎng)的魯棒性的效果不是很明顯，即不同網(wǎng)絡的魯棒性變化幅度存在較大的差別。

圖2 網(wǎng)絡歸一化故障規(guī)模Sattack隨耐受系數(shù)T 變化圖Fig.2 Changes of the normalized avalanche sizes ( Sattack)in complex networks with the tolerance parameter( T)

圖3 網(wǎng)絡連通性水平g 隨耐受系數(shù)T 變化圖Fig.3 Changes of the relative size of the largest connected components ( g) in complex networks with the tolerance parameter ( T)

圖4 網(wǎng)絡相對效率R 隨耐受系數(shù)T 變化圖Fig.4 Changes of the relative efficiencies (R) in complex networks with the tolerance parameter (T)

下面分析不同網(wǎng)絡的魯棒性隨容量增加變化幅度差異較大的原因。小世界電網(wǎng)的拓撲結(jié)構(gòu)圖(圖5)顯示:小世界電網(wǎng)中存在少數(shù)樞紐點(圖5中的節(jié)點2 和5);這些樞紐節(jié)點一旦被移除，整個網(wǎng)絡將解列為幾個連通的子區(qū)域，子區(qū)域之間無法進行能量傳輸，有利于降低節(jié)點的負荷，遏制連鎖故障進一步傳播，因此故障規(guī)模較小;然而網(wǎng)絡的連通性水平和相對效率卻因網(wǎng)絡解列而降低，且受網(wǎng)絡自身結(jié)構(gòu)限制，增大網(wǎng)絡容量并不能防止網(wǎng)絡解列，所以增加容量不能有效地提高小世界電網(wǎng)的魯棒性。與之相反，改進無標度網(wǎng)絡(拓撲結(jié)構(gòu)如圖6 所示)受到外界攻擊或局部出現(xiàn)故障后，網(wǎng)絡不會立即解列，剩余節(jié)點的負荷都較高。如果網(wǎng)絡的容量較小，節(jié)點將因過負荷而依次退出運行，故障大規(guī)模傳播，最終導致網(wǎng)絡的連通性水平和相對效率大幅下降。然而，如果節(jié)點擁有足夠的容量來承擔增加的負荷，連鎖故障就可以得到有效的控制，故障規(guī)模較小;同時網(wǎng)絡連通性水平和效率也較高。因此，增加網(wǎng)絡容量有助于提高改進無標度網(wǎng)絡的魯棒性。時空演化網(wǎng)絡與小世界電網(wǎng)類似，也存在少數(shù)可以使網(wǎng)絡解列的樞紐點，因此其魯棒性隨容量變化幅度較小。云南電網(wǎng)和局域世界網(wǎng)絡的拓撲結(jié)構(gòu)與改進無標度網(wǎng)絡類似，故增加容量有助于提高它們的魯棒性。

綜上所述，網(wǎng)絡容量和結(jié)構(gòu)是影響魯棒性的兩個重要因素。在規(guī)劃設計云南電網(wǎng)等實際電網(wǎng)時，應該根據(jù)網(wǎng)絡容量大小(通常受經(jīng)濟因素制約)確定合理的電網(wǎng)結(jié)構(gòu)。當容量較小時，可以依照小世界電網(wǎng)或時空演化網(wǎng)絡的發(fā)展演化方法規(guī)劃設計電網(wǎng);當容量較大時，則可依照改進無標度網(wǎng)絡和時空演化網(wǎng)絡的發(fā)展演化方式設計魯棒性較強的電網(wǎng)。

圖5 小世界電網(wǎng)拓撲結(jié)構(gòu)圖Fig.5 Topological structure of a small world power grid

圖6 改進無標度網(wǎng)絡拓撲結(jié)構(gòu)圖Fig.6 Topological structure of an improve scale-free network

3 結(jié) 論

本文基于復雜網(wǎng)絡理論，建立了與云南電網(wǎng)具有相同規(guī)模和相近連接數(shù)的改進無標度網(wǎng)絡、局域世界網(wǎng)絡、小世界電網(wǎng)和時空演化網(wǎng)絡，對比分析了這5 個網(wǎng)絡的統(tǒng)計特性，結(jié)果顯示不同的發(fā)展演化方式得到的網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)存在較大的差異。本文還著重從故障規(guī)模、連通性和性能3 個角度出發(fā)，分析了上述5 個網(wǎng)絡對蓄意攻擊負荷最大的節(jié)點的魯棒性。分析結(jié)果表明，網(wǎng)絡的魯棒性不僅與其容量有關(guān)，還與其結(jié)構(gòu)緊密相關(guān)。在規(guī)劃設計云南電網(wǎng)等實際電網(wǎng)時，應根據(jù)容量(受經(jīng)濟條件制約)，科學規(guī)劃電網(wǎng)結(jié)構(gòu)，盡可能地提高電網(wǎng)的魯棒性。當容量較小時，可以依照小世界電網(wǎng)或時空演化網(wǎng)絡的發(fā)展演化方法規(guī)劃設計電網(wǎng);當容量較大時，則可依照改進無標度網(wǎng)絡和時空演化網(wǎng)絡的發(fā)展演化方式設計魯棒性較強的電網(wǎng)。

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