運(yùn)用教學(xué)路線(xiàn)圖 深入研討數(shù)學(xué)課

吳裕良

摘 要：很多研課存在脫離課堂實(shí)際和對(duì)課堂整體把握不準(zhǔn)的不良傾向。教學(xué)路線(xiàn)圖，作為實(shí)際課堂的概括表征，在課堂觀(guān)察、課堂分析、設(shè)計(jì)優(yōu)化等研課環(huán)節(jié)中非常有用，是提高研課質(zhì)量的重要工具。

關(guān)鍵詞：研課；教學(xué)路線(xiàn)圖；課堂觀(guān)察；課堂分析；教學(xué)優(yōu)化

我們?cè)谘姓n活動(dòng)中感到，很多研課存在兩種不良傾向：一是脫離課堂的實(shí)際內(nèi)容和進(jìn)程。一些教師對(duì)課堂活動(dòng)的評(píng)價(jià)，雖然說(shuō)得頭頭是道、有理有據(jù)，但與正在研究的課堂距離較遠(yuǎn)，對(duì)課堂改進(jìn)沒(méi)有現(xiàn)實(shí)的幫助。二是對(duì)課堂的整體把握不準(zhǔn)。個(gè)別教師單獨(dú)進(jìn)行局部細(xì)節(jié)的評(píng)說(shuō)，盡管分析細(xì)致、建議具體，但往往不適合課堂整體的實(shí)際需要，在課堂改進(jìn)中很難落實(shí)。實(shí)踐表明，教學(xué)路線(xiàn)圖對(duì)整體把握課堂非常有用，在理論聯(lián)系實(shí)際、課堂分析和優(yōu)化、小組交流討論中是一個(gè)方便的工具和抓手。下面筆者就結(jié)合具體課例，談?wù)劷虒W(xué)路線(xiàn)圖在課堂觀(guān)察、課堂分析、設(shè)計(jì)優(yōu)化三個(gè)環(huán)節(jié)中的應(yīng)用。

一、什么是教學(xué)路線(xiàn)圖

課堂是教學(xué)各要素有目的、有計(jì)劃的動(dòng)態(tài)組織系統(tǒng)?！斑^(guò)程”是課堂變化性的一面，“狀態(tài)”是課堂穩(wěn)定性的一面。每個(gè)要素因不同的課堂“過(guò)程”發(fā)揮不同的作用，呈現(xiàn)出不同的“狀態(tài)”，而每個(gè)要素的不同“狀態(tài)”和“過(guò)程”表現(xiàn)則反映了課堂的預(yù)設(shè)和生成，表達(dá)出不同的課堂效果。所以，研課就是要從系統(tǒng)的觀(guān)點(diǎn)出發(fā)，通過(guò)“過(guò)程”來(lái)研究、確定“狀態(tài)”，通過(guò)“狀態(tài)”來(lái)預(yù)測(cè)、規(guī)劃和調(diào)控“過(guò)程”，使教與學(xué)兩個(gè)時(shí)序最大可能地協(xié)調(diào)同步，實(shí)現(xiàn)教學(xué)系統(tǒng)的整體優(yōu)化。因此，課堂觀(guān)察的任務(wù)就是辨認(rèn)課堂系統(tǒng)的基本要素，明確各要素的“過(guò)程”和“狀態(tài)”，抓住主要特征，獲得對(duì)課堂整體和局部的初步認(rèn)識(shí)。

教學(xué)路線(xiàn)圖是依據(jù)課堂教學(xué)的實(shí)際進(jìn)程，反映課堂主要環(huán)節(jié)、主要內(nèi)容、基本過(guò)程、活動(dòng)形式、主體特征、典型現(xiàn)象、時(shí)間分配等教學(xué)信息和活動(dòng)線(xiàn)索的圖示，如圖1就是“向量的運(yùn)算法則”公開(kāi)課的教學(xué)路線(xiàn)圖。從圖1可以看出，教學(xué)路線(xiàn)圖包含了教師活動(dòng)、學(xué)生活動(dòng)、學(xué)習(xí)內(nèi)容、教學(xué)步驟、時(shí)間利用等基本要素，文字描述的是各要素在不同環(huán)節(jié)、不同步驟上的內(nèi)容、形式和狀態(tài)，橫向的箭頭反映了一個(gè)教學(xué)步驟的過(guò)程信息，縱向的箭頭反映了不同環(huán)節(jié)、不同步驟的流變順序和過(guò)程信息?？梢?jiàn)，教學(xué)路線(xiàn)圖是實(shí)際課堂的概括表征，清楚地反映了課堂活動(dòng)的過(guò)程特征和性質(zhì)狀態(tài)，以及主要的、突出的內(nèi)容、過(guò)程、現(xiàn)象和特點(diǎn)。有了教學(xué)路線(xiàn)圖，教師容易認(rèn)清課堂要素及其表現(xiàn)形式和本質(zhì)內(nèi)涵，有助于提升課堂觀(guān)察的質(zhì)量。

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圖1 “向量的運(yùn)算法則”的教學(xué)路線(xiàn)圖

教學(xué)路線(xiàn)圖還有兩個(gè)方便之處：一是其繪制簡(jiǎn)單易行，教師在聽(tīng)課的過(guò)程中就可以完成，便于課后研討使用；二是其方法以性質(zhì)認(rèn)識(shí)為主，便于教師發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、互相交流和進(jìn)一步研究。

從圖1可以看出，該課具有以下性質(zhì)特點(diǎn)：

①課堂結(jié)構(gòu)清晰明了。本課由復(fù)習(xí)舊知、學(xué)習(xí)新知、布置作業(yè)三個(gè)環(huán)節(jié)構(gòu)成。其中學(xué)習(xí)新知包含三個(gè)子環(huán)節(jié)，其過(guò)程相互獨(dú)立，但形式基本相同，課堂層次分明，知識(shí)點(diǎn)明確，利于學(xué)生抓住教學(xué)重點(diǎn)，掌握新知識(shí)。另外，該課與一般新授課結(jié)構(gòu)不同的是，缺少課堂練習(xí)。

