“不等式及其解集”課堂教學(xué)探討——基于“問題解決與學(xué)習(xí)評價”模式的教學(xué)研究

☉江蘇省如皋市外國語學(xué)校 石飛虹

筆者曾有幸參加過全市青年教師比武大賽，針對教材“不等式及其解集”的教學(xué)內(nèi)容，以“問題解決與學(xué)習(xí)評價”的教學(xué)模式構(gòu)建生本課堂，促進(jìn)教學(xué)目標(biāo)的有效生成.本文擬從教學(xué)內(nèi)容與目標(biāo)解讀、教學(xué)過程實錄與目標(biāo)達(dá)成分析、教學(xué)反思與課后思考等方面進(jìn)行深入分析，以期課堂教學(xué)達(dá)到良好效果.

一、教學(xué)內(nèi)容與目標(biāo)解讀

1.教學(xué)內(nèi)容及其解讀

本節(jié)教材選自人教版《義務(wù)教育教科書》七年級下冊第九章第一節(jié)“不等式及其解集”.其學(xué)習(xí)內(nèi)容主要包括：（1）不等式的概念；（2）不等式的解及解集的概念；（3）嘗試用驗證的方法解不等式；（4）在數(shù)軸上表示不等式的解集.由于本節(jié)課是本章學(xué)習(xí)的起始課，同時也是初中階段不等式學(xué)習(xí)的起始課.學(xué)生在小學(xué)已經(jīng)學(xué)習(xí)過有關(guān)數(shù)量的大于、小于、不等于的不等關(guān)系，會用符號“＞”、“＜”、“≠”表示有關(guān)數(shù)量關(guān)系，但用不等式這樣的數(shù)學(xué)模型表示生活中的不等關(guān)系還沒有學(xué)過.所以在小學(xué)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步學(xué)習(xí)不等式是十分必要的.

教材在章前圖的情境創(chuàng)設(shè)上，貼近生活實際，借助“商場購物消費”的話題，提出問題“當(dāng)兩家商場推出不同的優(yōu)惠方案時，到哪家商場購物花費少？”讓學(xué)生倍感親切、真實.在學(xué)習(xí)內(nèi)容的設(shè)計上，教材選用了一個具體行程的問題，結(jié)合問題中的不等關(guān)系，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題（其中蘊含了符號化、模型化的思想）——不等式，然后類比方程（等式），對不等式進(jìn)行討論，引出不等式及其解集的概念.在這一過程中體現(xiàn)列不等式蘊含的建模思想，在不等式概念的形成中滲透符號意識和化歸思想.在理解不等式解集幾何表示中突出數(shù)形結(jié)合思想.

2.教學(xué)重點、難點分析

基于以上分析，本節(jié)課的重點是正確理解不等式、不等式解與解集的意義，把不等式的解集正確地表示到數(shù)軸上.在知識點的層面上是三個基本概念（不等式、不等式的解和解集），在思維層面上則是數(shù)學(xué)思想的滲透（類比、建模、符號意識、數(shù)形結(jié)合）.難點是正確理解不等式解集的意義.

3.教學(xué)目標(biāo)及解讀

（1）教學(xué)目標(biāo)：

①了解不等式以及解（解集）的概念，會把不等式的解集正確地表示到數(shù)軸上.

②經(jīng)歷“把實際問題抽象為不等式”的過程，通過類比等式的對應(yīng)知識，探索不等式的概念和解，體會不等式與等式的異同，初步掌握類比的思想方法.體會不等式是刻畫現(xiàn)實世界中不等關(guān)系的一種有效的數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)學(xué)生的建模意識.

③通過對不等式概念及其解集等有關(guān)概念的探索，培養(yǎng)學(xué)生的知識遷移能力和建模意識，加強同學(xué)之間的合作交流意識.

⑵目標(biāo)解讀：

教學(xué)中采用“從現(xiàn)實背景中提出問題；組織學(xué)生進(jìn)入研究階段；幫助學(xué)生進(jìn)行獨立或合作研究的過程；展示成果、分析評價問題解決過程；總結(jié)問題解決過程，形成知識遷移”這一教學(xué)模式完成本課的學(xué)習(xí).通過學(xué)習(xí)努力達(dá)成：

①了解教材中關(guān)于不等式概念的兩種說法，一是“用符號‘＞’、‘＜’表示大小關(guān)系的式子，叫做不等式”；二是“用符號‘≠’表示不等關(guān)系的式子也是不等式”.明白這里的“符號”指“＜”、“＞”或“≠”（關(guān)于“≤”和“≥”號本課暫不提出）.

