用表格法分析數(shù)學(xué)應(yīng)用問題中的數(shù)量關(guān)系

王艷

摘 要：學(xué)生學(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程。在學(xué)習(xí)解決實(shí)際應(yīng)用題內(nèi)容時(shí)，學(xué)生普遍感覺有困難，如何讓學(xué)生不再懼怕應(yīng)用題，關(guān)鍵是要學(xué)會(huì)有效分析條件。利用列表格的方法能夠清楚地分析各數(shù)量關(guān)系，對順利解決應(yīng)用題是行之有效的。

關(guān)鍵詞：表格；數(shù)量關(guān)系；應(yīng)用問題

新課程改革注重知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過程，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)觀察社會(huì)、思考問題，增強(qiáng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，重視聯(lián)系實(shí)際和數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。

一、新課標(biāo)的幾個(gè)核心理念

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在前言中提出數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，強(qiáng)調(diào)課程內(nèi)容要貼近學(xué)生的實(shí)際，利于學(xué)生體驗(yàn)與理解、思考與探索，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程。在實(shí)行新課程改革以來，新編教材在加強(qiáng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)方面作了大量的改進(jìn)，把培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)貫穿在教材編寫的始終，在各章的引入或閱讀材料中，提供有實(shí)際背景的問題，教材的正文一般都注意從實(shí)際引入概念，從實(shí)際提出問題，例題、習(xí)題中增加了實(shí)際應(yīng)用的內(nèi)容。這樣編排的目的除了讓學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識(shí)外，更增強(qiáng)了應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)。

二、波利亞的解題觀

波利亞在《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》中認(rèn)為“解題就是在原先是隔開的事物或想法之間去找聯(lián)系……這種聯(lián)系就像一座橋……像是一條由一系列結(jié)論組成的鏈”。在各種解題觀點(diǎn)中，波利亞的《怎樣解題》是具有代表性的著作。他就“怎樣解題”“教師應(yīng)教學(xué)生做些什么”等問題，把“解題中典型有用的智力活動(dòng)”按照解決問題時(shí)思維的自然過程分成四個(gè)階段：弄清問題、擬定計(jì)劃、實(shí)現(xiàn)計(jì)劃、回顧，描繪出解題理論的一個(gè)總體輪廓，也組成了一個(gè)完整的解題教學(xué)系統(tǒng)。

三、學(xué)生解應(yīng)用題的現(xiàn)狀分析

在多年的數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，我發(fā)現(xiàn)學(xué)生都有一類共同懼怕的問題，“談應(yīng)用題色變”。我曾調(diào)查了全班70個(gè)學(xué)生，愿意做應(yīng)用題的不超過10人，喜歡做的更是少到只有一二。原因有以下方面：（1）學(xué)生在初期的學(xué)習(xí)中，思維還處于剛剛萌發(fā)的階段，理解能力比較欠缺；（2）解題方法比較單一；（3）教材的例題通常是較簡單的問題，數(shù)量關(guān)系不復(fù)雜，學(xué)生容易懂，但在課外練習(xí)或能力測驗(yàn)競賽中出現(xiàn)了一些關(guān)系復(fù)雜的應(yīng)用題，學(xué)生在練習(xí)中挫折感不斷加重，就會(huì)產(chǎn)生厭學(xué)或懼怕的心理。而到了初中階段這些問題得到一定程度的緩解，學(xué)生思維有了相應(yīng)的訓(xùn)練和發(fā)展，用方程知識(shí)可以較容易地分析、解決問題。因此我覺得初中階段是幫助學(xué)生減緩這種解題恐懼感、提高分析解題能力、增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)信心的好時(shí)機(jī)。

四、解決應(yīng)用題的關(guān)鍵是正確分析問題中的各數(shù)量關(guān)系

1.設(shè)計(jì)表格，梳理數(shù)量關(guān)系

基本步驟是：

（1）審題，根據(jù)語境歸納本題屬于哪一基本類型，如，行程問題、工程問題、利潤問題、百分比問題、分配問題等；

（2）確定該問題的關(guān)鍵量及描述對象，或發(fā)生階段、方式；

（3）設(shè)計(jì)表格，根據(jù)關(guān)鍵量、描述對象或發(fā)生階段、方式的個(gè)數(shù)確定表格，如

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（4）填表，先填上已知關(guān)系量，再確定設(shè)未知量，然后表示其他相關(guān)量，并找出已知條件中表示等量關(guān)系的一個(gè)語句，列出方程，將表格填完整。例如，浙教版七年級(jí)下冊第七章第四節(jié)《分式方程的應(yīng)用》的引例：

問題：某地電話公司調(diào)低了長途電話的話費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，每分費(fèi)用降低了25%，因此按原收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)6元話費(fèi)的通話時(shí)間，在新收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)下可多通話5分時(shí)間，問前后兩種收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)每分鐘收費(fèi)各是多少？

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分析：本題中的關(guān)系式是單價(jià)×?xí)r間=總價(jià)。題中提到了兩個(gè)話費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，一個(gè)是原來的，另一個(gè)是調(diào)整后的，可以設(shè)原來的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是x元/分，還可以設(shè)原來的通話時(shí)間為y分鐘，如下表。

