微積分及其在經(jīng)濟學中的應用

沈奇

（黑河學院 數(shù)學系，黑龍江 黑河 164300）

微積分及其在經(jīng)濟學中的應用

沈奇

（黑河學院 數(shù)學系，黑龍江 黑河 164300）

微積分的產(chǎn)生是數(shù)學發(fā)展史上一個重要的里程碑，在近代數(shù)學的發(fā)展中起到了重要的作用.微積分方法目前已被應用于各個學科領域.本文對微積分進行了簡單的介紹，并對微積分在經(jīng)濟領域的邊值問題、最值問題進行了相應的分析，給出了微分學和積分學在經(jīng)濟領域的應用實例.

微積分；邊值問題；最值問題

1 微積分的產(chǎn)生及思想

“微積分”由微分學和積分學兩部分組成，自17世紀以來，通過科學家們對不同領域的課題進行研究，使得微積分應運而生.微積分的產(chǎn)生通?？煞譃槿齻€階段：極限概念的產(chǎn)生；求積的無限小法（分割、求和、取極限）；積分和微分的互逆關.微積分的產(chǎn)生和發(fā)展構成了近代數(shù)學的主要內(nèi)容，對數(shù)學的發(fā)展具有重要的意義.

微積分主要解決兩類問題，即變化率問題（微分問題）和積累問題（積分問題）.解決變化率問題的思想是，考察在某個點附近的小范圍內(nèi)，近似的以“不變代變”、“以靜代動”，求得平均變化率.該平均變化率近似等于該點處的瞬時變化率.再將小范圍無限縮小而趨向于零，促使“近似”轉(zhuǎn)化為“精確”，從而求得函數(shù)在指定點處的變化率.

積分問題的基本思想是，先將整體化為有限個微小的局部，在每個局部“以直代曲”、“以不變代變”，再積零為整求和式，得到整體的近似值，最后，再使每一局部無限變小，通過求和式極限，促使“近似”轉(zhuǎn)化為“精確”,從而得到積累問題的準確值[1,2,3].

微積分的產(chǎn)生、發(fā)展與實際問題緊密相連，其思想為函數(shù)類型的判斷、極值問題等提供了理論依據(jù)，并且在航海、天文學、物理學和經(jīng)濟學等領域得到了廣泛地應用.

2 微分在經(jīng)濟學中的應用

2.1 微分在邊際問題中的應用

邊際問題是經(jīng)濟學研究的重要問題之一，比如邊際成本、邊際收入、邊際利潤等，在經(jīng)濟學角度看來都是十分重要的問題.

現(xiàn)假設經(jīng)濟函數(shù)y=f(x)，并且在定義域內(nèi)是可微的，那么有：

f'(x)稱為函數(shù)f(x)的邊際函數(shù)，表示因變量關于自變量的變化率，即經(jīng)濟變量的變化率.f'(x)在x0點處的函數(shù)值f'(x0)稱為邊際函數(shù)值，表示經(jīng)濟變量x在x=x0條件下改變一個單位，經(jīng)濟函數(shù)值改變f'(x0)個單位.因此，總成本函數(shù)的微分即為邊際成本、總利潤函數(shù)的微分就是邊際利潤，等等[4].

下面以邊際成本為例，分析微分在邊際問題中的應用.

設某企業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品，其產(chǎn)量為q，生產(chǎn)總成本為C，C是關于q的函數(shù)，且函數(shù)關系式為：C(q)=0.02q3+3q+200，那么邊際函數(shù)為：C'(q)=0.06q2+3.

現(xiàn)假設產(chǎn)量為100，那么此時邊際成本為：C'(100)=0. 06×1002+3=603，其經(jīng)濟意義表示當產(chǎn)量達到100時，若再增加一個單位的產(chǎn)量，總成本將會增加603，如果令產(chǎn)品的單位為p，當p>603時，此時擴大生產(chǎn)將會盈利；當p<603時，擴大生產(chǎn)將會導致虧損.

2.2 微分在最值問題中的應用

在自然科學、生產(chǎn)技術領域中，往往需要考慮如何在消耗最小的情況下，使得收益達到最大化的問題，在經(jīng)濟生產(chǎn)中，為了提高經(jīng)濟效益，這種關于優(yōu)化的最值問題也是十分重要的.例如利潤是衡量一個企業(yè)經(jīng)濟效益的重要因素，那么如何實現(xiàn)投入成本最低，而使得利潤達到最大呢？這節(jié)將討論在經(jīng)濟活動中的最值問題.

