總強(qiáng)度磁場穩(wěn)健向下延拓的改進(jìn)泰勒級(jí)數(shù)法

卞光浪，翟國君，高金耀，朱 丹，李連登，方建勛，李 研

1.91550部隊(duì)，遼寧 大連 116023；2.國家海洋局 海底科學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，浙江 杭州 310012；3.海軍大連艦艇學(xué)院 海洋測繪科學(xué)與工程系，遼寧 大連 116018；4.海軍海洋測繪研究所，天津 300061

1 引 言

磁場向下延拓是根據(jù)觀測曲面或平面上位場數(shù)據(jù)，通過一定的數(shù)據(jù)處理手段獲取靠近場源體附近磁場信息的過程［1］。通過向下延拓可以增強(qiáng)數(shù)據(jù)分辨率，反映局部磁場的細(xì)節(jié)信息，提高數(shù)據(jù)解釋推斷的可靠性［2］。由數(shù)學(xué)物理學(xué)可知，向下延拓屬于典型的不適定問題［3］。圍繞提高向下延拓的穩(wěn)定性問題，國內(nèi)外學(xué)者提出了諸多向下延拓方法，早期最為常用的向下延拓方法是FFT法，此外，還有正則化方法、Weiner濾波法、多尺度邊緣約束法等［4－6］。然而，這些方法在實(shí)際應(yīng)用中仍存在一定的局限性，如FFT法對(duì)噪聲放大作用非常明顯，會(huì)產(chǎn)生明顯的Gibbs效應(yīng)，一般只能向下延拓2～3倍數(shù)據(jù)點(diǎn)距；而正則化法屬于有偏估計(jì)，如果正則化參數(shù)選擇不當(dāng)，可能引起較大的系統(tǒng)性偏差［7］。近年來，出現(xiàn)了一些關(guān)于向下延拓的最新研究成果，其中，文獻(xiàn)［8］提出的積分－迭代法具有較好的計(jì)算效果和較大的向下延拓深度，文獻(xiàn)［9］從數(shù)學(xué)角度證明了積分－迭代法能收斂到直接下延法理論解，該方法代表了國內(nèi)向下延拓方面的較高水平，其適用性在航空磁測數(shù)據(jù)向下延拓中得到了驗(yàn)證。

上述討論的向下延拓方法大多是利用磁場在無源空間內(nèi)為調(diào)和場這一物理特性，將空間域的褶積關(guān)系轉(zhuǎn)換成頻率域的乘積關(guān)系進(jìn)行解算。文獻(xiàn)［10］從數(shù)學(xué)角度出發(fā)，分析多元泰勒級(jí)數(shù)法在位場延拓中應(yīng)用的可行性，該方法應(yīng)用的關(guān)鍵和難點(diǎn)在于怎樣精確獲取磁場各階垂向?qū)?shù)［11］。文獻(xiàn)［12］提出聯(lián)立向上延拓和向下延拓公式來消除表達(dá)式中的奇次項(xiàng)，文獻(xiàn)［13］根據(jù)磁場及其垂向?qū)?shù)在頻率域的頻譜關(guān)系，應(yīng)用FFT法求解磁場各階垂向?qū)?shù)。這些方法在理論研究上取得了一定的效果，但一直未能在具體實(shí)踐中得到普遍應(yīng)用，主要原因是解算垂向?qū)?shù)的頻率響應(yīng)函數(shù)相當(dāng)于高頻放大器，且導(dǎo)數(shù)階數(shù)越高，放大作用越顯著。針對(duì)這些問題，筆者根據(jù)總強(qiáng)度磁異常為調(diào)和場這一特性，綜合利用空域和頻域計(jì)算，提出一種精確求解磁場各階垂向?qū)?shù)的新方法，把這些導(dǎo)數(shù)代入泰勒級(jí)數(shù)公式即可實(shí)現(xiàn)磁場穩(wěn)健向下延拓。同時(shí)，還給出了基于半余弦函數(shù)的擴(kuò)邊處理方案，以降低向下延拓過程中產(chǎn)生的邊界效應(yīng)。文中詳細(xì)研究了該方法的基本原理和技術(shù)措施，通過實(shí)測數(shù)據(jù)檢驗(yàn)了方法的有效性，并將其計(jì)算結(jié)果精度與其他延拓方法進(jìn)行了對(duì)比分析。限于篇幅，文中沒有詳述其他幾種常用方法的算法原理。

