例談“根的判別式”的用法

李恩義

〔關鍵詞〕 數(shù)學教學；根的判別式；求根公式；韋達定

理；二次三項式

〔中圖分類號〕 G633.6〔文獻標識碼〕 C

〔文章編號〕 1004—0463（2014）12—00９２—０１

在學習一元二次方程、二次函數(shù)以及二次不等式時，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）根的判別式?駐＝b2－4ac，無時不在，無處不有.正確理解“?駐”的真實含義，熟練掌握其用法，不僅對解決相關問題有所幫助，而且對學生進一步弄清這幾部分知識間的相互關系十分必要.

一、應用求根公式時，不能忽視“?駐”

例1解關于x的一元二次方程

（m－1）x2＋2mx＋（m＋3）＝0

這類問題最容易出錯的是不討論“?駐”的情況，就用公式法解.其正確的解法為：

解：?駐＝（2m）2－4（m－1）（m＋3）

＝－4（2m－3）

（1）當m≤■且m≠1時，?駐≥0，原方程有兩個實數(shù)根，x＝■.

（2）當m＞■時，?駐＜0，原方程沒有實數(shù)根.

二、應用韋達定理時，要注意“?駐”

1.一元二次方程有實根，必須有?駐≥0.

例2k為何值時，方程2x2＋kx－2k＋1＝0的兩個實數(shù)根的平方和等于■？

解：設α、β是方程的兩個實數(shù)根，由題意得

?駐＝k２－４×２（１－２k）≥0①α+β=-■②αβ＝■ ③α２+β２＝■④

由②③④得

α2＋β2＝(α＋β)2－2αβ＝（－■）2－2×■＝■

解得：k1＝－11，k2＝3.

把k1＝－11和k2＝3分別代人①，可知k1＝－11不滿足.因此，k的值是3.

2.a、c異號或兩根異號隱含著“?駐＞0”.

對于方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）來說，若■＜0，則必有?駐＝b2－4ac＞0成立.因此，解題時，只考慮■＞0即可.兩根異號可得到a，c異號，進一步可得?駐＞0.在這兩種情況下，不必重復列出?駐＞0的條件.

三、二次三項式 ax2＋bx＋c是完全平方式的充要條件為“?駐＝0”

設ax2＋bx＋c＝0，由于a≠0，故配方有

（x＋■）2＝■

顯然?駐＝0，則方程有兩個相等的實數(shù)根，ax2＋bx＋c是一個完全平方式；反之，ax2＋bx＋c是完全平式，方程有兩個相等的實數(shù)根，則?駐＝0.

例3已知多項式2x2＋2（a－c）x＋（a－b）2＋（b－c）2是一個完全平方式，求證：a＋c＝2b.

證明：∵關于x的一元二次方程2x2＋2（a－c）x＋（a－b）2＋（b－c）2＝0有兩個相等的實數(shù)根，故?駐＝0，即

［2（a－c）］2－4×2×［（a－b）2＋（b－c）2］＝0

整理得a2＋4b2＋c2－4ab－4bc＋2ac＝0，即（a－2b＋c）2

＝0

∴a－2b＋c＝0，

故有a＋c＝2b成立.

四、二次函數(shù)的圖象和x軸的交點數(shù)與“?駐”相關

拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸的交點數(shù)與一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的個數(shù)一致.

例４求證：拋物線y＝x2＋（k＋3）x＋2k－k2與x軸總有兩個交點.

證明：由方程y＝x2＋（k＋3）x＋（2k－k2）＝0，得

?駐＝（k＋3）2－4（2k－k2）

＝5k2－2k＋9

＝5（k－■）2＋■，

∵無論k取何實數(shù)值（k－■）2≥0，

∴?駐＝5（k－■）2＋■＞0，

∴拋物線y＝x2＋(k＋3)x＋2k－k2與x軸總有兩個交點. 編輯：謝穎麗

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〔關鍵詞〕 數(shù)學教學；根的判別式；求根公式；韋達定

理；二次三項式

〔中圖分類號〕 G633.6〔文獻標識碼〕 C

〔文章編號〕 1004—0463（2014）12—00９２—０１

在學習一元二次方程、二次函數(shù)以及二次不等式時，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）根的判別式?駐＝b2－4ac，無時不在，無處不有.正確理解“?駐”的真實含義，熟練掌握其用法，不僅對解決相關問題有所幫助，而且對學生進一步弄清這幾部分知識間的相互關系十分必要.

一、應用求根公式時，不能忽視“?駐”

例1解關于x的一元二次方程

（m－1）x2＋2mx＋（m＋3）＝0

這類問題最容易出錯的是不討論“?駐”的情況，就用公式法解.其正確的解法為：

解：?駐＝（2m）2－4（m－1）（m＋3）

＝－4（2m－3）

（1）當m≤■且m≠1時，?駐≥0，原方程有兩個實數(shù)根，x＝■.

（2）當m＞■時，?駐＜0，原方程沒有實數(shù)根.

二、應用韋達定理時，要注意“?駐”

1.一元二次方程有實根，必須有?駐≥0.

例2k為何值時，方程2x2＋kx－2k＋1＝0的兩個實數(shù)根的平方和等于■？

解：設α、β是方程的兩個實數(shù)根，由題意得

?駐＝k２－４×２（１－２k）≥0①α+β=-■②αβ＝■ ③α２+β２＝■④

由②③④得

α2＋β2＝(α＋β)2－2αβ＝（－■）2－2×■＝■

解得：k1＝－11，k2＝3.

把k1＝－11和k2＝3分別代人①，可知k1＝－11不滿足.因此，k的值是3.

2.a、c異號或兩根異號隱含著“?駐＞0”.