②新知學(xué)習(xí)的順序符合認(rèn)知心理。本課新知識(shí)的學(xué)習(xí)按照加、減、乘的順序展開(kāi)，與實(shí)數(shù)四則運(yùn)算的一般認(rèn)識(shí)順序（加減乘除）相一致，符合學(xué)生的認(rèn)知習(xí)慣，便于新舊知識(shí)的類(lèi)比，也便于新知識(shí)結(jié)構(gòu)的建構(gòu)和完善。

③新知識(shí)的生成總體上自然流暢。復(fù)習(xí)環(huán)節(jié)全面而深入，為新知識(shí)學(xué)習(xí)做好了準(zhǔn)備，學(xué)生在類(lèi)比和操作中探索新知識(shí)，從舊經(jīng)驗(yàn)中生成新經(jīng)驗(yàn)，在操作演算中發(fā)現(xiàn)新運(yùn)算，因此，新知識(shí)的生成自然流暢。雖然減法和數(shù)乘部分有個(gè)別學(xué)生出錯(cuò)，但整體較好。

④主體活動(dòng)符合現(xiàn)代教學(xué)理念。教師的作用是主導(dǎo)和點(diǎn)撥，重在目標(biāo)引導(dǎo)和元認(rèn)知啟發(fā)。學(xué)生活動(dòng)的主體性較強(qiáng)，智力參與充分，探索富有成效，有豐富的過(guò)程體驗(yàn)。缺點(diǎn)是在數(shù)乘環(huán)節(jié)，教師的參與較多，學(xué)生探究不如前面充分。

⑤課堂節(jié)奏緊湊。本課探究的內(nèi)容不算少，但加法環(huán)節(jié)13分鐘，減法環(huán)節(jié)15分鐘，數(shù)乘環(huán)節(jié)8分鐘，相對(duì)來(lái)說(shuō)時(shí)間較緊，一般的學(xué)生很難完成。探索過(guò)程有兩處學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤，也可能與探究時(shí)間短有關(guān)。

二、“教學(xué)路線(xiàn)圖”在整體分析中的應(yīng)用

課堂分析是研課的核心環(huán)節(jié)，是從“教與學(xué)對(duì)應(yīng)”和“教與學(xué)科對(duì)應(yīng)”兩個(gè)方面對(duì)課堂活動(dòng)深入分析、廣泛求證的過(guò)程，可分為整體分析和局部分析兩個(gè)部分。

整體分析是對(duì)影響課堂整體進(jìn)程和整體效果的因素進(jìn)行的分析和研究，包括教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)方法、教學(xué)過(guò)程、學(xué)生特征、教師教學(xué)信念等。這些因素的作用和效果并不直接地或顯現(xiàn)地反映在課堂表面，而是通過(guò)課堂活動(dòng)的全部過(guò)程和狀態(tài)間接地、綜合地反映出來(lái)。因此，整體分析需要教師仔細(xì)辨析課堂每一個(gè)環(huán)節(jié)的內(nèi)容、形式、過(guò)程和狀態(tài)，通盤(pán)考慮，全面評(píng)析，在對(duì)現(xiàn)象與本質(zhì)、現(xiàn)實(shí)與理論進(jìn)行思考和權(quán)衡之后，得出既有理論訴求、又有現(xiàn)實(shí)需要的教學(xué)認(rèn)識(shí)。顯然，任何一個(gè)整體因素的分析都要以課堂整體把握為基礎(chǔ)，都是在整體把握后對(duì)課堂系統(tǒng)的更高程度的再認(rèn)識(shí)。

下面是一位教師借助圖1對(duì)該課教學(xué)方法進(jìn)行的分析：

①使用發(fā)現(xiàn)法。本課三個(gè)新知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)都是在明確的目標(biāo)引導(dǎo)下，由學(xué)生自主探究完成的，教師發(fā)揮啟發(fā)和引導(dǎo)的作用。學(xué)生通過(guò)類(lèi)比物理經(jīng)驗(yàn)、實(shí)數(shù)運(yùn)算以及具體向量的演算實(shí)驗(yàn)，概括運(yùn)算法則，體驗(yàn)數(shù)學(xué)研究過(guò)程。其中加、減、乘三個(gè)環(huán)節(jié)方法相同，就是典型的發(fā)現(xiàn)法教學(xué)。

②效果整體良好，局部的引導(dǎo)需要改進(jìn)。在一節(jié)課的時(shí)間里，學(xué)生自主探究發(fā)現(xiàn)了三種運(yùn)算法則及其性質(zhì)，效率很高。加法環(huán)節(jié)非常順利，學(xué)生沿著從具體到一般的認(rèn)識(shí)路線(xiàn)，自然地得出了加法法則和運(yùn)算律。減法環(huán)節(jié)也從具體入手，但由于很快脫離具體，進(jìn)行抽象的、一般的討論，以致出現(xiàn)了錯(cuò)誤，最后還是回到具體，在具體圖形的支持下獲得了差向量的畫(huà)法。數(shù)乘環(huán)節(jié)時(shí)間較少，但教師抓住“方向”和“長(zhǎng)度”這兩個(gè)關(guān)鍵詞，重點(diǎn)啟發(fā)，很快地獲得了數(shù)乘法則。整體看來(lái)，課堂效率高，不僅實(shí)現(xiàn)了知識(shí)目標(biāo)，而且還在探索、實(shí)驗(yàn)、發(fā)現(xiàn)的過(guò)程中培養(yǎng)了科學(xué)思維方法，發(fā)展了自主合作學(xué)習(xí)能力。但減法環(huán)節(jié)需要改進(jìn)，因?yàn)閷W(xué)生的認(rèn)知活動(dòng)需要具體形象的支持，而教師的每一個(gè)引導(dǎo)都應(yīng)遵循學(xué)生的學(xué)習(xí)心理規(guī)律。endprint

