例說(shuō)編制數(shù)學(xué)題目的若干關(guān)注點(diǎn)

☉江南大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué) 錢云祥

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，無(wú)論是課堂教學(xué)，還是單元測(cè)試，或是期中、期末考試，都離不開(kāi)數(shù)學(xué)題目.關(guān)于數(shù)學(xué)題目的編制，許多一線教師雖然也在不時(shí)地做著相關(guān)的工作，但由于對(duì)相關(guān)理論的學(xué)習(xí)不夠，致使實(shí)際命題操作中常常會(huì)暴露出諸多問(wèn)題.這既不利于對(duì)學(xué)生進(jìn)行有效的訓(xùn)練，也不利于對(duì)學(xué)生的學(xué)業(yè)水平進(jìn)行科學(xué)的評(píng)價(jià).基于這些思考，筆者形成此文，力圖通過(guò)對(duì)一些實(shí)際案例的剖析，與廣大一線教師一起透視數(shù)學(xué)題目編制中值得關(guān)注的若干要點(diǎn)，以期提高大家對(duì)數(shù)學(xué)題目編制的認(rèn)識(shí)與理解.

一、不因“題小”而隨意

對(duì)于填空題、選擇題這樣的常見(jiàn)題型，不少老師往往認(rèn)為這是小題目，大可不必仔細(xì)推敲，于是在實(shí)際編制中常常顯得過(guò)于隨意.

案例1：－2的相反數(shù)為_(kāi)______，它的倒數(shù)為_(kāi)_____.

案例2：如圖1，在四邊形ABCD中，AB=4，BC=6，則當(dāng)BD=____時(shí)，△ABD∽△DBC.

圖1

對(duì)于案例2中的問(wèn)題，可以從兩個(gè)角度入手去加以修改彌補(bǔ).方法1：增加題干條件“BD平分∠ABC”，以使條件充分；方法2：改變題目設(shè)計(jì)方案，修改為：“如圖1，在四邊形ABCD中，AB=4，BC=6，若△ABD∽△DBC，則BD=_________.”這樣，將結(jié)論與部分條件對(duì)換，從而使得條件充分.

從上述兩個(gè)案例可以看出，教師在編制數(shù)學(xué)題目時(shí)，切忌因題目“小”而不重視，編制數(shù)學(xué)題目中的點(diǎn)滴隨意，往往就會(huì)埋下禍根，或者造成歧義，或者導(dǎo)致錯(cuò)題出現(xiàn).

二、不因“可解”而收筆

在編制數(shù)學(xué)題目時(shí)，需要教師對(duì)所編制的題目仔細(xì)推敲，反復(fù)打磨，然而不少老師只停留于“可解”的層面，往往因?yàn)樽约核坪踝龀隽恕按鸢浮?，于是就匆匆收筆.

圖2

圖3

案例3：如圖2，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，AB=6，CD=5，∠B=40°，∠C=70°，求梯形ABCD的周長(zhǎng).

該題目所設(shè)置的問(wèn)題是求梯形的周長(zhǎng).命題者預(yù)設(shè)了學(xué)生會(huì)添設(shè)如圖3所示的輔助線，當(dāng)給出梯形ABCD中∠B、∠C的度數(shù)之后，恰好能構(gòu)成等腰三角形DEC，于是不難求得EC=DE=AB.當(dāng)給出AD、AB的長(zhǎng)度之后，即能求出BC的長(zhǎng).為求梯形ABCD的周長(zhǎng)，還需知道CD的長(zhǎng)，于是命題者在題干中又補(bǔ)充了條件CD=5.表面上看，條件充分，解答無(wú)誤，但是本題卻存在一處科學(xué)性錯(cuò)誤.我們不妨來(lái)分析△DEC，由∠DEC=40°、∠EDC=∠C=70°可知這個(gè)三角形的形狀被確定了，再加上EC=ED=6，其大小也被確定了.換句話說(shuō)，由以上條件可知△DEC是一個(gè)形狀、大小都已確定的三角形——根據(jù)三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，不難求得CD=12cos70°.因此，CD的長(zhǎng)又怎能再隨意給定？也就是說(shuō)，以上各項(xiàng)條件之間產(chǎn)生沖突.沖突造成的原因，是命題者在創(chuàng)設(shè)試題時(shí)，隨意添加條件所致.由此可見(jiàn)，編制數(shù)學(xué)題目，切忌為了表面的“可解”而不斷補(bǔ)充增加條件，切忌因?yàn)榻處煛澳芙狻倍J(rèn)為題目編制大功告成.要知道，條件相互沖突的題目，本身就是錯(cuò)題，又何談“可解”呢？

三、不為“求全”而拼湊

在數(shù)學(xué)題目的編制中，有些老師為了能在一道題中考查多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，常常會(huì)把若干道題目進(jìn)行組合，這本無(wú)可厚非.然而，為了過(guò)于“求全”而拼湊，則往往難以達(dá)成預(yù)設(shè)的考查目標(biāo)，反而會(huì)適得其反，產(chǎn)生消極影響.