對于方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）來說，若■＜0，則必有?駐＝b2－4ac＞0成立.因此，解題時，只考慮■＞0即可.兩根異號可得到a，c異號，進一步可得?駐＞0.在這兩種情況下，不必重復列出?駐＞0的條件.

三、二次三項式 ax2＋bx＋c是完全平方式的充要條件為“?駐＝0”

設ax2＋bx＋c＝0，由于a≠0，故配方有

（x＋■）2＝■

顯然?駐＝0，則方程有兩個相等的實數(shù)根，ax2＋bx＋c是一個完全平方式；反之，ax2＋bx＋c是完全平式，方程有兩個相等的實數(shù)根，則?駐＝0.

例3已知多項式2x2＋2（a－c）x＋（a－b）2＋（b－c）2是一個完全平方式，求證：a＋c＝2b.

證明：∵關于x的一元二次方程2x2＋2（a－c）x＋（a－b）2＋（b－c）2＝0有兩個相等的實數(shù)根，故?駐＝0，即

［2（a－c）］2－4×2×［（a－b）2＋（b－c）2］＝0

整理得a2＋4b2＋c2－4ab－4bc＋2ac＝0，即（a－2b＋c）2

＝0

∴a－2b＋c＝0，

故有a＋c＝2b成立.

四、二次函數(shù)的圖象和x軸的交點數(shù)與“?駐”相關

拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸的交點數(shù)與一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的個數(shù)一致.

例４求證：拋物線y＝x2＋（k＋3）x＋2k－k2與x軸總有兩個交點.

證明：由方程y＝x2＋（k＋3）x＋（2k－k2）＝0，得

?駐＝（k＋3）2－4（2k－k2）

＝5k2－2k＋9

＝5（k－■）2＋■，

∵無論k取何實數(shù)值（k－■）2≥0，

∴?駐＝5（k－■）2＋■＞0，

∴拋物線y＝x2＋(k＋3)x＋2k－k2與x軸總有兩個交點. 編輯：謝穎麗

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〔關鍵詞〕 數(shù)學教學；根的判別式；求根公式；韋達定

理；二次三項式

〔中圖分類號〕 G633.6〔文獻標識碼〕 C

〔文章編號〕 1004—0463（2014）12—00９２—０１

在學習一元二次方程、二次函數(shù)以及二次不等式時，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）根的判別式?駐＝b2－4ac，無時不在，無處不有.正確理解“?駐”的真實含義，熟練掌握其用法，不僅對解決相關問題有所幫助，而且對學生進一步弄清這幾部分知識間的相互關系十分必要.

一、應用求根公式時，不能忽視“?駐”

例1解關于x的一元二次方程

（m－1）x2＋2mx＋（m＋3）＝0

這類問題最容易出錯的是不討論“?駐”的情況，就用公式法解.其正確的解法為：

解：?駐＝（2m）2－4（m－1）（m＋3）

＝－4（2m－3）

（1）當m≤■且m≠1時，?駐≥0，原方程有兩個實數(shù)根，x＝■.

（2）當m＞■時，?駐＜0，原方程沒有實數(shù)根.

二、應用韋達定理時，要注意“?駐”

1.一元二次方程有實根，必須有?駐≥0.

例2k為何值時，方程2x2＋kx－2k＋1＝0的兩個實數(shù)根的平方和等于■？

解：設α、β是方程的兩個實數(shù)根，由題意得

?駐＝k２－４×２（１－２k）≥0①α+β=-■②αβ＝■ ③α２+β２＝■④

由②③④得

α2＋β2＝(α＋β)2－2αβ＝（－■）2－2×■＝■

解得：k1＝－11，k2＝3.

把k1＝－11和k2＝3分別代人①，可知k1＝－11不滿足.因此，k的值是3.

2.a、c異號或兩根異號隱含著“?駐＞0”.

對于方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）來說，若■＜0，則必有?駐＝b2－4ac＞0成立.因此，解題時，只考慮■＞0即可.兩根異號可得到a，c異號，進一步可得?駐＞0.在這兩種情況下，不必重復列出?駐＞0的條件.

三、二次三項式 ax2＋bx＋c是完全平方式的充要條件為“?駐＝0”

設ax2＋bx＋c＝0，由于a≠0，故配方有

（x＋■）2＝■

顯然?駐＝0，則方程有兩個相等的實數(shù)根，ax2＋bx＋c是一個完全平方式；反之，ax2＋bx＋c是完全平式，方程有兩個相等的實數(shù)根，則?駐＝0.

例3已知多項式2x2＋2（a－c）x＋（a－b）2＋（b－c）2是一個完全平方式，求證：a＋c＝2b.

證明：∵關于x的一元二次方程2x2＋2（a－c）x＋（a－b）2＋（b－c）2＝0有兩個相等的實數(shù)根，故?駐＝0，即

［2（a－c）］2－4×2×［（a－b）2＋（b－c）2］＝0

整理得a2＋4b2＋c2－4ab－4bc＋2ac＝0，即（a－2b＋c）2

＝0

∴a－2b＋c＝0，

故有a＋c＝2b成立.

四、二次函數(shù)的圖象和x軸的交點數(shù)與“?駐”相關

拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸的交點數(shù)與一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的個數(shù)一致.

例４求證：拋物線y＝x2＋（k＋3）x＋2k－k2與x軸總有兩個交點.

證明：由方程y＝x2＋（k＋3）x＋（2k－k2）＝0，得

?駐＝（k＋3）2－4（2k－k2）

＝5k2－2k＋9

＝5（k－■）2＋■，

∵無論k取何實數(shù)值（k－■）2≥0，

∴?駐＝5（k－■）2＋■＞0，

∴拋物線y＝x2＋(k＋3)x＋2k－k2與x軸總有兩個交點. 編輯：謝穎麗

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