②使學(xué)生知道使不等式成立的未知數(shù)的值叫做不等式的解，這樣的解有無數(shù)個，含有未知數(shù)的不等式的所有的解，組成這個不等式的解集，認(rèn)識到不等式的解集包括了不等式的全體的解.

③了解不等式的解集的表示方法有兩種：一是用式子形式（如x＞2），即用最簡形式的不等式（x＞a或x＜a）；另一種是用數(shù)軸，標(biāo)出數(shù)軸上的某一區(qū)間.其中的點對應(yīng)的數(shù)值都是不等式的解.這兩種形式分別是用“數(shù)”和“形”表示不等式的解集.“會把不等式的解集正確地表示到數(shù)軸上”就是要求學(xué)生會“找界點”、“定方向”.

通過對不等式概念及其解集等有關(guān)概念的探索，培養(yǎng)學(xué)生的知識遷移能力和建模意識，加強同學(xué)之間的使用與交流.在這一過程中實現(xiàn)師生合作交流，構(gòu)建生本課堂，回歸教學(xué)本源.

④通過經(jīng)歷“把實際問題抽象為數(shù)學(xué)模型——不等式”的過程中學(xué)會用類比等式的對應(yīng)知識，理性思考探索不等式的概念和解，體會不等式與等式的異同，初步掌握類比的思想方法，感悟不等式是刻畫現(xiàn)實世界中不等關(guān)系的一種有效的數(shù)學(xué)模型.

二、教學(xué)過程實錄與達(dá)成目標(biāo)分析

結(jié)合學(xué)情特點、教材體系、課題理念等實際，確定本節(jié)課的教與學(xué)的方式是：創(chuàng)設(shè)情境，問題導(dǎo)入——新課（問題探究和解決）——練習(xí)（鞏固新知識）——反饋（對解決問題過程的再現(xiàn)）——測試（檢驗教學(xué)目標(biāo)的落實）.

1.創(chuàng)設(shè)情境，問題導(dǎo)入

師（導(dǎo)語）：同學(xué)們，在上一章中，我們學(xué)習(xí)了二元一次方程組，它和我們以前學(xué)過的一元一次方程一樣都是用等量關(guān)系來刻畫實際生活中的一些數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而解決生活中的一些數(shù)學(xué)問題.請同學(xué)們觀察以下情境，思考情境中提出的問題.

情境1：如圖1（投影展示），天平左盤放2個紅球，右盤放1個5g砝碼，天平傾斜.設(shè)每個紅球的質(zhì)量為xg.

圖1

（1）如何用含x的代數(shù)式表示天平左盤中兩個紅球的總質(zhì)量？

（2）觀察圖1，你發(fā)現(xiàn)了什么關(guān)系？你能說明這是什么關(guān)系嗎？

（3）如何用數(shù)學(xué)符號來表示天平左右兩邊代數(shù)式的數(shù)量關(guān)系？

教師引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真讀題，弄清題意，同桌交流解決.

師（提問）：你們能解出情境1中的三個問題嗎？

生1：⑴天平左盤中兩個紅球的總質(zhì)量為2x；

生2：我發(fā)現(xiàn)天平左邊托盤較重，這是一種不等關(guān)系，即左邊大于右邊.

生3：用數(shù)學(xué)符號來表示為：2x＞5.

師：同學(xué)們回答得不錯，情境1描述了現(xiàn)實生活中的數(shù)量有大小之分的不等關(guān)系.本章就來研究現(xiàn)實生活中數(shù)量的這些不等關(guān)系.列出相應(yīng)的數(shù)學(xué)式子——不等式（組），類比等式和方程，討論不等式的性質(zhì)和解法，感受不等式在研究不等關(guān)系問題中的重要作用.（板書）課題：“不等式及其解集”.

達(dá)成分析：從“天平”問題情境引入本課課題，既尊重教材又不拘泥于教材，有效地達(dá)到了學(xué)生都初步從感性上建立起現(xiàn)實生活中數(shù)量有大小之分這一不等關(guān)系，成功地將學(xué)生引入學(xué)習(xí)新知識的過程之中.有效的教學(xué)一定要從學(xué)生已經(jīng)知道了什么開始.

2.問題導(dǎo)航，感知概念

問題1：每年5月的第二個星期日是母親節(jié)，母親節(jié)是一個感謝母親的節(jié)日，母親們在這一天通常會收到禮物.忘憂草（又叫萱草花，如圖2）被稱作母親的花.在母親節(jié)的這一天，我班的張三同學(xué)按八折買了2束忘憂草作為母親節(jié)禮品，共付了16元錢.

圖2

（1）設(shè)每束忘憂草的標(biāo)價為x元，可列出方程：_____.

