斯?jié)晒哦ɡ淼臍v史研究

王全來

(天津師范大學(xué)算機與信息工程學(xué)院,天津300387)

斯?jié)晒哦ɡ淼臍v史研究

王全來

(天津師范大學(xué)算機與信息工程學(xué)院,天津300387)

探討冪級數(shù)在收斂圓上的行為表現(xiàn)是函數(shù)解析開拓的一個重要問題,“具有有限多個不同系數(shù)的冪級數(shù)”是其研究的重要一類,斯?jié)晒哦ɡ砑词窃擃惣墧?shù)研究的一個重要成果.文章基于原始文獻(xiàn),利用歷史分析和比較的方法,探討了斯?jié)晒哦ɡ硖岢龅乃枷氡尘?法都猜想是其重要的思想來源,詳細(xì)分析了該定理的形成過程及進(jìn)一步的發(fā)展,對深入理解斯?jié)晒哦ɡ淼陌l(fā)展歷史具有重要作用.

詹逖生;解析開拓;法都猜想;斯?jié)晒哦ɡ?/p>

探討冪級數(shù)在其收斂圓周上的行為表現(xiàn)是函數(shù)解析開拓理論研究中的一個重要課題.具有有限多個不同系數(shù)的冪級數(shù)的斯?jié)晒哦ɡ砑词瞧溲芯康闹匾晒?關(guān)于該定理盡管散見于一些數(shù)學(xué)理論著作中[1-2],但缺乏從歷史角度對該定理的歷史做出深入分析.除此之外,國內(nèi)外也尚未見到關(guān)于該定理歷史的研究文獻(xiàn).鑒于此,本文基于原始文獻(xiàn),依據(jù)歷史分析和比較的方法從數(shù)學(xué)史的角度對具有有限多個不同系數(shù)的冪級數(shù)的斯?jié)晒哦ɡ淼臍v史進(jìn)行研究,以補現(xiàn)有文獻(xiàn)之不足.文章首先分析了該定理提出的歷史背景,法都猜想是其重要的思想來源;其次深入分析了該定理的歷史發(fā)展過程.詹逖生、波利亞、卡爾松和斯?jié)晒诺热讼群笠酝瑯拥恼撐念}目《具有有限多個不同系數(shù)的冪級數(shù)》發(fā)表了自己的研究成果.文章對他們的思想方法進(jìn)行了探討.最后探討該定理的進(jìn)一步發(fā)展.

1 斯?jié)晒哦ɡ硖岢龅乃枷氡尘?/h2>

三角級數(shù)是級數(shù)理論研究中的一個重要內(nèi)容,傅里葉為其做出了重要貢獻(xiàn).他在其著作《熱的解析理論》中指出,任意有界的在上定義的函數(shù)可以展開形如:的三角級數(shù),其中

但是,傅里葉對于函數(shù)、積分的概念十分模糊,更沒有收斂的觀念.文獻(xiàn)[3]第一次給出給定函數(shù)的傅里葉級數(shù)收斂并且收斂到本身的充分條件,從而給傅里葉分析奠定了嚴(yán)格基礎(chǔ).文獻(xiàn)[4]進(jìn)一步發(fā)展了傅里葉級數(shù)理論,并刻畫了可用三角級數(shù)表示的函數(shù)特征.

A0+A1+···+An+···,其中An=ancosnx+bnsinnx級數(shù)發(fā)散,則總能改變某些An的符號得到一個新級數(shù),在任何區(qū)間內(nèi)存在發(fā)散點.利用在區(qū)間的點列對此進(jìn)行證明,并指出泰勒級數(shù)以收斂圓為割線,其中他在該文最后猜想,“對于一個泰勒級數(shù)的某些系數(shù)乘上,總可以得到一個新級數(shù)使其以收斂圓為割線,至少當(dāng)系數(shù)滿足此頁的條件(即上面的條件)時.并且在所有情況下均可發(fā)生這種情況.”但可惜的是,法都沒有給出證明.正是這一猜想開創(chuàng)了“具有有限多個不同系數(shù)的冪級數(shù)”理論研究的先河.應(yīng)當(dāng)指出,“在所有情況下均可發(fā)生這種情況”,從概率角度看,其概率為1.這正是文獻(xiàn)[6]的注記中用概率語言強調(diào)的“泰勒級數(shù)一般以收斂圓為割線”的命題.該命題直到1929年由文獻(xiàn)[7]從概率角度給出明確證明.

文獻(xiàn)[8]沿著黎曼的思路對法都定理進(jìn)行了證明.文獻(xiàn)[9]又通過構(gòu)造輔助函數(shù)的方法也進(jìn)行證明,此法比上法簡單.盡管如此,并沒有對法都猜想進(jìn)行證明.