案例4：（某校九年級(jí)第二學(xué)期中考專題復(fù)習(xí)課的一道課外作業(yè)題）

圖4

（1）從鄰居處得知蟹苗的放養(yǎng)密度為3只/平方米，這下他犯愁了：得買多少只蟹苗呢？請(qǐng)你幫他算一算.

（2）秋天到了，老王看著長(zhǎng)大的螃蟹，心里美滋滋的，他想估計(jì)螃蟹的總質(zhì)量.于是，經(jīng)高人指點(diǎn)，老王從池塘中隨意撈了20只螃蟹，稱得質(zhì)量分別如下（單位：克）：

210 240 190 210 320 180 250 220 240 250

300 220 300 240 210 220 160 220 240 240

①螃蟹質(zhì)量的眾數(shù)是__________克，平均每只質(zhì)量為_(kāi)_________克；

②請(qǐng)你幫老王估計(jì)今年螃蟹的總質(zhì)量（千克）.

（3）今年老王收入頗豐，他的膽子也大了起來(lái)，準(zhǔn)備繼續(xù)養(yǎng)殖螃蟹，同時(shí)在正方形區(qū)域ABCD的兩邊各圍一片如圖5所示的正方形區(qū)域養(yǎng)鱔魚(yú)，如果鱔苗的放養(yǎng)密度為60條/平方米，你能再告訴老王需要買多少條鱔魚(yú)苗嗎？

圖5

（4）鱔魚(yú)苗放養(yǎng)成熟后，經(jīng)測(cè)算，成年鱔魚(yú)一條重約30克.

①為了測(cè)算鱔魚(yú)的成活率，老王從池塘里捕上500條鱔魚(yú)做上標(biāo)記，然后放回池塘里去，待帶標(biāo)記的鱔魚(yú)完全混合于鱔魚(yú)后，再次捕上300條鱔魚(yú)，其中有標(biāo)記的鱔魚(yú)有15條，請(qǐng)你幫老王計(jì)算一下鱔魚(yú)的成活率.（精確到1%）

②老王以12元/500克的價(jià)格將這些鱔魚(yú)出售后，心里總是覺(jué)得不踏實(shí)，不知這些鱔魚(yú)有沒(méi)有賺到錢，于是，他統(tǒng)計(jì)了養(yǎng)殖鱔魚(yú)的總支出（如表所示），請(qǐng)你幫他算一算盈虧情況.

購(gòu)苗費(fèi)用 3398元飼料費(fèi)用 2520元特產(chǎn)稅 2480元雜費(fèi) 1500元

（5）老王吸取了養(yǎng)鱔魚(yú)的經(jīng)驗(yàn)，開(kāi)始關(guān)注歷年螃蟹銷售的市場(chǎng)行情了.由資料得知，從十月一日起的100天內(nèi)，螃蟹的市場(chǎng)售價(jià)y1（單位：元/千克）與上市時(shí)間x（單位：天）的關(guān)系可用圖6中的一條線段表示；螃蟹的養(yǎng)殖成本y2（單位：元/千克）與上市時(shí)間x（單位：天）的關(guān)系是

圖6

①寫出y1與x之間的關(guān)系式；

②如果認(rèn)定市場(chǎng)售價(jià)減去養(yǎng)殖成本為純收益，那么老王何時(shí)出售螃蟹收益最大？

這是道應(yīng)用類綜合題，考查了圓中的相關(guān)計(jì)算、勾股定理的應(yīng)用、相關(guān)統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算、用樣本估計(jì)總體、用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的最值等知識(shí)點(diǎn).盡管試題取材于現(xiàn)實(shí)生活，富有現(xiàn)實(shí)意義，但是這些內(nèi)容在一道題目中一股腦兒地呈現(xiàn)出來(lái)，使得題目看上去十分龐雜臃腫，整道題目給人的感覺(jué)就是“到底有完沒(méi)完”.試想，面對(duì)這樣的題目，學(xué)生的心態(tài)究竟如何？

由此可見(jiàn)，為“求全”而拼湊的題目，一方面，在形式上沒(méi)有美感；另一方面，會(huì)給學(xué)生造成心理壓力，不利于學(xué)生良好學(xué)習(xí)品質(zhì)的形成.

四、不為“求難”而刁難

在編制數(shù)學(xué)題時(shí)，不少老師總覺(jué)得似乎題目不帶點(diǎn)難度就不過(guò)癮，于是就刻意地編制了一些“難題”，實(shí)際效果如何呢？也許與命題者的初衷并不一致.

案例5：在四邊形ABCD中，O為AC、BD的交點(diǎn)，現(xiàn)有下列四個(gè)條件：①AD∥BC，②AB=CD，③OA=OC，④∠ABC=∠ADC.給出以下6種組合：（1）①②；（2）①③；（3）①④；（4）②③；（5）②④；（6）③④.其中，能判定四邊形ABCD是平行四邊形的所有組合為（ ）.

