淺談輔助線在幾何證題中的應(yīng)用

德力根倉

（赤峰學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 內(nèi)蒙古 赤峰024000）

淺談輔助線在幾何證題中的應(yīng)用

德力根倉

（赤峰學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 內(nèi)蒙古 赤峰024000）

在幾何證題中,當(dāng)證明過程受阻時(shí),科學(xué)合理的添加輔助線能使解題思路順利暢通,輔助線能巧妙地連接起已知和未知,成為解題的橋梁，從而使幾何證題中隱蔽的條件明朗化,為順利地證明幾何題創(chuàng)造條件.本文從四個方面闡述了做輔助線的方法,并舉例說明在具體情況下,如何做輔助線.

輔助線；幾何證題；方法

1 前言

在高中數(shù)學(xué)的講解過程中，如何做輔助線，是幾何證題中的一個重要知識點(diǎn).在空間幾何圖形中添加輔助線，不但考驗(yàn)學(xué)生的空間想象能力，也考察了學(xué)生的創(chuàng)造性思維.做輔助線是一種難度很大的解題技巧，因?yàn)樗鼪]有法則可循，千變?nèi)f化，使初學(xué)者感到特別困難.

為了幫助學(xué)生學(xué)好幾何，科學(xué)正確的做出輔助線，本文分析了輔助線在幾何證題中的應(yīng)用，以期對開拓學(xué)生的解題思路，提高學(xué)生的分析能力、解決問題的能力以及綜合運(yùn)用知識的能力起到指導(dǎo)作用，同時(shí)力求對培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和發(fā)散思維起到積極作用，下面主要從四個方面探討輔助線在幾何證題中的應(yīng)用.

2 當(dāng)幾何證明題適用“綜合法”時(shí),用綜合法證題，在已知推證結(jié)論思路受阻時(shí),可從圖形的特征入手,巧設(shè)輔助線,利用圖形的性質(zhì)繼續(xù)推證

例1梯形ABCD中，已知DC∥AB,DC

求證

用綜合法分析,題中有條件∠A+∠B=90°.如果能做一條輔助線,使∠A和∠B在同一個三角形中，即可出現(xiàn)直角三角形,并且題中有中點(diǎn),可利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半的性質(zhì),來證明此題.通過C點(diǎn)做CE∥AD（圖1），交AB與E，則可得∠CEB=90°（∠CEB=∠A，∠A+∠B=90°）,再把MN移至直角三角形CBE中，過點(diǎn)C做CF∥MN,交AB于F.

圖1

根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”,有

證 在梯形ABCD中,由于AD∥EC,所以

∠A+∠B=90°.又因?yàn)椤螦=∠CEB,所以

∠CEB+∠B=90°.即△CEB為直角三角形.因?yàn)锽E=AB-DC，所以

3 當(dāng)幾何證明題適用“分析法”時(shí)，用分析法證題，從結(jié)論出發(fā)，尋找結(jié)論成立的條件，難以進(jìn)行下去的時(shí)候，可以添加輔助線，使追溯過程順利進(jìn)行下去

例2設(shè) △ABC中 ∠C=2∠B,a，b，c分 別 為∠A，∠B，∠C所對的邊.

求證 （a+b）b=c2.

分析 欲證（a+b）b=c2，只要證即可，為了證明,可以尋找兩個相似的三角形，而它們的對應(yīng)邊，剛巧能成為上面的比例.若一個三角形的兩邊分別為b和c，則另一個三角形與之相對應(yīng)的邊應(yīng)該為c和（a+b）.

在原圖中，不存在兩個三角形，沒有具有（a+b）為邊長的三角形.若不做輔助線，分析就無法進(jìn)行下去，命題就不能獲得證明.在原圖中有一個△ABC,AC=b,AB=c,要得到另一個相應(yīng)的三角形,其一邊若為c,則必須使其另一個邊為(a+b)，所以自然地會使我們想到，只要引長AC至D，并使CD=a，則AD=a+b.若再連接BD，則既可得到一個新的△ABD.在△ABD中，AB=c，AD=a+b，若再能證得,△ABC與△ADB相似,分析就可以繼續(xù)進(jìn)行下去了(圖2).，則只要證△ABC與△ADB相似即可.

圖2

因?yàn)檫@兩個三角形有一個公共角，即∠A=∠A，因此只要能證得另一對對應(yīng)角相等即可.

證 由題設(shè)知∠C=2∠B（即∠ACB=2∠ABC）.而 ∠ACB=∠D+∠CBD,BC=CD=a.∠D=∠CBD?∠ACB=2∠ABC? ∠ABC=∠D? △ABC與 ?△ADB相似?

顯然，若要證得

4 輔助線可以對原幾何圖形進(jìn)行各種變換，把已知圖形的某一部分通過平移、翻轉(zhuǎn)和旋轉(zhuǎn)變換出所需圖形，使題設(shè)中的元素與結(jié)論中的元素集中起來，元素一集中，相互之間的關(guān)系就會顯露出來

例3在四邊形ABCD中，AB=CD,E，F(xiàn)各為BC、AD的中點(diǎn)，BA、EF、CD相交而成∠α、∠β(圖 3).