關(guān)于法都猜想,首先意識到的是胡爾維茨和波利亞.他們在文獻(xiàn)[10]中,對法都猜想進(jìn)行了證明.波利亞采用聚點法對法都猜想進(jìn)行證明,而胡爾維茨則給出了另外一種證明方法.他的證明方法如下.設(shè)級數(shù)P(x)=a0+a1x+a2x2+···+anxn+···收斂半徑為1.構(gòu)造新的級數(shù):

Q(x)=an1xn1+an2xn2+···+anχxnχ+···,

系數(shù)anχ全部非0,且滿足條件中只出現(xiàn)一次.令

Pε(x)=P0(x)+ε1P1(x)+ε2P2(x)+···+εχPχ(x)+···,

其中ε1,ε2,···,εχ,···只取兩個值1和?1.他猜想級數(shù)Pε(x)中至少存在一個,其單位圓為自然邊界,并用反證法證明了該結(jié)論.正是這篇文章深深影響了詹逖生,并由此開始了“具有有限多個不同系數(shù)的冪級數(shù)”的理論研究.

2 斯?jié)晒哦ɡ淼臍v史發(fā)展過程

文獻(xiàn)[11]對法都猜想繼續(xù)研究,其主要貢獻(xiàn)是研究只有有限多個不同系數(shù)的冪級數(shù),并把上述提到的冪級數(shù)作為特例.詹逖生對斯?jié)晒哦ɡ淼男纬勺龀隽说旎怨ぷ?

他在該文分五部分對此問題進(jìn)行討論.在第一部分給出極點定理,設(shè)函數(shù)展成的冪級數(shù)只具有有限多個不同的系數(shù),且在收斂圓上只有一個極點,則f(x)是具有單重極點的有理函數(shù).系數(shù)組(am,···,am?k)的性質(zhì)在該定理的證明中起到了關(guān)鍵作用.在第二部分給出本性奇點定理,設(shè)由級數(shù)表示的函數(shù)f(x)只具有有限多個不同的系數(shù),有一個奇點η,且在整個平面內(nèi)單值,則η是一個單位根,且f(x)以η為單重極點.Wigert定理為其證明的重要依據(jù).為了證明主定理和冪級數(shù)系數(shù)的符號變化定理,他在第三部分把系數(shù)組(am,···,am?k)的討論推廣到數(shù)組(a1,···,am)性質(zhì)的討論,并給出3個相應(yīng)的輔助定理.

輔助定理2.1在實數(shù)系a10;或者a1=0,且av=(v?1)a2.

輔助定理2.2設(shè)由有限多個數(shù)x的正冪和負(fù)冪構(gòu)成的數(shù)組,當(dāng)由x的k1,k2,···,km次冪構(gòu)成的數(shù)組中,所得結(jié)果或者是單位根,或者至少出現(xiàn)兩次,則x是單位根.

輔助定理2.3設(shè)存在一任意數(shù)組[z1,z2,···,zn],在輔助定理2.2假設(shè)下,zv是單位根.

他關(guān)于數(shù)組(a1,···,am)性質(zhì)討論對其后斯?jié)晒叛芯吭搯栴}有重要影響.

詹逖生在該文的第四部分給出了主定理,也是本文要說明的論點.設(shè)只有有限多個不同的系數(shù),用其表示的函數(shù)f(x)在單位圓上只有有限多個奇點,且f(x)在一個稍大的圓內(nèi)是單值的,則f(x)是具有全部單重極點的有理函數(shù),極點即為單位根.他給出的證明如下.由前面定理和輔助定理知,f(x)是在圓|x|=1上只具有單位根的奇點.設(shè)m為正素數(shù),則對于一切奇點是一個素的m階單位根,則m個函數(shù)中的每一個具有有限多個不同系數(shù),且在單位圓上只有奇點1,而在稍大的圓內(nèi)單值.

故對于f(x),可有形式多項式+多項式1?xm.

詹逖生的主定理后經(jīng)其他數(shù)學(xué)家的努力,使該定理條件和結(jié)論更加豐富完善,證明方法更為多樣化.

詹逖生在該文第五部分給出了冪級數(shù)系數(shù)的符號變化定理,并依據(jù)上面給出的3個輔助定理進(jìn)行了證明.設(shè)級數(shù)通過系數(shù)的符號變化得到,且由這兩個級數(shù)表示的函數(shù)在收斂圓上只具有孤立奇點,且在一個稍大的圓內(nèi)單值,則一個函數(shù)在收斂圓上的每個奇點等于另一個函數(shù)在收斂圓上奇點與單位根相乘.詹逖生在該文文末指出,在收斂圓上給定的奇點,即在給定的前提條件下,其系數(shù)存在一個周期性的符號變化,則其在收斂圓上的奇點可以由此定理推導(dǎo)出.這個結(jié)論對其后的波利亞研究該問題有重要影響.