③方法運(yùn)用適當(dāng)。該班學(xué)生認(rèn)知能力和自學(xué)能力都很強(qiáng)，有的學(xué)生熟悉物理背景，有的有實(shí)數(shù)運(yùn)算的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)向量的基本知識(shí)也做了充分的復(fù)習(xí)。在這樣的教學(xué)準(zhǔn)備下，探究目標(biāo)明確，探究難度處于最近發(fā)展區(qū)，因此選擇發(fā)現(xiàn)法是合適的。從實(shí)際效果來(lái)看，本課教學(xué)方法也是適當(dāng)?shù)摹?/p>

④重視學(xué)生思維和情感的啟發(fā)。教師重視學(xué)生學(xué)習(xí)的主體性，在課堂的任何環(huán)節(jié)都通過(guò)啟發(fā)、引導(dǎo)把探索發(fā)現(xiàn)的任務(wù)交給學(xué)生，使學(xué)生成為課堂教學(xué)的真正主人。如加法環(huán)節(jié)的啟發(fā)語(yǔ)：“今天學(xué)什么呢？對(duì)，加減乘除。你見(jiàn)過(guò)向量的加法嗎？不看書(shū)，你給大家說(shuō)說(shuō)看?！薄罢l(shuí)要幫他完善一下嗎？你覺(jué)得他講的怎么樣？”“有了運(yùn)算就要有運(yùn)算法則，你聯(lián)系實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則，想想看，向量加法應(yīng)該有哪些法則？”“關(guān)于實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則，推廣到向量里面成立不成立？”“上課要?jiǎng)幽X筋、要思考，既不要看書(shū)，也不要等老師的答案。一上課就翻書(shū)，是很壞的習(xí)慣?！睂W(xué)生的發(fā)現(xiàn)離不開(kāi)教師的引導(dǎo)，本課中教師簡(jiǎn)單明了的啟發(fā)和引導(dǎo)是成功運(yùn)用發(fā)現(xiàn)法的重要保證。

⑤以板書(shū)支持思維實(shí)驗(yàn)，促進(jìn)課堂發(fā)現(xiàn)。本課使用的教學(xué)媒體主要是多媒體投影和黑板，多媒體使用不多，主要用來(lái)呈現(xiàn)向量的知識(shí)要點(diǎn)、結(jié)構(gòu)圖和探究目標(biāo)，黑板使用較多，力的合成、運(yùn)算探索、發(fā)現(xiàn)的結(jié)論等探索過(guò)程和內(nèi)容都是通過(guò)黑板展示、交流的。因此，以黑板為主，投影配合，教學(xué)媒體支持了新知識(shí)的探究活動(dòng)。

⑥實(shí)施效果好，值得借鑒。從上述分析可以看出，教師在應(yīng)用發(fā)現(xiàn)法時(shí)，綜合考慮了新知識(shí)的學(xué)科特點(diǎn)、班級(jí)學(xué)生的特點(diǎn)、教學(xué)的過(guò)程目標(biāo)、學(xué)生的認(rèn)知心理等多種因素。教師引導(dǎo)簡(jiǎn)單明了，學(xué)生探究積極主動(dòng)，在課堂上實(shí)現(xiàn)了教學(xué)目標(biāo)，從教學(xué)方法上看，這是一節(jié)值得學(xué)習(xí)、研究的公開(kāi)課。但有兩點(diǎn)需要注意：一是減法環(huán)節(jié)中從具體到抽象的過(guò)程太快，學(xué)生的感性認(rèn)識(shí)不充分，起點(diǎn)和終點(diǎn)容易出錯(cuò)，這一錯(cuò)誤以后還可能發(fā)生，應(yīng)予重視。二是關(guān)于0乘向量的結(jié)果，是個(gè)不難的易錯(cuò)點(diǎn)，需要進(jìn)一步強(qiáng)化。因此，學(xué)生在這兩個(gè)環(huán)節(jié)上的探究還應(yīng)更充分一些。本課上課班級(jí)是重點(diǎn)中學(xué)的重點(diǎn)班，對(duì)大多數(shù)教師來(lái)說(shuō)，教學(xué)方法、教學(xué)理念、教學(xué)思路值得學(xué)習(xí)，但應(yīng)根據(jù)自己的班級(jí)特點(diǎn)，在知識(shí)容量、時(shí)間分配、元認(rèn)知啟發(fā)程度等方面做一定的調(diào)整。

三、“教學(xué)路線(xiàn)圖”在局部分析中的應(yīng)用

局部分析是對(duì)影響課堂局部效果的典型現(xiàn)象、技術(shù)細(xì)節(jié)、專(zhuān)門(mén)問(wèn)題的分析和研究，如課題引入、環(huán)節(jié)過(guò)渡、例題選用、課堂總結(jié)、課堂語(yǔ)言、師生交互、學(xué)生參與、課堂生成、媒體使用、課堂調(diào)控等。局部的過(guò)程和狀態(tài)既是課堂設(shè)計(jì)的實(shí)施結(jié)果，又是課堂運(yùn)行的系統(tǒng)生成。一節(jié)課總有一些地方處理得好，一些地方處理得不好，研課就是要“擇其善者而從之，擇其不善而改之”。局部分析要有系統(tǒng)的觀(guān)念，因?yàn)榫植渴菫檎w服務(wù)的。局部的好與壞，不僅取決于局部要素的過(guò)程和狀態(tài)，還取決于課堂整體的過(guò)程要求和狀態(tài)關(guān)系。所以局部分析是在整體把握的基礎(chǔ)上對(duì)課堂進(jìn)行的專(zhuān)門(mén)的、細(xì)致的研究。