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從本題中看到一個(gè)實(shí)際問題中往往可能包含多個(gè)等量關(guān)系，可以選擇其中一個(gè)作為列方程的依據(jù)，設(shè)出合適的未知量，列出分析表。列表前要先考慮問題中涉及幾個(gè)關(guān)系量，關(guān)系量描述的對象有幾個(gè)，確定好表格，再“對號(hào)入座”填寫數(shù)量。一般填出分析表后，方程都較容易列出。

2.條件中的表格再利用

現(xiàn)在教材中的應(yīng)用問題給出的條件形式豐富，有些條件直接是以表格形式給出的，只要充分利用，學(xué)生就能較好地理解問題中數(shù)量間的關(guān)系，快速地解決問題。如，新浙教版八年級(jí)上冊第五章《5.4一次函數(shù)的圖象（2）》中的例題：

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例3.要從甲、乙兩倉庫向A、B兩工地運(yùn)送水泥。已知甲倉庫可運(yùn)出水泥100噸，乙倉庫可運(yùn)出80噸；A工地需70噸水泥，B工地需110噸水泥。兩倉庫到A、B兩工地的路程和每噸千米的運(yùn)費(fèi)如表：

（1）設(shè)甲倉庫運(yùn)往A地水泥x噸，求總運(yùn)費(fèi)y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并畫出圖象；

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（2）當(dāng)甲、乙兩倉庫運(yùn)往A、B工地多少水泥時(shí)，總運(yùn)費(fèi)最?。孔钍〉目傔\(yùn)費(fèi)是多少？

分析：本例中數(shù)量多，關(guān)系復(fù)雜，部分條件沒有用表格形式給出，它們與表格中的量有什么樣的關(guān)系呢？課堂上我與學(xué)生一起把表格再利用后，他們一下子覺得問題變簡單了。

五、列表法的思考

在平時(shí)解應(yīng)用題的過程中，學(xué)生的解題習(xí)慣比較容易停留在“想”上，但又想不清楚。通過列表格，可以把自己思考的過程明明白白地寫出來，看得見，“無形”變“有形”，抽象的關(guān)系變?yōu)榫唧w的符號(hào)，有利于自己判斷審題是否正確。我們看到，這里的列表格即繪制統(tǒng)計(jì)表，這是“統(tǒng)計(jì)與概率”內(nèi)容中的一部分。要列出表格，首先得收集數(shù)據(jù)，第二步分析數(shù)據(jù)的實(shí)際意義與相互聯(lián)系，確定表格的標(biāo)目是什么，其中一個(gè)標(biāo)目就是問題的對象，另一個(gè)標(biāo)目即每個(gè)對象的具體項(xiàng)目，通過第三步繪表和填表，即數(shù)據(jù)整理，我們將整個(gè)問題的信息都集中到了表格中，再根據(jù)橫向或縱向的信息就可以列出相應(yīng)的方程。其次，通過列表格，可以培養(yǎng)學(xué)生思考問題的條理性，并通過一種可操作的形式來表達(dá)自己的思維過程。弗里德曼在《怎樣學(xué)會(huì)解數(shù)學(xué)題》中認(rèn)為：“如果我們著手解答一道習(xí)題，那么，第一件事就想知道：這是道什么題？它是什么形式？屬于哪種類型？換句話說，就是需要識(shí)別給定習(xí)題的類型?！痹诹斜頃r(shí)，我們要確定每一道應(yīng)用題的類型及問題中的各主要關(guān)系量。其實(shí)學(xué)生從小學(xué)開始到初中階段，應(yīng)用題解了不少，但是還感到懼怕或束手無策，不開竅，是什么原因呢？弗里德曼在“致讀者”中分析指出：“這些學(xué)生沒有在應(yīng)有的程度上分析所解的習(xí)題，不能從中分析出解題的一般方式和方法，解題常常只是為了得個(gè)答案?！睂W(xué)生感覺到解應(yīng)用題最難的就是題目中各個(gè)數(shù)量之間的聯(lián)系是什么？應(yīng)該根據(jù)哪個(gè)量或哪句話列式？列表法就是給學(xué)生提供了一種通用的分析方法，從而給學(xué)生積累了學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。

實(shí)踐下來，我認(rèn)為在應(yīng)用題的教學(xué)中運(yùn)用表格的分析方法是分析數(shù)量關(guān)系解決問題的有效途徑，它讓已知的、未知的量都參與到了解決問題的核心——列關(guān)系式，這是用算式解法無法比擬的優(yōu)勢。教師可以通過具體的教學(xué)讓學(xué)生從被動(dòng)地用到自主地用，逐步掌握解決實(shí)際問題的方法。

參考文獻(xiàn)：

[1]波利亞.怎樣解題：數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn).北京：科學(xué)出版社，1982.

[2]羅增儒.中學(xué)數(shù)學(xué)解題的理論與實(shí)踐.廣西教育出版社，2008.

（作者單位 杭州市經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)學(xué)源街1288號(hào)下沙中學(xué)）

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