（2）付費超過16元呢？你知道每束忘憂草的標(biāo)價是多少元嗎？

（3）如果付費少于16元呢？

學(xué)生小組合作學(xué)習(xí)一會后教師提問.

師：請一學(xué)生板書問題1的結(jié)果.

師：題目中的幾個關(guān)鍵詞“八折”、“超過”、“少于”的含意是什么？

達(dá)成分析：問題1在本課中起導(dǎo)入新課作用，考慮學(xué)生實際情況（分析應(yīng)用題能力尚欠缺）和課本中問題的難度，所以設(shè)置這個問題串，降低難度.這樣編排體現(xiàn)知識呈現(xiàn)的序列性，從易到難，使得學(xué)生“列不等式”的能力實現(xiàn)螺旋式上升.通過實例，讓學(xué)生認(rèn)識到不等關(guān)系在生活中的存在；通過問題的解答，讓學(xué)生了解不等式的概念，體會不等式是解決實際問題的有效工具，同時滲透了感恩教育.從課堂中的實際效果看，教師的這一設(shè)想基本達(dá)到.

師：觀察式子（1）、（2）、（3），它們表示的是什么關(guān)系？有何區(qū)別？

生：第（1）個式子表示的是相等關(guān)系，第（2）和（3）表示的是不等關(guān)系.

師：式子（1）、（2）、（3）分別叫什么？

生：式子（1）是含有未知數(shù)的等式，叫方程，式子（2）、（3）是不等式.

師：同學(xué)們能否給不等式也下一個定義？

生：能，像（2）和（3）這樣用符號“＜”或“＞”表示大小關(guān)系的式子，叫做不等式.

師：不等式還有其他表示法嗎？

師：非常好.那么我們知道的不等式表示數(shù)量之間的什么關(guān)系呢？

生：一是表示大小關(guān)系，如5＞3，-1＜0；二是表示不等關(guān)系，如-5≠5.

達(dá)成分析：采用學(xué)生熟悉的生活情境作為導(dǎo)入內(nèi)容，然后層層推進(jìn)，步步設(shè)問，環(huán)環(huán)相扣，直至推出不等式的概念及概念理解中應(yīng)注意的地方.這樣實現(xiàn)了讓學(xué)生從已有的數(shù)學(xué)經(jīng)驗出發(fā)，從生活中建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，為后面利用“不等式”這一模型解決生活中實際問題做好鋪墊，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)生活化、生活數(shù)學(xué)化.

師：請同學(xué)們嘗試完成下面一組問題.并將你的結(jié)果在黑板上板書出來和大家分享.

幻燈演示：嘗試練習(xí)，應(yīng)用新知：用適當(dāng)?shù)氖阶颖硎鞠铝袉栴}中的數(shù)量關(guān)系.

（1）-3小于2；

（2）y的2倍大于8；

（3）某數(shù)a與2的差小于－1；

生（板書）：（1）-3＜2；（2）2x＞8；（3）a-2＜-1.

師：講評（略）.

達(dá)成分析：鞏固練習(xí)的作用是讓學(xué)生用不等式來刻畫題中3個簡單的數(shù)量關(guān)系，鞏固上面所學(xué)的知識，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生列不等式能力.學(xué)生得出答案并不難，該環(huán)節(jié)教師深入到學(xué)生的解題過程中，觀察指導(dǎo)學(xué)生的解題思路，注意讓學(xué)生獨立完成，講評時聽學(xué)生的評價，使學(xué)生再次感知不等式的概念.

師：觀察上面的不等式，除你表示出的有關(guān)數(shù)量關(guān)系外，你還有什么發(fā)現(xiàn)？

生（思考后）：有些不等式不含未知數(shù)，如-3＜2；有些不等式含有未知數(shù)，如2x＞8，a-2＜-1.

師：太好了.下面我們就類似研究方程的方法來研究含有未知數(shù)的這類不等式.

（1）你能從下列數(shù)中找出使不等式成立（或符合條件）的數(shù)值嗎？這些使不等式成立的值叫什么？

0 5 10 15 20 25

（2）不等式還有其他解嗎？若有，有多少？這些解應(yīng)滿足什么條件？

（3）不等式的所有解叫什么？

（4）怎樣在數(shù)軸上表示不等式的解集？

教師出示問題，學(xué)生獨立思考并解答，并引導(dǎo)學(xué)生共同評價，得出結(jié)果.

師（提問）：你找出使不等式成立的數(shù)值是哪些？

生：我找出使不等式成立的數(shù)值有0、5.