下面是一位教師對(duì)該課學(xué)生出錯(cuò)的減法環(huán)節(jié)所做的局部分析：

從教學(xué)路線(xiàn)圖可以看出，本課的預(yù)設(shè)和生成基本一致，課堂沒(méi)有出現(xiàn)大的偏差，但是在減法環(huán)節(jié)出現(xiàn)的錯(cuò)誤特別顯眼。仔細(xì)分析這個(gè)環(huán)節(jié)的課堂對(duì)話(huà)，發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤的本質(zhì)并不是學(xué)生不能正確進(jìn)行向量相減，而是對(duì)“被減數(shù)”和“減數(shù)”的概念運(yùn)用錯(cuò)誤，以至于說(shuō)不清差向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)。而造成這一錯(cuò)誤的教學(xué)原因，筆者認(rèn)為是由于師生脫離了具體圖形的支持，純粹從概念上描述一般法則。向量運(yùn)算的學(xué)習(xí)是技能學(xué)習(xí)，需要具體形象或表象的支持，這是學(xué)生認(rèn)知的規(guī)律。運(yùn)算學(xué)習(xí)的本質(zhì)是掌握法則、正確運(yùn)算，而不是糾纏于概念和語(yǔ)言描述。如果結(jié)合具體的圖形，學(xué)生也許不會(huì)出錯(cuò)，對(duì)向量減法的心理表征也許更好。事實(shí)上，這一環(huán)節(jié)最后還是回到了具體圖形，還是在具體圖形中完成了減法的意義建構(gòu)和規(guī)則概括。比較其他兩個(gè)環(huán)節(jié)，加法和數(shù)乘的教學(xué)由于很好地運(yùn)用了具體圖形，都很順利。所以，這一錯(cuò)誤提醒我們，教學(xué)引導(dǎo)一定要尊重學(xué)生的認(rèn)知心理，學(xué)生還處在由具體運(yùn)算向形式運(yùn)算發(fā)展的階段，教學(xué)直觀(guān)是學(xué)生學(xué)習(xí)的腳手架，教師要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)，淡化概念，注重本質(zhì)，讓學(xué)生在直觀(guān)、具體的情境中更加順利建構(gòu)新知識(shí)。

四、“教學(xué)路線(xiàn)圖”在課堂優(yōu)化中的應(yīng)用

優(yōu)化課堂設(shè)計(jì)是研課的重點(diǎn)工作，也是教師從認(rèn)識(shí)提高走向?qū)嵺`提高的重要步驟。經(jīng)過(guò)課堂觀(guān)察和課堂分析，教師會(huì)對(duì)教學(xué)活動(dòng)的目標(biāo)、內(nèi)容、方法、形式、過(guò)程等教學(xué)要素及其時(shí)序排列產(chǎn)生深刻的見(jiàn)解，進(jìn)一步會(huì)產(chǎn)生優(yōu)化設(shè)計(jì)的積極愿望和調(diào)整意見(jiàn)。這時(shí)，教學(xué)路線(xiàn)圖可以在以下兩個(gè)方面提供幫助：

一是作為復(fù)現(xiàn)課堂情境的線(xiàn)索，幫助取舍優(yōu)缺點(diǎn)。教學(xué)路線(xiàn)圖展示了課堂的整體圖景，便于教師復(fù)現(xiàn)課堂情境，客觀(guān)評(píng)價(jià)各要素的優(yōu)點(diǎn)和不足，權(quán)衡各種關(guān)系，找準(zhǔn)應(yīng)該堅(jiān)持和發(fā)揚(yáng)以及應(yīng)該改進(jìn)和調(diào)整的地方。

二是作為課堂設(shè)計(jì)的底本，幫助形成優(yōu)化方案。教學(xué)路線(xiàn)圖是設(shè)計(jì)優(yōu)化的底稿，教師可以根據(jù)自己對(duì)課堂的認(rèn)識(shí)，對(duì)各要素及其過(guò)程和狀態(tài)進(jìn)行調(diào)整、改造、添加和刪除，使教學(xué)預(yù)設(shè)變得更可行、更完善、更適合自己的教學(xué)需要。

下面是一位教師根據(jù)圖1對(duì)該課的優(yōu)化：

本課的優(yōu)點(diǎn)是很好地運(yùn)用了探究發(fā)現(xiàn)的教學(xué)方法，教學(xué)準(zhǔn)備充分，認(rèn)知引導(dǎo)合理，學(xué)生主體性較強(qiáng)，課堂效率很高，學(xué)生不僅發(fā)現(xiàn)了知識(shí)，還在發(fā)現(xiàn)知識(shí)的過(guò)程中體驗(yàn)了數(shù)學(xué)探究的方法和樂(lè)趣，這樣的預(yù)設(shè)應(yīng)該堅(jiān)持和發(fā)揚(yáng)。

本課教學(xué)內(nèi)容的選取和組織值得商榷。該班學(xué)生基礎(chǔ)好，教師打破了教材的章節(jié)安排，將向量的線(xiàn)性運(yùn)算集中到一節(jié)課上，這種做法是合理的。從實(shí)際結(jié)果看，減法環(huán)節(jié)只得到了差向量的基本畫(huà)法，對(duì)于教材中的“減一個(gè)向量等于加上這個(gè)向量的相反向量”沒(méi)有涉及。筆者認(rèn)為，為了提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算的理性認(rèn)識(shí)，這一結(jié)論應(yīng)該在本課完成。另外，數(shù)乘環(huán)節(jié)時(shí)間緊張，只學(xué)習(xí)了數(shù)乘的基本算法和0乘的規(guī)定，而把數(shù)乘的運(yùn)算律留給下一節(jié)課，從課堂教學(xué)的完整性和經(jīng)驗(yàn)生長(zhǎng)的連續(xù)性來(lái)看，不如舍去，把多余的時(shí)間用于加法和減法的探究，或者用于提高加、減運(yùn)算的熟練程度。基于以上想法，我的優(yōu)化是這部分內(nèi)容分為兩節(jié)課，圖2是第一節(jié)課的預(yù)設(shè)路線(xiàn)圖。

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圖2 “向量的運(yùn)算法則”的優(yōu)化路線(xiàn)圖

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1]張鐵明.教學(xué)信息論[M].南京：江蘇教育出版社，1990.

[2]涂榮豹，季素月.數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論新編[M].南京：江蘇教育出版社，2007.

[3]徐伯華.教師個(gè)體的研課模式：以“數(shù)學(xué)歸納法”一課為例[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2010（4）.