2 方法原理

2.1 關(guān)于調(diào)和函數(shù)的一個(gè)定理

設(shè)函數(shù)f在定義域Ω中任意點(diǎn)都存在連續(xù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)，滿足拉普拉斯方程式（1），則稱函數(shù)f在域Ω中調(diào)和

在三維空間直角坐標(biāo)系中，拉普拉斯方程可寫成如下形式

定理：調(diào)和函數(shù)f沿l方向的任意階方向?qū)?shù)也是調(diào)和函數(shù)。

證明：用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，以m表示方向?qū)?shù)的階數(shù)。

（1）當(dāng)m＝1時(shí)

式中，α、β和γ為方向l的方向角。

由于調(diào)和函數(shù)對(duì)x、y和z無窮階可微，即其任意階偏導(dǎo)數(shù)在域Ω中都連續(xù)，因此，偏導(dǎo)數(shù)的求解與求導(dǎo)次序無關(guān)，得

故，f沿l方向的1階方向?qū)?shù)是調(diào)和函數(shù)。

（2）假定當(dāng)m＝k時(shí)，f沿l方向的m階方向?qū)?shù)是調(diào)和函數(shù)，即有

成立。

（3）當(dāng)m＝k＋1時(shí)

因此，調(diào)和函數(shù)f沿l方向的任意階方向?qū)?shù)仍是調(diào)和函數(shù)。

2.2 Bm的準(zhǔn)調(diào)和性及其性質(zhì)

如圖1所示，實(shí)際觀測的磁場總強(qiáng)度矢量F為地磁背景場矢量B0與磁異常強(qiáng)度矢量BA之和［14］，即

圖1 各物理量關(guān)系圖Fig.1 Relationship between physical symbols

式中，Bv和B0v（v＝x、y、z）分別是磁異常強(qiáng)度與地磁場強(qiáng)度沿v方向的分量。

而實(shí)際觀測得到的總強(qiáng)度磁異常Bm是F與B0的模量差

經(jīng)整理后，得

在小尺度磁性目標(biāo)探測中，可視地磁背景場B0為常數(shù)［15］，故

由于

利用函數(shù)關(guān)于自變量的對(duì)稱性，同理可得

因而

同理，還可證明

將式（17）和式（18）代入式（12），得

文獻(xiàn)［16］中對(duì)M和N物理性質(zhì)和空間變化規(guī)律進(jìn)行了詳細(xì)分析。研究表明：M和N在空間變化規(guī)律及數(shù)值大小都差異較小，一般情況下，M和N的差值僅為幾十nT／m，而在我國范圍內(nèi)B0介于35 000～50 000nT之間，兩者比值非常小，因而ΔBm在數(shù)值上接近于零。筆者采用數(shù)值模擬試驗(yàn)對(duì)總強(qiáng)度磁異常的這一性質(zhì)多次進(jìn)行了驗(yàn)證，得到了相同的結(jié)論，即總強(qiáng)度磁異常近似滿足拉普拉斯方程，本文稱其為準(zhǔn)調(diào)和函數(shù)。下文在求解總強(qiáng)度磁異常一階垂向?qū)?shù)時(shí)，還需要用到如下性質(zhì)：總強(qiáng)度磁異常沿垂直方向的積分是調(diào)和函數(shù)，即