詹逖生和波利亞在數(shù)學(xué)上有很深的交流,他把這篇論文的設(shè)計以通信方式告知了波利亞,因此其思想首先影響到了波利亞.波利亞繼續(xù)研究該問題,并以另外一種方法得到了詹逖生的主定理.

波利亞在文獻(xiàn)[12]中指出,他將以新的方法對詹逖生的論文結(jié)果給出依據(jù).在注腳處,他指出,“詹逖生把他的結(jié)果以友好的書面方式告知了我,可惜由于交通困難,我既不能了解其證明的細(xì)節(jié),也不能查看他的論文的確定文本.我以不完全的方法引用其文還請見諒”.波利亞在該文中得到如下結(jié)果.設(shè)無窮多項序列:

(1)b0,b1,b2,···,bn,···只有有限多個互不相同;

進(jìn)一步假設(shè)兩個冪級數(shù):

(2)a0+a1z+a2z2+···+anzn+···,

(3)a0b0+a1b1z+a2b2z2+···+anbnzn+···,

在單位圓|z|<1內(nèi)收斂,在圓周|z|=1上只有有限多個孤立奇點,在每個鄰域內(nèi)表示的函數(shù)單值,則在圓周|z|=1,(3)的奇點一定可由(2)的奇點與單位根相乘得到.在上述假設(shè)下,再補充則序列(1)從某項開始是周期的.當(dāng)序列(1)從某項開始是周期的,則冪級數(shù)b0+b1z+···+bnzn+···是一個只具有簡單極點的有理函數(shù),極點即為單位根(E. Landau在1903年解決了“當(dāng)一個具有有限多個不同系數(shù)的冪級數(shù)表示一個有理函數(shù)時,則從某項開始系數(shù)列是周期”的問題).

他采用Wigert定理,阿達(dá)瑪奇點乘積定理和有理數(shù)逼近任意數(shù)的方法對上述定理進(jìn)行了證明.

波利亞在該文最后指出,當(dāng)冪級數(shù)b0+b1z+···+bnzn+···只有有限多個互不相同的系數(shù),且系數(shù)不具有周期性,則b0+b1z+···+bnzn+···不滿足代數(shù)方程,且也不滿足線性微分方程的Fuchs類.他利用Wigert定理和反證法證明了該結(jié)論.

詹逖生和波利亞的論文出版促使卡爾松關(guān)注該問題(應(yīng)當(dāng)指出的是,卡爾松已經(jīng)在1917年《論對于整系數(shù)的插值函數(shù)和整值函數(shù)》中涉及到了斯?jié)晒哦ɡ?但當(dāng)時只是把該定理作為輔助定理使用).在前人基礎(chǔ)上,卡爾松在文獻(xiàn)[13]中繼續(xù)研究該問題,并得到了如下一些定理.

定理A設(shè)f(x)是具有收斂半徑大于等于1的冪級數(shù),在弧的每個點處(包括端點)正則,ε(n)表示隨趨于0的收斂函數(shù),當(dāng)對任意的n,前n項系數(shù)中的n(1?ε(n))個只取有限個不同的值,則一定有f(x)其中c是一個常數(shù),g(x)是收斂半徑大于1的冪級數(shù).

定理B是收斂半徑大于1的冪級數(shù),在單位圓|x|=1上只有有限多個奇點,當(dāng)對任意的n,前n項系數(shù)中的n(1?ε(n))個只取有限個不同的值,則一定有其中P(x)是一個多項式,m是一個整數(shù),g(x)是收斂半徑大于1的冪級數(shù).

定理C序列a0,a1,···,an,···只含有限多個不同的值,序列從某項起是周期的,充要條件是冪級數(shù)f(x)只有有限多個奇點在單位圓上,且

詹逖生的主定理對應(yīng)于定理B的特殊情況ε(n)=0.其中f(x)在圓|x|1內(nèi)是單值的.卡爾松利用整函數(shù)的根理論、模理論、階理論及Wigert定理證明了定理A和B,并以定理A為輔助定理對定理C進(jìn)行了證明.他利用整函數(shù)階的理論對定理A進(jìn)行了推廣,并給出了證明.應(yīng)當(dāng)指出的是,卡爾松得到的定理A和B已經(jīng)具有了級數(shù)超收斂的重要思想.級數(shù)超收斂理論后由奧斯特洛斯基從1921年開始進(jìn)行系統(tǒng)研究,并得到諸多深刻結(jié)果.