（責(zé)任編輯：張華偉）endprint

③方法運(yùn)用適當(dāng)。該班學(xué)生認(rèn)知能力和自學(xué)能力都很強(qiáng)，有的學(xué)生熟悉物理背景，有的有實(shí)數(shù)運(yùn)算的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)向量的基本知識(shí)也做了充分的復(fù)習(xí)。在這樣的教學(xué)準(zhǔn)備下，探究目標(biāo)明確，探究難度處于最近發(fā)展區(qū)，因此選擇發(fā)現(xiàn)法是合適的。從實(shí)際效果來(lái)看，本課教學(xué)方法也是適當(dāng)?shù)摹?/p>

④重視學(xué)生思維和情感的啟發(fā)。教師重視學(xué)生學(xué)習(xí)的主體性，在課堂的任何環(huán)節(jié)都通過(guò)啟發(fā)、引導(dǎo)把探索發(fā)現(xiàn)的任務(wù)交給學(xué)生，使學(xué)生成為課堂教學(xué)的真正主人。如加法環(huán)節(jié)的啟發(fā)語(yǔ)：“今天學(xué)什么呢？對(duì)，加減乘除。你見(jiàn)過(guò)向量的加法嗎？不看書(shū)，你給大家說(shuō)說(shuō)看?！薄罢l(shuí)要幫他完善一下嗎？你覺(jué)得他講的怎么樣？”“有了運(yùn)算就要有運(yùn)算法則，你聯(lián)系實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則，想想看，向量加法應(yīng)該有哪些法則？”“關(guān)于實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則，推廣到向量里面成立不成立？”“上課要?jiǎng)幽X筋、要思考，既不要看書(shū)，也不要等老師的答案。一上課就翻書(shū)，是很壞的習(xí)慣。”學(xué)生的發(fā)現(xiàn)離不開(kāi)教師的引導(dǎo)，本課中教師簡(jiǎn)單明了的啟發(fā)和引導(dǎo)是成功運(yùn)用發(fā)現(xiàn)法的重要保證。

⑤以板書(shū)支持思維實(shí)驗(yàn)，促進(jìn)課堂發(fā)現(xiàn)。本課使用的教學(xué)媒體主要是多媒體投影和黑板，多媒體使用不多，主要用來(lái)呈現(xiàn)向量的知識(shí)要點(diǎn)、結(jié)構(gòu)圖和探究目標(biāo)，黑板使用較多，力的合成、運(yùn)算探索、發(fā)現(xiàn)的結(jié)論等探索過(guò)程和內(nèi)容都是通過(guò)黑板展示、交流的。因此，以黑板為主，投影配合，教學(xué)媒體支持了新知識(shí)的探究活動(dòng)。

⑥實(shí)施效果好，值得借鑒。從上述分析可以看出，教師在應(yīng)用發(fā)現(xiàn)法時(shí)，綜合考慮了新知識(shí)的學(xué)科特點(diǎn)、班級(jí)學(xué)生的特點(diǎn)、教學(xué)的過(guò)程目標(biāo)、學(xué)生的認(rèn)知心理等多種因素。教師引導(dǎo)簡(jiǎn)單明了，學(xué)生探究積極主動(dòng)，在課堂上實(shí)現(xiàn)了教學(xué)目標(biāo)，從教學(xué)方法上看，這是一節(jié)值得學(xué)習(xí)、研究的公開(kāi)課。但有兩點(diǎn)需要注意：一是減法環(huán)節(jié)中從具體到抽象的過(guò)程太快，學(xué)生的感性認(rèn)識(shí)不充分，起點(diǎn)和終點(diǎn)容易出錯(cuò)，這一錯(cuò)誤以后還可能發(fā)生，應(yīng)予重視。二是關(guān)于0乘向量的結(jié)果，是個(gè)不難的易錯(cuò)點(diǎn)，需要進(jìn)一步強(qiáng)化。因此，學(xué)生在這兩個(gè)環(huán)節(jié)上的探究還應(yīng)更充分一些。本課上課班級(jí)是重點(diǎn)中學(xué)的重點(diǎn)班，對(duì)大多數(shù)教師來(lái)說(shuō)，教學(xué)方法、教學(xué)理念、教學(xué)思路值得學(xué)習(xí)，但應(yīng)根據(jù)自己的班級(jí)特點(diǎn)，在知識(shí)容量、時(shí)間分配、元認(rèn)知啟發(fā)程度等方面做一定的調(diào)整。

三、“教學(xué)路線(xiàn)圖”在局部分析中的應(yīng)用

局部分析是對(duì)影響課堂局部效果的典型現(xiàn)象、技術(shù)細(xì)節(jié)、專(zhuān)門(mén)問(wèn)題的分析和研究，如課題引入、環(huán)節(jié)過(guò)渡、例題選用、課堂總結(jié)、課堂語(yǔ)言、師生交互、學(xué)生參與、課堂生成、媒體使用、課堂調(diào)控等。局部的過(guò)程和狀態(tài)既是課堂設(shè)計(jì)的實(shí)施結(jié)果，又是課堂運(yùn)行的系統(tǒng)生成。一節(jié)課總有一些地方處理得好，一些地方處理得不好，研課就是要“擇其善者而從之，擇其不善而改之”。局部分析要有系統(tǒng)的觀(guān)念，因?yàn)榫植渴菫檎w服務(wù)的。局部的好與壞，不僅取決于局部要素的過(guò)程和狀態(tài)，還取決于課堂整體的過(guò)程要求和狀態(tài)關(guān)系。所以局部分析是在整體把握的基礎(chǔ)上對(duì)課堂進(jìn)行的專(zhuān)門(mén)的、細(xì)致的研究。