下面對(duì)這個(gè)性質(zhì)予以證明。

證明：如前所述，Bm可看成是BA沿地磁場方向t0的分量，即

式中，U為磁性目標(biāo)引起的磁位；L0＝cosI0cosA0；M0＝cosI0sinA0；N0＝sinI0；I0和A0分別為地磁場方向傾角和偏角。

將式（21）代入式（20）左端得

證明完畢。

2.3 改進(jìn)泰勒級(jí)數(shù)向下延拓步驟

泰勒級(jí)數(shù)向下延拓公式為

式中，Bm（x，y，0） 和Bm（x，y，h） 分別為觀測平面與延拓平面上測點(diǎn)（x，y）處總強(qiáng)度磁異常值；h為向下延拓深度。

在式（24）中，觀測面上Bm（x，y，0） 和向下延拓深度h是已知值，若要精確計(jì)算向下延拓值，關(guān)鍵是準(zhǔn)確獲取總強(qiáng)度磁異常沿垂直方向的各階導(dǎo)數(shù)。目前，常規(guī)泰勒級(jí)數(shù)法的做法是利用總強(qiáng)度磁異常和其導(dǎo)數(shù)在頻率域關(guān)系式，求解總強(qiáng)度磁異常沿垂直方向的各階導(dǎo)數(shù)。如求解Bm的第i階垂向?qū)?shù)時(shí)，首先把平面上總強(qiáng)度磁異常格網(wǎng)數(shù)據(jù)進(jìn)行傅里葉變換，再將變換后頻譜乘以垂向?qū)?shù)因子 ［2π（u2＋v2）1／2］i，結(jié) 合反傅 里葉變換得到。這種垂向?qū)?shù)頻率域響應(yīng)相當(dāng)于高頻放大器，且導(dǎo)數(shù)的階次越高，放大作用越明顯。文獻(xiàn)［17］提出采用加入圓滑因子來壓制高頻干擾的方法，對(duì)于較低階次垂向?qū)?shù)計(jì)算結(jié)果取得了一定效果，但較高階次計(jì)算結(jié)果仍然趨于發(fā)散。為了防止利用常規(guī)泰勒級(jí)數(shù)法向下延拓時(shí)出現(xiàn)發(fā)散現(xiàn)象，泰勒級(jí)數(shù)的截?cái)嚯A數(shù)一般不宜過高，且深度越大，階數(shù)應(yīng)越低，通常只取至2階左右。

根據(jù)上文推導(dǎo)的調(diào)和函數(shù)Bm物理性質(zhì)，提出計(jì)算總強(qiáng)度磁異常沿垂直方向各階導(dǎo)數(shù)新方法，其具體步驟為：

2.4 半余弦函數(shù)擴(kuò)邊處理方案

幾乎所有向下延拓方法都會(huì)產(chǎn)生邊界效應(yīng)，而已有的擴(kuò)邊方法通常會(huì)導(dǎo)致在數(shù)據(jù)接邊處產(chǎn)生不光滑，從而導(dǎo)致高階導(dǎo)數(shù)對(duì)高頻干擾的放大作用更明顯，應(yīng)用效果欠佳。受數(shù)字信號(hào)處理一維擴(kuò)邊處理方法啟發(fā)，將其引入并擴(kuò)展至二維平面數(shù)據(jù)擴(kuò) 邊 處 理中。用BmY（1 ：m，1：n） 表 示 格 網(wǎng)化后總強(qiáng)度磁異常數(shù)據(jù)矩陣，m和n分別為數(shù)據(jù)矩陣行數(shù)和列數(shù)。設(shè)需將磁場數(shù)據(jù)在平面四個(gè)方向上進(jìn)行擴(kuò)邊，為簡便計(jì)，令數(shù)據(jù)矩陣在行的上下兩端擴(kuò)邊數(shù)目各為m′；在列的左右兩側(cè)擴(kuò)邊數(shù)目均為n′。擴(kuò)邊后數(shù)據(jù)矩陣可表示為BmK（1－m′：m＋m′，1－n′：n＋n′） ，其 中，BmK（i，j）＝BmY（i，j） ，（1≤i≤m，1≤j≤n）。采用的半余弦擴(kuò)邊處理方案為

