APOS理論指導(dǎo)下的概念教學(xué)設(shè)計(jì)——以“銳角三角比的意義”為例

☉上海市外國(guó)語(yǔ)大學(xué)附屬外國(guó)語(yǔ)學(xué)校 李禎俊

☉上海市外國(guó)語(yǔ)大學(xué)附屬外國(guó)語(yǔ)學(xué)校 李禎俊

一、問題的提出

李邦河院士曾說(shuō)“數(shù)學(xué)根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也.”數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)理論大廈的基石，是中學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的重要組成部分.不依托于概念的解題訓(xùn)練猶如把高萬(wàn)丈高樓建于沙地，容易導(dǎo)致學(xué)生過于依賴技巧和模式，雖然能解題，但是缺乏舉一反三的變通能力，非但不能“熟能生巧”反而“生厭”、“生笨”.事實(shí)上，掌握概念并運(yùn)用概念進(jìn)行判斷和推理正是解題的關(guān)鍵，提高解題能力應(yīng)該從重視概念教學(xué)開始.

APOS理論是美國(guó)數(shù)學(xué)家杜賓斯基于上世紀(jì)90年代提出的數(shù)學(xué)教育心理學(xué)理論，該理論是對(duì)皮亞杰的“反思性抽象”（Reflective abstraction）理論的拓展［1］，其針對(duì)的正是數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)過程.APOS理論的四個(gè)字母分別代表了理解數(shù)學(xué)概念的四個(gè)階段：Action（活動(dòng)），Process（程序），Object（對(duì)象），Schema（圖式）.它揭示了學(xué)生在建構(gòu)數(shù)學(xué)概念時(shí)的過程和層次，為教師提供了教學(xué)設(shè)計(jì)的具體模式和策略.

在美國(guó)及其他一些國(guó)家已有實(shí)驗(yàn)證明在APOS理論指導(dǎo)下設(shè)計(jì)的課程顯著優(yōu)于傳統(tǒng)課程，而國(guó)內(nèi)的研究還多停留在理論階段.為了實(shí)現(xiàn)該理論與中國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)際的更好融合，需要更多建立在理論基礎(chǔ)上的針對(duì)現(xiàn)行教材的教學(xué)設(shè)計(jì)和實(shí)踐.

二、APOS理論指導(dǎo)下 “銳角三角比的意義”教學(xué)設(shè)計(jì)

“銳角三角比”承接著中學(xué)階段平面幾何和函數(shù)這兩大體系中的重點(diǎn)問題——“相似三角形”和“三角函數(shù)”，同時(shí)它又是“圖形函數(shù)問題”和“函數(shù)圖形問題”的重要載體，數(shù)形結(jié)合的典范，故歷來(lái)是初三階段學(xué)習(xí)、考核的重點(diǎn)和難點(diǎn).

在上海市教材中“銳角三角比的意義”大綱安排為2課時(shí)，作者立足于教材，結(jié)合APOS理論進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，以下是截取的部分教學(xué)片斷及說(shuō)明：

教學(xué)片斷1：通過“行動(dòng)”引入概念.

問題1：在圖1～3中，能否確定未知邊、角的值？怎樣求？

圖1

圖2

圖3

問題2：（1）若把上題中的特殊角改成一般角呢？如圖4～6，未知邊、角的值是否也唯一確定？

圖4

圖5

圖6

（2）如圖7，構(gòu)造Rt△ABD和Rt△ADC.

圖7

在讓學(xué)生充分地自主思考和交流后，教師因勢(shì)利導(dǎo)，利用直角三角形給出銳角三角比的定義.

設(shè)計(jì)意圖：在教學(xué)實(shí)踐中我們常常發(fā)現(xiàn)有的學(xué)生雖能熟背概念卻不能用其解題，怎樣才能使概念教學(xué)更好地為解題服務(wù)呢？本設(shè)計(jì)從概念的引入出發(fā)做了一些嘗試.根據(jù)APOS理論，“行動(dòng)”是概念學(xué)習(xí)的第一階段，通過操作讓學(xué)生體會(huì)概念產(chǎn)生的背景和意義將有助于加深概念的理解，并從本質(zhì)上提高概念的應(yīng)用能力.設(shè)計(jì)中的問題1和問題2圍繞概念的應(yīng)用展開，同時(shí)又基于學(xué)生們熟悉的全等三角形和特殊角的直角三角形問題，合理的“腳手架”設(shè)置讓學(xué)生得以在一步一步的“行動(dòng)”中發(fā)現(xiàn)問題的突破口，不僅使概念的給出顯得水到渠成，且為如何應(yīng)用概念解決問題指明了方向.

總結(jié)歸納：如圖8，已知∠A的正弦（余弦、正切、余切）值，請(qǐng)同學(xué)們填空并總結(jié)公式a=______=______；c=________=_______；b=_______=________.