定理 設函數(shù)f(x)在x0點的某一鄰域中有定義，f(x)在x0點連續(xù)且可導，若f'(x0)=0，且f(x)在x0點二階可導，那么有：若f"(x0)<0，則x0是f(x)的極大值點.

對產(chǎn)品從生產(chǎn)到銷售的過程進行核算時，都會涉及到成本、收益和利潤的問題.設產(chǎn)量為q，則總成本為C通常為q的函數(shù)，一般表示為：

其中F>0為固定成本，通常認為與產(chǎn)量無關，為常數(shù)；V (q)·q為可變成本，V(q)是常值函數(shù)或常數(shù)，表示在生產(chǎn)q件產(chǎn)品的情況下，每生產(chǎn)一件產(chǎn)品的可變成本.設總收益為E(q)=p(q)·q，其中p(q)為價格函數(shù)，表示在生產(chǎn)q件產(chǎn)品的情況下，每件產(chǎn)品的銷售價格.

由1中討論可知C(q)、E'(q)分別為邊際成本和邊際收益，其經(jīng)濟學意義分別表示：在生產(chǎn)（銷售）q件產(chǎn)品的情況下，再生產(chǎn)（銷售）一件產(chǎn)品的成本（收入）.

令總利潤函數(shù)為P(q)，那么有：

P(q)=E(q)-C(q)

當C(q)和E(q)的二階導數(shù)存在時，要使得利潤達到最大，由上述定理可知，應滿足以下條件：

例 某產(chǎn)品的價格p(q)=α-βq（α,β>0,q<α/β），成本C(q) =F+vq（F,v為常數(shù)），那么利潤P(q)=E(q)-C(q)=-βq2+(α-v)q-f,要使利潤最大，即，則可得產(chǎn)量q=α-v02β（α-v>0保證企業(yè)盈利）.

3 積分在邊值問題中的應用

在前面的討論中，我們采用微分的方法求解由總函數(shù)求邊值函數(shù)的問題.正如數(shù)學的角度一樣，微分和積分是一對互逆的運算.本節(jié)我們將討論用積分法求解由邊值函數(shù)求解總函數(shù)的問題.

在經(jīng)濟問題中，通常會遇到對已知導數(shù)求原函數(shù)的問題，即求解常微分方程的問題.由邊值函數(shù)求解總函數(shù)一般采用不定積分；如果要求總函數(shù)在某個范圍的該變量，則采用定積分來求解.由于邊際收益、邊際成本、邊際利潤在產(chǎn)出量q的變動區(qū)間[α,β]上的增量等于它們各自邊際在區(qū)間[α, β]上的定積分[5]，于是有:

例 設某產(chǎn)品的邊際成本和邊際收益為：C'(q)=0. 6q+10，E'(q)=30-0.2q

（1）產(chǎn)量由5增加到10時，總成本和總收益增加多少？

（2）已知固定成本為1萬元，產(chǎn)量為多少時總利潤最大，此時總利潤、總成本和總收為多少？

解（1）產(chǎn)量由100增加到500時總成本與總收益的增加量分別為：

（2）由邊際成本函數(shù)可得總成本函數(shù)：

由C(0)=1，代入上式得C=1，故總收益函數(shù)為

由邊際效益可得總效益函數(shù)：

由E(0)=0，代入上式得C=0，故總收益函數(shù)為

又由

可知，q=25時，總利潤最大.此時，總利潤、總成本和總收益分別為：

4 總結

在上述的討論中，本文只對微積分在經(jīng)濟研究中的部分應用進行了相應的分析，而且，在經(jīng)濟領域中的很多類似的定量分析問題均可采用微積分的方法進行求解，微積分在經(jīng)濟研究中具有重要的作用.不僅如此，數(shù)學思想在經(jīng)濟學領域的應用，也使得金融數(shù)學學科得到了快速發(fā)展.利用數(shù)學思想對某些抽象的經(jīng)濟問題進行分析，可使問題簡單化，易于理解.因此，將數(shù)學求解問題的方法應用到經(jīng)濟領域具有重要的意義.

〔1〕陳紀修，於崇華，金路.數(shù)學分析[M].北京：高等教育出版社，2004.

〔2〕馬國良.微積分發(fā)展淺議[J].云南財經(jīng)學院學報，2000.

〔3〕李萬軍.微積分思想及其認識[J].周口師范學院學報，2008.

〔4〕吳元芬.論微積分在經(jīng)濟分析中的應用[J].數(shù)學學習與研究，2010(15).

〔5〕譚瑞林，劉月芬.微積分在經(jīng)濟分析中的應用淺析[J].商場現(xiàn)代化，2008.

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1673-260X（2014）12-0006-02