下面是一位教師對(duì)該課學(xué)生出錯(cuò)的減法環(huán)節(jié)所做的局部分析：

從教學(xué)路線(xiàn)圖可以看出，本課的預(yù)設(shè)和生成基本一致，課堂沒(méi)有出現(xiàn)大的偏差，但是在減法環(huán)節(jié)出現(xiàn)的錯(cuò)誤特別顯眼。仔細(xì)分析這個(gè)環(huán)節(jié)的課堂對(duì)話(huà)，發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤的本質(zhì)并不是學(xué)生不能正確進(jìn)行向量相減，而是對(duì)“被減數(shù)”和“減數(shù)”的概念運(yùn)用錯(cuò)誤，以至于說(shuō)不清差向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)。而造成這一錯(cuò)誤的教學(xué)原因，筆者認(rèn)為是由于師生脫離了具體圖形的支持，純粹從概念上描述一般法則。向量運(yùn)算的學(xué)習(xí)是技能學(xué)習(xí)，需要具體形象或表象的支持，這是學(xué)生認(rèn)知的規(guī)律。運(yùn)算學(xué)習(xí)的本質(zhì)是掌握法則、正確運(yùn)算，而不是糾纏于概念和語(yǔ)言描述。如果結(jié)合具體的圖形，學(xué)生也許不會(huì)出錯(cuò)，對(duì)向量減法的心理表征也許更好。事實(shí)上，這一環(huán)節(jié)最后還是回到了具體圖形，還是在具體圖形中完成了減法的意義建構(gòu)和規(guī)則概括。比較其他兩個(gè)環(huán)節(jié)，加法和數(shù)乘的教學(xué)由于很好地運(yùn)用了具體圖形，都很順利。所以，這一錯(cuò)誤提醒我們，教學(xué)引導(dǎo)一定要尊重學(xué)生的認(rèn)知心理，學(xué)生還處在由具體運(yùn)算向形式運(yùn)算發(fā)展的階段，教學(xué)直觀(guān)是學(xué)生學(xué)習(xí)的腳手架，教師要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)，淡化概念，注重本質(zhì)，讓學(xué)生在直觀(guān)、具體的情境中更加順利建構(gòu)新知識(shí)。

四、“教學(xué)路線(xiàn)圖”在課堂優(yōu)化中的應(yīng)用

優(yōu)化課堂設(shè)計(jì)是研課的重點(diǎn)工作，也是教師從認(rèn)識(shí)提高走向?qū)嵺`提高的重要步驟。經(jīng)過(guò)課堂觀(guān)察和課堂分析，教師會(huì)對(duì)教學(xué)活動(dòng)的目標(biāo)、內(nèi)容、方法、形式、過(guò)程等教學(xué)要素及其時(shí)序排列產(chǎn)生深刻的見(jiàn)解，進(jìn)一步會(huì)產(chǎn)生優(yōu)化設(shè)計(jì)的積極愿望和調(diào)整意見(jiàn)。這時(shí)，教學(xué)路線(xiàn)圖可以在以下兩個(gè)方面提供幫助：

一是作為復(fù)現(xiàn)課堂情境的線(xiàn)索，幫助取舍優(yōu)缺點(diǎn)。教學(xué)路線(xiàn)圖展示了課堂的整體圖景，便于教師復(fù)現(xiàn)課堂情境，客觀(guān)評(píng)價(jià)各要素的優(yōu)點(diǎn)和不足，權(quán)衡各種關(guān)系，找準(zhǔn)應(yīng)該堅(jiān)持和發(fā)揚(yáng)以及應(yīng)該改進(jìn)和調(diào)整的地方。

二是作為課堂設(shè)計(jì)的底本，幫助形成優(yōu)化方案。教學(xué)路線(xiàn)圖是設(shè)計(jì)優(yōu)化的底稿，教師可以根據(jù)自己對(duì)課堂的認(rèn)識(shí)，對(duì)各要素及其過(guò)程和狀態(tài)進(jìn)行調(diào)整、改造、添加和刪除，使教學(xué)預(yù)設(shè)變得更可行、更完善、更適合自己的教學(xué)需要。

下面是一位教師根據(jù)圖1對(duì)該課的優(yōu)化：

本課的優(yōu)點(diǎn)是很好地運(yùn)用了探究發(fā)現(xiàn)的教學(xué)方法，教學(xué)準(zhǔn)備充分，認(rèn)知引導(dǎo)合理，學(xué)生主體性較強(qiáng)，課堂效率很高，學(xué)生不僅發(fā)現(xiàn)了知識(shí)，還在發(fā)現(xiàn)知識(shí)的過(guò)程中體驗(yàn)了數(shù)學(xué)探究的方法和樂(lè)趣，這樣的預(yù)設(shè)應(yīng)該堅(jiān)持和發(fā)揚(yáng)。

本課教學(xué)內(nèi)容的選取和組織值得商榷。該班學(xué)生基礎(chǔ)好，教師打破了教材的章節(jié)安排，將向量的線(xiàn)性運(yùn)算集中到一節(jié)課上，這種做法是合理的。從實(shí)際結(jié)果看，減法環(huán)節(jié)只得到了差向量的基本畫(huà)法，對(duì)于教材中的“減一個(gè)向量等于加上這個(gè)向量的相反向量”沒(méi)有涉及。筆者認(rèn)為，為了提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算的理性認(rèn)識(shí)，這一結(jié)論應(yīng)該在本課完成。另外，數(shù)乘環(huán)節(jié)時(shí)間緊張，只學(xué)習(xí)了數(shù)乘的基本算法和0乘的規(guī)定，而把數(shù)乘的運(yùn)算律留給下一節(jié)課，從課堂教學(xué)的完整性和經(jīng)驗(yàn)生長(zhǎng)的連續(xù)性來(lái)看，不如舍去，把多余的時(shí)間用于加法和減法的探究，或者用于提高加、減運(yùn)算的熟練程度?；谝陨舷敕?，我的優(yōu)化是這部分內(nèi)容分為兩節(jié)課，圖2是第一節(jié)課的預(yù)設(shè)路線(xiàn)圖。

■

圖2 “向量的運(yùn)算法則”的優(yōu)化路線(xiàn)圖

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1]張鐵明.教學(xué)信息論[M].南京：江蘇教育出版社，1990.

[2]涂榮豹，季素月.數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論新編[M].南京：江蘇教育出版社，2007.

[3]徐伯華.教師個(gè)體的研課模式：以“數(shù)學(xué)歸納法”一課為例[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2010（4）.