教學(xué)片斷3：反復(fù)操作實(shí)現(xiàn)內(nèi)化.練習(xí)：

圖8

圖9

設(shè)計(jì)意圖：如何幫助學(xué)生在了解概念的基礎(chǔ)上更快、更全面地熟悉概念并用于解題？APOS理論認(rèn)為反復(fù)操作是實(shí)現(xiàn)“行動(dòng)的內(nèi)化”（interiorization）的必要過程，因而此時(shí)引入一定數(shù)量的變式訓(xùn)練恰逢其時(shí).由于“行動(dòng)”已漸漸為個(gè)體所熟悉并形成“程序”，給出的例題和練習(xí)亦須符合相應(yīng)的心理特征才能達(dá)到最佳的教學(xué)效果.例1依托于銳角三角比基本概念，此時(shí)出現(xiàn)具有雙重作用：首先，其解決過程需要對(duì)概念的反向操作，即“程序的逆轉(zhuǎn)”，而這正是APOS理論中“程序”階段的心理特征之一，同時(shí)，例1的結(jié)論是之后解決三角形問題的基礎(chǔ)，相應(yīng)的總結(jié)及鞏固練習(xí)有助于學(xué)生概念應(yīng)用能力的提高.

教學(xué)片斷4：程序的壓縮與解壓縮.

思考并小結(jié)：同一個(gè)角的正切值和余切值有什么關(guān)系？正弦值和余弦值呢？

教學(xué)片斷5：針對(duì)“對(duì)象”的性質(zhì)討論.

例3 已知：0°＜∠A＜∠B＜90°，則sinA_____sinB；cosA____cosB；tanA____tanB；cotA______cotB.

設(shè)計(jì)意圖：我們都知道提高解題能力的訣竅之一是把某些復(fù)雜的“程序”“壓縮”（encapsulation）為“對(duì)象”.APOS理論認(rèn)為實(shí)現(xiàn)“壓縮”不僅需要個(gè)體主動(dòng)、反復(fù)運(yùn)用“程序”去實(shí)施相應(yīng)的行動(dòng)，解壓縮（de-encapsulate）的過程同樣十分重要.例2的解決需要反復(fù)實(shí)施“壓縮”和“解壓縮”的過程，它的操作有助于銳角三角比作為一個(gè)工具的形成.而一旦銳角三角比脫離了直角三角形作為獨(dú)立的“對(duì)象”出現(xiàn)，對(duì)其相關(guān)性質(zhì)的討論可以讓學(xué)生從不同角度審視它，從而更深刻地理解它.在利用例2、例3得出結(jié)論的過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探索并引起討論，最后通過總結(jié)幫助學(xué)生完成從感性認(rèn)識(shí)到抽象概括的升華.

教學(xué)片斷6：程序的組合，納入知識(shí)體系，形成圖式.

思考題：1.sinα是方程3x2－7x+2=0的一個(gè)根，求tanα.

圖10

設(shè)計(jì)意圖：銳角三角比工具可以幫助我們解決大量函數(shù)、圖形等綜合性問題，但實(shí)現(xiàn)的前提是能進(jìn)行程序的組合并把新的概念納入原有知識(shí)體系.APOS理論指出，概念需要在循環(huán)的過程中才能逐步納入已有的知識(shí)體系，形成心理圖式（見APOS理論模型圖，如圖11）.題1不僅把銳角三角比與一元二次方程結(jié)合，而且需要考慮到其作為對(duì)象的多種性質(zhì)（取值范圍等）；題2則更是把概念直接納入了函數(shù)問題中，且需要考慮兩種不同的情況，問題本身不難，卻集中了幾何和函數(shù)的雙重背景，為將來(lái)函數(shù)圖像題和圖像函數(shù)題的解決打下伏筆.

圖11

三、APOS理論指導(dǎo)下概念教學(xué)的幾點(diǎn)建議

（1）在學(xué)習(xí)之初，通過“行動(dòng)”幫助學(xué)生了解概念產(chǎn)生的意義和應(yīng)用價(jià)值是APOS理論指導(dǎo)下概念教學(xué)的重要一環(huán)，而選擇好的問題讓學(xué)生操作則是成功的關(guān)鍵.同時(shí)，所謂“過猶不及”，好的問題也要結(jié)合時(shí)間和進(jìn)程的合理控制，以保證后階段學(xué)習(xí)的順利進(jìn)行.

（2）APOS理論給我們最重要的啟發(fā)之一便是概念教學(xué)必須遵循一定的心理學(xué)規(guī)律.忽視對(duì)學(xué)生學(xué)情的了解，一味貪多求難，只能“欲速則不達(dá)”，而循序漸進(jìn)的教學(xué)設(shè)計(jì)才是最有利于學(xué)生牢固掌握知識(shí)和提高解題能力.

（3）圖式的形成是一個(gè)漸進(jìn)的建構(gòu)過程，要實(shí)現(xiàn)這一過程、對(duì)象階段的反復(fù)壓縮、解壓縮必不可少，好的例題能使練習(xí)更高效，從這一角度，傳統(tǒng)教學(xué)中的變式訓(xùn)練在概念教學(xué)的某些階段具有其獨(dú)特的價(jià)值，理應(yīng)得到合理繼承和發(fā)揚(yáng).

1.鮑建生，周超.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理基礎(chǔ)和過程［M］.上海：上海教育出版社，2009.

2.上海市中小學(xué)（幼兒園）課程改革委員會(huì).九年制義務(wù)教育課本·數(shù)學(xué)·九年級(jí)第一學(xué)期［M］.上海：上海教育出版社，2007.