上述半余弦函數(shù)擴(kuò)邊方案在接邊處是光滑的，且擴(kuò)邊后測點(diǎn)數(shù)目無需為2的整數(shù)次冪。

3 實(shí)測數(shù)據(jù)分析

為檢驗(yàn)本文方法在實(shí)踐中的應(yīng)用情況，采用文獻(xiàn)［18—19］中實(shí)測資料進(jìn)行分析。磁測資料是我國某海區(qū)船載磁力測量和航空磁力測量數(shù)據(jù)，選取其中部分重疊測區(qū)，面積為21 950×21 950m2。船載磁力測量時(shí)布設(shè)的測線間距約100m，測點(diǎn)間距約6m；航空磁力測量時(shí)測線間距約250m，測點(diǎn)間距約33m，平均飛行高度是195m。為更好地驗(yàn)證向下延拓結(jié)果的精度，采用連續(xù)曲率張力樣條法對(duì)船載和航空磁測數(shù)據(jù)進(jìn)行格網(wǎng)化，格網(wǎng)化后格網(wǎng)間距均為50m×50m。按照《海洋調(diào)查規(guī)范·海洋地質(zhì)地球物理調(diào)查》［20］中給出的海洋磁測數(shù)據(jù)處理方法，對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行了粗差剔除、地磁日變改正、地磁日變基值歸算、長期變化改正、船磁校正和正常場校正等數(shù)據(jù)處理后，航測和船測磁異常等值線如圖2所示，等值線間隔為10nT。

圖2 測區(qū)航空和船載磁力測量總強(qiáng)度磁異常等值線圖Fig.2 Contour map of total field magnetic anomaly from an airborne and seaborne magnetic survey

從圖2（a）可以看出，航空磁力測量得到的總強(qiáng)度磁異常變化相對(duì)平緩，最大值為258.32nT，最小值為－116.71nT；船載磁力測量較航空磁力測量的觀測面更接近于磁性體，能夠反映磁場的細(xì)節(jié)信息，因而得到的總強(qiáng)度磁異常變化也較為劇烈，其最大值為339.15nT，最小值為－148.21nT。為了定量比較不同方法向下延拓精度，并排除邊界效應(yīng)對(duì)統(tǒng)計(jì)結(jié)果的影響，同時(shí)考慮到向下延拓深度較?。s4倍點(diǎn)距），選取圖2（a）中虛線框內(nèi)格網(wǎng)點(diǎn)數(shù)據(jù)，即D＝｛（x，y）｜550m≤x≤21 400m，550m≤x≤21 400m｝，采用的精度評(píng)價(jià)指標(biāo)見式（29）

假定船載磁力測量結(jié)果為真值，如果將航空磁力測量值不經(jīng)過向下延拓，直接作為延拓結(jié)果與船載磁力測量值差值中誤差為11.03nT。積分－迭代法是目前精度很高的向下延拓方法，因此，本文主要比較分析積分－迭代法和本文方法在實(shí)測數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用效果。

圖3是用積分－迭代法將z＝195m高度的航空磁力測量總強(qiáng)度磁異常向下延拓至z＝0m高度的結(jié)果，下延的深度約為4倍點(diǎn)距。圖3（a）中給出的是不同迭代次數(shù)時(shí)（本文取1～40次）積分－迭代法延拓至0m高度后與船載磁力測量值差值的中誤差，選取的迭代步長為0.5?？梢钥闯?，由于航空磁力測量成果數(shù)據(jù)中包含一定的誤差，造成積分－迭代法延拓值與船載磁力測量值差值中誤差隨迭代次數(shù)的增加呈現(xiàn)先減小后增大的趨勢，且在迭代次數(shù)為5次時(shí)中誤差達(dá)到最小，精度最高。圖3（b）是積分－迭代法迭代次數(shù)為5次時(shí)對(duì)應(yīng)的延拓結(jié)果，此時(shí)延拓得到的總強(qiáng)度磁異常最大值為318.95nT，最小值為－145.47nT，利用式（29）計(jì)算得到虛線框內(nèi)延拓值與船載磁力測量值差值的中誤差為6.14nT（假若延拓方法本身無誤差時(shí)，延拓值與船載磁力測量值差值中誤差應(yīng)為 4nT），驗(yàn)證了積分－迭代法具有較高的向下延拓精度。