師：你是怎樣確定的？

師：與方程的解類似，我們把使不等式成立的未知數(shù)的值叫什么？

眾生：使不等式成立的未知數(shù)的值叫做不等式的解.

生（思考后回答）：1，2，3，4，－1，－2，－3……無數(shù)個.

師（強調(diào)）：不等式與方程的區(qū)別是不等式的解不止一個.

師：這些解應(yīng)滿足什么條件？能不能用一個比較簡捷的式子表示呢？

生2（思考后回答）：x＜10.

師：不等式的這些所有解叫什么？

生：不等式的解集.

師（板書）：一個含有未知數(shù)的不等式的所有的解，組成這個不等式的解集.

師：求不等式的解集的過程叫做解不等式（怎樣解不等式，我們將在后面學(xué)習(xí)）.

達(dá)成分析：此環(huán)節(jié)學(xué)生積極按“觀察特點——猜想結(jié)論——驗證猜想”的思路先讓學(xué)生先行討論，教師深入小組，仔細(xì)傾聽學(xué)生意見，參與學(xué)生討論，最后師生共同探究.教師根據(jù)學(xué)生思考情況，做適當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)、講解、強調(diào)，最后再給出不等式解集定義.

問題3：直接說出下列不等式的解集，并在數(shù)軸上表示出來.

（1）2x＜8；（2）x-2＞0.

組織學(xué)生有針對性的討論，討論要點：

①確定不等式的解集.

②在數(shù)軸上確定表示不等式的解集相對應(yīng)的點.

③參考課文122頁的圖示9.1-1，理解確定表示不等式解集的射線方向和表示不等式解集的范圍？

④理解課文122頁框內(nèi)敘述：“在表示不等式的解集相應(yīng)的點上畫空心圓圈”的含意.

學(xué)生按討論要點進(jìn)行小組活動，教師巡視并重點關(guān)注：學(xué)生討論是否根據(jù)討論要點進(jìn)行；討論中學(xué)生是否積極展示自己的想法，敘述是否有條理，語言是否準(zhǔn)確；學(xué)生是否能熟練畫出數(shù)軸，會用數(shù)軸表示解集.

師：多媒體展示學(xué)生學(xué)習(xí)結(jié)果，并歸納關(guān)于不等式2x＜8的解集.

文字語言：小于4的數(shù)；數(shù)學(xué)式子：x＜4.

數(shù)軸表示如圖3.

圖3

師（概括）：用數(shù)軸表示不等式解集的步驟是：

第一步，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)軸；

第二步，找點：確定表示不等式的解集的相應(yīng)的點（折射線端點）；

第三步，定向（大于向右，小于向左）；

第四步，當(dāng)不等號為“＜”或“＞”時，射線端點用圓圈表示.

達(dá)成分析：通過問題3組織學(xué)生有針對性地討論，調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，每位學(xué)生都動起來，邊算、邊答、邊畫、邊交流，在數(shù)學(xué)活動中獲取成功的體驗機(jī)會，主要達(dá)成以下幾點：

一是較好地完成了本環(huán)節(jié)主要任務(wù)：突出重點和突破難點.通過對學(xué)生已有的數(shù)學(xué)知識進(jìn)行拓展延伸，解釋不等式的解，然后遞進(jìn)到不等式的解集，最后發(fā)展到解集的兩種表述方法，符合知識發(fā)生發(fā)展形成過程.

二是實現(xiàn)了學(xué)習(xí)中正向遷移的作用.雖然解不等式不是本節(jié)課教學(xué)目標(biāo)，但問題3的第（1）問的設(shè)計意圖是想在方程的解與同它對應(yīng)的不等式的解之間建立一種聯(lián)系，這樣設(shè)計充分發(fā)揮學(xué)習(xí)心理學(xué)中正向遷移的作用，借助已有的方程知識，可以為學(xué)習(xí)不等式提供一條學(xué)習(xí)之路.

三是滲透了數(shù)學(xué)思想.通過解決問題3，得出不等式的解，再引導(dǎo)學(xué)生觀察解的特點，探索出解集的兩種表示方法（符號表示、數(shù)軸表示），培養(yǎng)了學(xué)生用估算方法求解集的技能，觀察能力和數(shù)感，并且滲透了數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想.

3.課堂達(dá)成，學(xué)習(xí)評價

課堂練習(xí)（投影展示）：

（1）已知下列各數(shù)，請將是不等式3x＞5的解的數(shù)填到圖4的橢圓中.

－4，－2.5，0，1，2，3，4.8，8.

（2）不等式3x＞5的解集是：_________.

（3）在數(shù)軸上表示不等式3x＞5的解集，正確的是（ ）.