（責(zé)任編輯：張華偉）endprint

③方法運(yùn)用適當(dāng)。該班學(xué)生認(rèn)知能力和自學(xué)能力都很強(qiáng)，有的學(xué)生熟悉物理背景，有的有實(shí)數(shù)運(yùn)算的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)向量的基本知識(shí)也做了充分的復(fù)習(xí)。在這樣的教學(xué)準(zhǔn)備下，探究目標(biāo)明確，探究難度處于最近發(fā)展區(qū)，因此選擇發(fā)現(xiàn)法是合適的。從實(shí)際效果來(lái)看，本課教學(xué)方法也是適當(dāng)?shù)摹?/p>

④重視學(xué)生思維和情感的啟發(fā)。教師重視學(xué)生學(xué)習(xí)的主體性，在課堂的任何環(huán)節(jié)都通過(guò)啟發(fā)、引導(dǎo)把探索發(fā)現(xiàn)的任務(wù)交給學(xué)生，使學(xué)生成為課堂教學(xué)的真正主人。如加法環(huán)節(jié)的啟發(fā)語(yǔ)：“今天學(xué)什么呢？對(duì)，加減乘除。你見(jiàn)過(guò)向量的加法嗎？不看書(shū)，你給大家說(shuō)說(shuō)看。”“誰(shuí)要幫他完善一下嗎？你覺(jué)得他講的怎么樣？”“有了運(yùn)算就要有運(yùn)算法則，你聯(lián)系實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則，想想看，向量加法應(yīng)該有哪些法則？”“關(guān)于實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則，推廣到向量里面成立不成立？”“上課要?jiǎng)幽X筋、要思考，既不要看書(shū)，也不要等老師的答案。一上課就翻書(shū)，是很壞的習(xí)慣。”學(xué)生的發(fā)現(xiàn)離不開(kāi)教師的引導(dǎo)，本課中教師簡(jiǎn)單明了的啟發(fā)和引導(dǎo)是成功運(yùn)用發(fā)現(xiàn)法的重要保證。

⑤以板書(shū)支持思維實(shí)驗(yàn)，促進(jìn)課堂發(fā)現(xiàn)。本課使用的教學(xué)媒體主要是多媒體投影和黑板，多媒體使用不多，主要用來(lái)呈現(xiàn)向量的知識(shí)要點(diǎn)、結(jié)構(gòu)圖和探究目標(biāo)，黑板使用較多，力的合成、運(yùn)算探索、發(fā)現(xiàn)的結(jié)論等探索過(guò)程和內(nèi)容都是通過(guò)黑板展示、交流的。因此，以黑板為主，投影配合，教學(xué)媒體支持了新知識(shí)的探究活動(dòng)。

⑥實(shí)施效果好，值得借鑒。從上述分析可以看出，教師在應(yīng)用發(fā)現(xiàn)法時(shí)，綜合考慮了新知識(shí)的學(xué)科特點(diǎn)、班級(jí)學(xué)生的特點(diǎn)、教學(xué)的過(guò)程目標(biāo)、學(xué)生的認(rèn)知心理等多種因素。教師引導(dǎo)簡(jiǎn)單明了，學(xué)生探究積極主動(dòng)，在課堂上實(shí)現(xiàn)了教學(xué)目標(biāo)，從教學(xué)方法上看，這是一節(jié)值得學(xué)習(xí)、研究的公開(kāi)課。但有兩點(diǎn)需要注意：一是減法環(huán)節(jié)中從具體到抽象的過(guò)程太快，學(xué)生的感性認(rèn)識(shí)不充分，起點(diǎn)和終點(diǎn)容易出錯(cuò)，這一錯(cuò)誤以后還可能發(fā)生，應(yīng)予重視。二是關(guān)于0乘向量的結(jié)果，是個(gè)不難的易錯(cuò)點(diǎn)，需要進(jìn)一步強(qiáng)化。因此，學(xué)生在這兩個(gè)環(huán)節(jié)上的探究還應(yīng)更充分一些。本課上課班級(jí)是重點(diǎn)中學(xué)的重點(diǎn)班，對(duì)大多數(shù)教師來(lái)說(shuō)，教學(xué)方法、教學(xué)理念、教學(xué)思路值得學(xué)習(xí)，但應(yīng)根據(jù)自己的班級(jí)特點(diǎn)，在知識(shí)容量、時(shí)間分配、元認(rèn)知啟發(fā)程度等方面做一定的調(diào)整。

三、“教學(xué)路線(xiàn)圖”在局部分析中的應(yīng)用

局部分析是對(duì)影響課堂局部效果的典型現(xiàn)象、技術(shù)細(xì)節(jié)、專(zhuān)門(mén)問(wèn)題的分析和研究，如課題引入、環(huán)節(jié)過(guò)渡、例題選用、課堂總結(jié)、課堂語(yǔ)言、師生交互、學(xué)生參與、課堂生成、媒體使用、課堂調(diào)控等。局部的過(guò)程和狀態(tài)既是課堂設(shè)計(jì)的實(shí)施結(jié)果，又是課堂運(yùn)行的系統(tǒng)生成。一節(jié)課總有一些地方處理得好，一些地方處理得不好，研課就是要“擇其善者而從之，擇其不善而改之”。局部分析要有系統(tǒng)的觀(guān)念，因?yàn)榫植渴菫檎w服務(wù)的。局部的好與壞，不僅取決于局部要素的過(guò)程和狀態(tài)，還取決于課堂整體的過(guò)程要求和狀態(tài)關(guān)系。所以局部分析是在整體把握的基礎(chǔ)上對(duì)課堂進(jìn)行的專(zhuān)門(mén)的、細(xì)致的研究。