圖3

求證 ∠α=∠β.

證 對題設(shè)進(jìn)行分析，因BA和CD延長以后不一定剛好相交在延長線上的某一點(diǎn)，也就是說∠α與∠β不一定是具有共同頂點(diǎn)的兩角.

顯然，在原圖要直接證明∠α=∠β 是有困難的.

為此，對部分圖形做平移變換，把∠α與∠β的頂點(diǎn)通過平行移動集中到一個已知點(diǎn)上，與此同時(shí)，將AB和CD也平行移動在一起，拼成一個角的兩邊.于是，我們可以做出如下的輔助線.

過F作FG平行且等于AB,作FH平行且等于CD.連接EG,EH,BG和GC.這時(shí)已經(jīng)把已知的元素和結(jié)論的元素集中在一起了，它們之間的關(guān)系也就顯露出來.為了證明∠A=∠B,只要證明∠1=∠2即可.AB平行且等于FG,所以ABGF是平行四邊形,從而BG平行且等于AF.又因?yàn)镕H平行且等于DC,所以FHCD是平行四邊形,從而HC平行且等于FD.由于AF=FD,所以BG平行且等于HC，因此BGCH為平行四邊形.因?yàn)镋為其一條對角線的中點(diǎn),GEH必為另一條對角線,進(jìn)而得出△FHG為等腰三角形（FG=AB，F(xiàn)H=CD，而AB=CD，∴FG=FH）.又因?yàn)镚E=EH（因?yàn)锽GCH為平行四邊形）,所以FE為△FGH底邊上之中線?FE也必為其頂角GFH之平分線?∠1=∠2?∠α=∠β.

5 通過做輔助線改造原圖形或轉(zhuǎn)換原 “求證”,化難為簡，使隱蔽的關(guān)系明朗化

例4設(shè)△ABC的兩條高線是BD和CE,其外接圓圓心為O.

求證OA⊥ED.

分析 欲證OA⊥ED，在原圖上似乎很難著手，它們的交點(diǎn)并不是什么特殊點(diǎn)，于是想到做輔助線.在OA和ED中，其中OA為O圓的半徑.因?yàn)榘霃蕉它c(diǎn)的切線必與半徑垂直，于是想到過A點(diǎn)作圓O的切線AF.

欲證OA⊥ED,只要證明AF⊥ED即可.

從而把題設(shè)中要證明的垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為證明平行的關(guān)系了（在轉(zhuǎn)化中運(yùn)用了已知元素間的關(guān)系和特點(diǎn)），并且這個平行關(guān)系的證明有AE可以做媒介，再轉(zhuǎn)化為證角的關(guān)系，只要證∠FAE=∠AED即可,于是可以得到證明的方法.

圖4

證 題設(shè)中BD、CE均為△ABC的高(圖4).因此∠BED=∠BDC=90°.若以BC為直徑作圓，則D、E必在此輔助圓上即B、C、D、E四點(diǎn)共圓,所以∠AED=∠BCA.而AF是過A點(diǎn)的O圓切線?∠FAE=∠BCA?∠FAE=AED?AF∥ED.但OA⊥AF,所以O(shè)A⊥ED.

6在做輔助線的時(shí)候常常會出現(xiàn)下列錯誤，在做題時(shí)要注意,尤其是初學(xué)者更應(yīng)該重視

1.沒有目的亂做輔助線，不但不會對解題起到幫助，反而會造成圖形混亂，影響思考.

2.做輔助線時(shí)，如果不按照基本作圖法進(jìn)行作圖，往往會導(dǎo)致邏輯上的錯誤.下面舉一個高考題說明.

例5 AB是半圓的直徑,C是半圓上的一個點(diǎn)，直線MN切半圓與C點(diǎn)，AM⊥MN與M點(diǎn)，BN⊥MN與N點(diǎn)，CD⊥AB與D點(diǎn)(圖5).

求證(1)CD=CM=CN；(2)CD2=AM·BN.

圖5

有些學(xué)生在做題時(shí)錯誤的寫到：“做∠A的平分線AC”.這就違反了作圖的基本方法.做∠A的平分線，就不能保證它一定通過C點(diǎn)，除非予以證明.在沒有依據(jù)的前提下不要亂做輔助線，否則不但對解題沒有幫助，反而會造成圖形混亂.

做輔助線的方法因題而異，千變?nèi)f化，沒有一定的法則可以遵循.這個困難在反復(fù)練習(xí)、仔細(xì)分析、研究探索后才能逐步解決，只有通過不斷做題、總結(jié)、積累才能使學(xué)生做好輔助線，提高解題的能力.

〔1〕李淑華.承德民族師專學(xué)報(bào)[J].2009，29（2）.

〔2〕王長明.怎樣添加平面幾何輔助線[J].中國致公出版社,2003.

〔3〕嚴(yán)濟(jì)慈.幾何證題法[M].北京：高等教育出版社, 1983.

〔4〕袁曉東.淺談幾何輔助線[M].北京：北京師范大學(xué)出版社,1984.

O123；G633

A

1673-260X（2014）06-0264-03