圖4

（4）某班同學(xué)經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，1個易拉罐瓶可賣0.1元，1名山區(qū)貧困生一學(xué)期住校生活費用大約是500元.該班同學(xué)計劃資助兩名山區(qū)貧困生一學(xué)期生活費用，他們已從自已的零花錢中集資了450元，不足部分準(zhǔn)備靠回收易拉罐所得，那么他們一年至少要回收多少個易拉罐？

學(xué)生獨立練習(xí)后同桌互動交流、評價，教師講評過程略.

達(dá)成分析：運用本節(jié)所學(xué)的知識，解決實際問題，使學(xué)生經(jīng)歷將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再加以解決的過程，實現(xiàn)對所學(xué)知識的鞏固和深化.通過對學(xué)生熟悉的生活背景進(jìn)行處理，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)生活化，能將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題加以解決，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識.

4.課堂小結(jié)，布置作業(yè)

問題4：你對不等式及解集有何認(rèn)識？通過學(xué)習(xí)有什么感想？

生（甲）：不等式和方程或方程組一樣，都是解決實際問題的數(shù)學(xué)模型.

生（乙）：通過和方程的類比來學(xué)習(xí)不等式的相關(guān)知識.

師：非常好，兩位同學(xué)都回答得很好，希望同學(xué)們做好課后作業(yè)，及時鞏固，希望你們學(xué)習(xí)愉快！

作業(yè)：教科書 習(xí)題9.1 第1、2、3題.

達(dá)成分析：通過學(xué)習(xí)自我反思、交流，引導(dǎo)學(xué)生自主完成對本節(jié)知識技能和思想方法的小結(jié)，多數(shù)學(xué)生養(yǎng)成“反思”的好習(xí)慣，并訓(xùn)練了學(xué)生的語言表述能力，不斷積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗.

三、教學(xué)反思與課后思考

本節(jié)課，是一節(jié)數(shù)學(xué)概念課，主要體現(xiàn)如下幾點：

1.通過問題導(dǎo)學(xué)，不等式及解集的概念在問題解決的過程中直白生成

問題是知識和能力的生長點，教學(xué)過程也是學(xué)生的認(rèn)知過程.遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，有意識、有計劃、有條理地設(shè)計一些引人入勝的問題，讓學(xué)生始終處在積極的思維狀態(tài).只有學(xué)生積極地參與教學(xué)活動才能收到良好的效果，才能不知不覺中接受了新知識，分散了難點.本課采用情境啟發(fā)、問題解決、實例探究、及時評價的教學(xué)方法，揭示了知識的發(fā)生和形成過程.這種教學(xué)方法以“問題解決”為基礎(chǔ)，先“提出問題”，后“講評點撥”，讓學(xué)生在克服困難與障礙的過程中充分發(fā)揮自己的觀察力、想像力和思維力，再加上多媒體的運用，使不等式及解集的概念在緩慢的問題解決的過程中直白生成.

2.通過互動交流，不等式及解集的概念在緩慢的探索質(zhì)疑中踏實生成

讓學(xué)生主動參與、合作交流，并通過計算、驗證、思考，初步體會不等式與方程的區(qū)別和聯(lián)系，突出知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，即不等式與方程一樣，都是反映客觀事物變化規(guī)律及其關(guān)系的模型.教學(xué)過程中注重展現(xiàn)知識的來龍去脈，引導(dǎo)學(xué)生的思維活動，給學(xué)生一條觀察事物（情景）、提出問題、分析問題、解決問題的線索，以增強學(xué)生的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，類比已經(jīng)學(xué)過的方程知識，引導(dǎo)學(xué)生自己去探索、發(fā)現(xiàn)、甄別，從而得出不等式及解集的意義，使不等式及解集的概念在互動交流，探索質(zhì)疑中踏實生成.

3.通過激情生趣，不等式及解集的概念在緩慢的討論思辨中靈動生成

本課設(shè)置了現(xiàn)實的問題情境，如天平和母親節(jié)禮品“忘憂草”，討論思辨這些問題，在課堂教學(xué)實施中尋找最適合學(xué)生思維水平的最佳出發(fā)點，切入點！將數(shù)學(xué)教學(xué)視為一種活動、一種過程、一種支撐注重活動過程的數(shù)學(xué)教學(xué)新型課堂，這種新型課堂可以使學(xué)生體會到現(xiàn)實生活中存在著大量的不等關(guān)系，不等式是現(xiàn)實世界中不等關(guān)系的一種數(shù)學(xué)表示形式，它也是刻畫現(xiàn)實世界中量與量之間關(guān)系的有效模型，使不等式及解集的概念在緩慢的討論思辨中靈動生成.