A.（2）（3）B.（2）（3）（4）

C.（2）（3）（6）D.以上都不正確

顯然，組合（1）無(wú)法推得四邊形ABCD為平行四邊形，反例為“等腰梯形”；由組合（2）或（3）易證得四邊形ABCD為平行四邊形；至于其他的3種組合，對(duì)于絕大多數(shù)學(xué)生而言，很難判斷能否推得四邊形ABCD是否為平行四邊形，因?yàn)樗麄円环矫婧茈y想到具體的證明方法，另一方面也很難舉出反例.分析到這里，對(duì)比四個(gè)選項(xiàng)，發(fā)現(xiàn)它們都有可能是正確項(xiàng).接下來(lái)怎么辦？難道是猜？顯然，這絕非命題者的本意.

事實(shí)上，組合（4）、（5）都無(wú)法推得四邊形ABCD是否為平行四邊形.反例分別如圖7、圖8所示.限于篇幅，具體說(shuō)明略.

圖7

圖8

圖9

而組合（6），則可用反證法予以證明.如圖9，在四邊形ABCD中，有OA=OC，∠ABC=∠ADC，假設(shè)四邊形ABCD不是平行四邊形，則OB≠OD（否則由OA=OC、OB=OD可得四邊形ABCD是平行四邊形）.不妨設(shè)OB＞OD，則可在OB上截取OB′=OD，連接AB′、CB′，易證四邊形AB′CD為平行四邊形，從而得到∠AB′C=∠ADC.又因?yàn)椤螦BC=∠ADC，所以∠AB′C=∠ABC.另一方面，由于∠AB′D＞∠ABD，∠CB′D＞∠CBD，故∠AB′D+∠CB′D＞∠ABD+∠CBD，即∠AB′C＞∠ABC.從而產(chǎn)生矛盾，所以假設(shè)“四邊形ABCD不是平行四邊形”錯(cuò)誤，故四邊形ABCD是平行四邊形.

綜合以上分析，最后得出正確選項(xiàng)為“C”.不過(guò)，我們?cè)O(shè)身處地地?fù)Q位思考，學(xué)生在獨(dú)立完成此題時(shí)，是否有能力用相應(yīng)的方法來(lái)解答這道選擇題？如果不能，那么我們命制這樣的題目去訓(xùn)練學(xué)生又有什么價(jià)值？編制題目讓學(xué)生進(jìn)行訓(xùn)練，其目的是為了發(fā)展學(xué)生，而非打擊學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和自信心.所以說(shuō)，編制題目中的刻意“求難”，其實(shí)是刁難.

五、不為“情景”而變味

為體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用性，在編制數(shù)學(xué)題目時(shí)，命題者常常需要添加一定的問(wèn)題情境.然而，若不能較好地理解與把握，則可能步入為情景而情景的怪圈，從而使得好好的數(shù)學(xué)題變了味.

案例6：某人從地下2樓乘電梯到地上8樓，共上升了________層樓.

仔細(xì)分析這道填空題，足見(jiàn)命題者在創(chuàng)設(shè)情景方面確實(shí)動(dòng)了番腦筋.看似簡(jiǎn)單的一道數(shù)學(xué)題，其答案為上升了9層樓，而非10層樓.考查了什么知識(shí)？是8比－2大幾嗎？不是！這道題頗有腦筋急轉(zhuǎn)彎的味道——不存在0樓.顯然，這道題作為數(shù)學(xué)題而言，價(jià)值不大，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練毫無(wú)意義.學(xué)科性原則要求所命制的數(shù)學(xué)題，應(yīng)該體現(xiàn)數(shù)學(xué)本身的學(xué)科知識(shí)和內(nèi)涵，切不可為了情景而情景，結(jié)果過(guò)于嘩眾取寵而丟失了應(yīng)有的數(shù)學(xué)味.

結(jié)語(yǔ)：編制數(shù)學(xué)題目，大有講究.好的題目，必然需要在人文性、學(xué)科性、趣味性、應(yīng)用性、科學(xué)性、導(dǎo)向性等方面把握得當(dāng).科學(xué)地命題，既能加強(qiáng)對(duì)學(xué)生知識(shí)與技能的訓(xùn)練，又能對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況進(jìn)行測(cè)量與評(píng)價(jià)，即根據(jù)相對(duì)客觀與標(biāo)準(zhǔn)化的測(cè)量結(jié)果，結(jié)合一定的標(biāo)準(zhǔn)，教師可對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)水平作出相應(yīng)的評(píng)價(jià).所以說(shuō)，命題質(zhì)量的高低，將直接影響教學(xué)的有效性與評(píng)價(jià)的科學(xué)性.為了提升題目的編制質(zhì)量，教師確有必要加強(qiáng)這方面的自我修養(yǎng)，以更好地促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展.

1.鐘玖珍，龐彥福.初三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)策略再探——談二輪復(fù)習(xí)的選題原則、方法和評(píng)價(jià)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2013（11）.

2.中華人民共和國(guó)教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

3.錢云祥.有效學(xué)業(yè)評(píng)價(jià)——初中數(shù)學(xué)練習(xí)測(cè)試命題問(wèn)題診斷與指導(dǎo) ［M］.長(zhǎng)春：東北師范大學(xué)出版社，2011.