圖3 積分－迭代法向下延拓結(jié)果Fig.3 Total field magnetic anomaly downward continuation using integral－iteration method

圖4是采用改進(jìn)泰勒級(jí)數(shù)法將z＝195m高度的航空磁力測量總強(qiáng)度磁異常向下延拓至z＝0m高度的結(jié)果。圖4（a）是不同截?cái)嚯A數(shù)情況下改進(jìn)泰勒級(jí)數(shù)法向下延拓值與船載磁力測量值差值中誤差。受磁力測量值中含有誤差的影響，改進(jìn)泰勒級(jí)數(shù)法延拓精度隨著截?cái)嚯A數(shù)的增加而逐漸降低。當(dāng)截?cái)嚯A數(shù)為1階時(shí)，總強(qiáng)度磁異常最大值為319.46nT，最小值為－146.72nT，利用式（29）計(jì)算得到的中誤差為6.07nT，可以看到，改進(jìn)泰勒級(jí)數(shù)法同樣具有較高的向下延拓精度，且略高于積分—迭代法計(jì)算精度。當(dāng)采用半余弦函數(shù)在測區(qū)4個(gè)方向上進(jìn)行了10%擴(kuò)邊處理后，泰勒級(jí)數(shù)截?cái)嚯A數(shù)為1階時(shí)延拓值和船載磁力測量值差值中誤差可進(jìn)一步減小為5.98nT。

圖4 改進(jìn)泰勒級(jí)數(shù)法計(jì)算結(jié)果Fig.4 Total field magnetic anomaly downward continuation using improved Taylor series

4 結(jié) 論

（1）研究表明，總強(qiáng)度磁異常近似滿足拉普拉斯方程，其在無源空間內(nèi)為準(zhǔn)調(diào)和函數(shù)，且沿垂直方向的導(dǎo)數(shù)和積分同樣為調(diào)和函數(shù)。

（2）向下延拓方法中的FFT法和常規(guī)泰勒級(jí)數(shù)法都存在較強(qiáng)的邊界效應(yīng)，且向下延拓深度越大，邊界效應(yīng)越明顯；而積分－迭代法和提出的改進(jìn)泰勒級(jí)數(shù)法同樣存在一定程度邊界效應(yīng)。因此，在向下延拓某一測區(qū)磁場信息時(shí)，應(yīng)盡可能使用于延拓的原始數(shù)據(jù)范圍大于延拓后測區(qū)的范圍；當(dāng)兩者范圍相同且不能改變時(shí)，可采用半余弦擴(kuò)邊處理方案減弱邊界效應(yīng)的影響。

（3）試驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證表明，本文提出的方法實(shí)現(xiàn)了磁場穩(wěn)健向下延拓，且計(jì)算精度略高于積分－迭代法計(jì)算精度。但由于積分－迭代法無法預(yù)知待延拓深度處磁場的真值，故其迭代次數(shù)無法預(yù)先準(zhǔn)確確定，因而一定程度上制約了該方法的應(yīng)用效果。而本文方法的限制性因素較少，具有更強(qiáng)的適用性。如果再結(jié)合擴(kuò)邊處理方案，改進(jìn)泰勒級(jí)數(shù)向下延拓精度要略高于直接采用積分－迭代法。

（4）本文采用雙三次樣條函數(shù)計(jì)算了磁場在水平方向上的二階導(dǎo)數(shù)，該方法對(duì)于無噪聲或噪聲水平較低的觀測數(shù)據(jù)具有很高的精度。而觀測數(shù)據(jù)中包含較強(qiáng)的高斯噪聲時(shí)，利用三次樣條函數(shù)得到的二階導(dǎo)數(shù)精度有所降低。此時(shí)，可采用二階中心差分方法計(jì)算磁場在水平方向上的二階導(dǎo)數(shù)，經(jīng)筆者驗(yàn)證效果較好。

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