下面是一位教師對(duì)該課學(xué)生出錯(cuò)的減法環(huán)節(jié)所做的局部分析：

從教學(xué)路線(xiàn)圖可以看出，本課的預(yù)設(shè)和生成基本一致，課堂沒(méi)有出現(xiàn)大的偏差，但是在減法環(huán)節(jié)出現(xiàn)的錯(cuò)誤特別顯眼。仔細(xì)分析這個(gè)環(huán)節(jié)的課堂對(duì)話(huà)，發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤的本質(zhì)并不是學(xué)生不能正確進(jìn)行向量相減，而是對(duì)“被減數(shù)”和“減數(shù)”的概念運(yùn)用錯(cuò)誤，以至于說(shuō)不清差向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)。而造成這一錯(cuò)誤的教學(xué)原因，筆者認(rèn)為是由于師生脫離了具體圖形的支持，純粹從概念上描述一般法則。向量運(yùn)算的學(xué)習(xí)是技能學(xué)習(xí)，需要具體形象或表象的支持，這是學(xué)生認(rèn)知的規(guī)律。運(yùn)算學(xué)習(xí)的本質(zhì)是掌握法則、正確運(yùn)算，而不是糾纏于概念和語(yǔ)言描述。如果結(jié)合具體的圖形，學(xué)生也許不會(huì)出錯(cuò)，對(duì)向量減法的心理表征也許更好。事實(shí)上，這一環(huán)節(jié)最后還是回到了具體圖形，還是在具體圖形中完成了減法的意義建構(gòu)和規(guī)則概括。比較其他兩個(gè)環(huán)節(jié)，加法和數(shù)乘的教學(xué)由于很好地運(yùn)用了具體圖形，都很順利。所以，這一錯(cuò)誤提醒我們，教學(xué)引導(dǎo)一定要尊重學(xué)生的認(rèn)知心理，學(xué)生還處在由具體運(yùn)算向形式運(yùn)算發(fā)展的階段，教學(xué)直觀(guān)是學(xué)生學(xué)習(xí)的腳手架，教師要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)，淡化概念，注重本質(zhì)，讓學(xué)生在直觀(guān)、具體的情境中更加順利建構(gòu)新知識(shí)。

四、“教學(xué)路線(xiàn)圖”在課堂優(yōu)化中的應(yīng)用

優(yōu)化課堂設(shè)計(jì)是研課的重點(diǎn)工作，也是教師從認(rèn)識(shí)提高走向?qū)嵺`提高的重要步驟。經(jīng)過(guò)課堂觀(guān)察和課堂分析，教師會(huì)對(duì)教學(xué)活動(dòng)的目標(biāo)、內(nèi)容、方法、形式、過(guò)程等教學(xué)要素及其時(shí)序排列產(chǎn)生深刻的見(jiàn)解，進(jìn)一步會(huì)產(chǎn)生優(yōu)化設(shè)計(jì)的積極愿望和調(diào)整意見(jiàn)。這時(shí)，教學(xué)路線(xiàn)圖可以在以下兩個(gè)方面提供幫助：

一是作為復(fù)現(xiàn)課堂情境的線(xiàn)索，幫助取舍優(yōu)缺點(diǎn)。教學(xué)路線(xiàn)圖展示了課堂的整體圖景，便于教師復(fù)現(xiàn)課堂情境，客觀(guān)評(píng)價(jià)各要素的優(yōu)點(diǎn)和不足，權(quán)衡各種關(guān)系，找準(zhǔn)應(yīng)該堅(jiān)持和發(fā)揚(yáng)以及應(yīng)該改進(jìn)和調(diào)整的地方。

二是作為課堂設(shè)計(jì)的底本，幫助形成優(yōu)化方案。教學(xué)路線(xiàn)圖是設(shè)計(jì)優(yōu)化的底稿，教師可以根據(jù)自己對(duì)課堂的認(rèn)識(shí)，對(duì)各要素及其過(guò)程和狀態(tài)進(jìn)行調(diào)整、改造、添加和刪除，使教學(xué)預(yù)設(shè)變得更可行、更完善、更適合自己的教學(xué)需要。

下面是一位教師根據(jù)圖1對(duì)該課的優(yōu)化：

本課的優(yōu)點(diǎn)是很好地運(yùn)用了探究發(fā)現(xiàn)的教學(xué)方法，教學(xué)準(zhǔn)備充分，認(rèn)知引導(dǎo)合理，學(xué)生主體性較強(qiáng)，課堂效率很高，學(xué)生不僅發(fā)現(xiàn)了知識(shí)，還在發(fā)現(xiàn)知識(shí)的過(guò)程中體驗(yàn)了數(shù)學(xué)探究的方法和樂(lè)趣，這樣的預(yù)設(shè)應(yīng)該堅(jiān)持和發(fā)揚(yáng)。

本課教學(xué)內(nèi)容的選取和組織值得商榷。該班學(xué)生基礎(chǔ)好，教師打破了教材的章節(jié)安排，將向量的線(xiàn)性運(yùn)算集中到一節(jié)課上，這種做法是合理的。從實(shí)際結(jié)果看，減法環(huán)節(jié)只得到了差向量的基本畫(huà)法，對(duì)于教材中的“減一個(gè)向量等于加上這個(gè)向量的相反向量”沒(méi)有涉及。筆者認(rèn)為，為了提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算的理性認(rèn)識(shí)，這一結(jié)論應(yīng)該在本課完成。另外，數(shù)乘環(huán)節(jié)時(shí)間緊張，只學(xué)習(xí)了數(shù)乘的基本算法和0乘的規(guī)定，而把數(shù)乘的運(yùn)算律留給下一節(jié)課，從課堂教學(xué)的完整性和經(jīng)驗(yàn)生長(zhǎng)的連續(xù)性來(lái)看，不如舍去，把多余的時(shí)間用于加法和減法的探究，或者用于提高加、減運(yùn)算的熟練程度。基于以上想法，我的優(yōu)化是這部分內(nèi)容分為兩節(jié)課，圖2是第一節(jié)課的預(yù)設(shè)路線(xiàn)圖。

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圖2 “向量的運(yùn)算法則”的優(yōu)化路線(xiàn)圖

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1]張鐵明.教學(xué)信息論[M].南京：江蘇教育出版社，1990.

[2]涂榮豹，季素月.數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論新編[M].南京：江蘇教育出版社，2007.

[3]徐伯華.教師個(gè)體的研課模式：以“數(shù)學(xué)歸納法”一課為例[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2010（4）.

（責(zé)任編輯：張華偉）endprint