對該問題認(rèn)識最深刻,所得結(jié)果最為漂亮的是斯?jié)晒?故多數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)者和數(shù)學(xué)著作把該結(jié)果稱為斯?jié)晒哦ɡ?他在文獻(xiàn)[14]中指出,冪級數(shù)f(z)=a0+a1z+a2z2+···+anzn+···只具有有限多個不同的系數(shù),則它或者表示一個有理函數(shù),或者在收斂圓之外不可解析開拓.在第一種情況下,系數(shù)an從某項開始是周期的,且其中P(z)表示一個多項式.又可表述為,設(shè)在冪級數(shù)中不同的系數(shù)數(shù)是有限的.假設(shè)解析函數(shù)u(r,x)能夠穿過單位圓邊界的某個弧解析開拓,則除了某個點外,系數(shù)an是一個周期序列的項.

輔助定理3.1對于充分小的δ,當(dāng)z在曲線Γ(δ)上時,可得到一個不依賴于δ的多項式:

任意小.

輔助定理3.2若解析函數(shù)f(z)的冪級數(shù)展開為f(z)=a0+a1z+···+anzn+···,其系數(shù)有界,在曲線Γ(δ)內(nèi)和上正則,當(dāng)zΓ(δ)上時,則

Sn?1(z)為前n?1項和,M是獨立于z和n的常數(shù).其中,Γ(δ)是下列區(qū)域的邊界曲線.

(1)圓弧.|z|=R,φ1≤arcz≤φ2;|z|=1?δ,φ2≤arcz≤φ1+2π.

(2)帶型域.1?δ≤|z|≤R,φ1=arcz;1?δ≤|z|≤R,φ2=arcz.其中R>1, 0≤φ1<φ2<2π,δ為任意小的正常數(shù).

他基于兩個輔助定理和通過對全部系數(shù)群(an,an+1,···,an+q?1),n=0,1,2,···性質(zhì)的研究,得到了an+v?μ=an,n=μ,μ+1,···,并最終得到

“具有有限多個不同系數(shù)的冪級數(shù)”在詹逖生、波利亞、卡爾松、斯?jié)晒诺热说难芯肯碌玫搅艘粋€漂亮的定理,并由其后的數(shù)學(xué)家繼續(xù)推廣.

3 斯?jié)晒哦ɡ淼倪M(jìn)一步發(fā)展

在斯?jié)晒胖?數(shù)學(xué)家們繼續(xù)研究該問題,并從各個角度對他的漂亮定理進(jìn)行推廣.文獻(xiàn)[15]指出函數(shù)解析可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)是有界的.設(shè)f(z)其中系數(shù)an只取有限多個不同的值.若f(z)在單位圓的某個區(qū)域內(nèi)有界,則f(z)為一個有理函數(shù).利用整函數(shù)的模理論、傅里葉積分理論和利普希茲一致收斂定理證明了該定理.文獻(xiàn)[16]指出函數(shù)解析可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)是調(diào)和的.若調(diào)和函數(shù)

的復(fù)系數(shù)ak只取有限個不同的值,且滿足增長條件:

則序列{ak}除了腳標(biāo)的一個有限集外是一個周期序列.利用勒貝格測度理論,Fourier-Stieltjes系數(shù)定理及泊松積分證明了該定理.文獻(xiàn)[17]證明了如下定理,包含了上述的一些推廣.如果

只有有限多個不同的系數(shù),并且對于圓的某個弧(α,β),滿足

本文基于原始文獻(xiàn)梳理了“具有有限多個不同系數(shù)的冪級數(shù)”的斯?jié)晒哦ɡ淼臍v史,剖析了以上學(xué)者對該定理的研究思想和方法,由此可以看到數(shù)學(xué)理論的完善與數(shù)學(xué)思想方法的進(jìn)步緊密相關(guān).

[1]Dienes P.The Taylor Series:An Introduction to the Theory of Functions of a Complex Variable[M].London: Oxford University Press,1931.

[2]Titchmarsh E C.The Theory of Functions[M].2nd ed.London:Oxford University Press,1939.

[3]Dirichlet P G L.Sur la Convergence des S′eries Trigonom′etriques[C].Berlin:Springer,1889.

[4]Riemann B.¨Uber die Darstellbarkeit Einer Funktion Durch Einer Trigonom′etrische Reihe[C].Berlin: Springer,1990.

[5]Fauto P.S′eries trigonometriques et s′eries de Taylor[J].Acta.Math.,1906,30:335-400.

[6]王全來.對波萊爾關(guān)于“泰勒展開一般以收斂圓為割線”思想研究[J].數(shù)學(xué)研究與評論,2007,27(4):982-986.

[7]Steinhaus H.¨Uber die Wahrscheinlichkeit daf¨ur,da? der Konvergenzkreis einer Potenzreihe ihre Nat¨urliche grenze ist[J].Math.Zeitschr.,1930,31:408-416.

[8]Steinhaus H.¨Uber Die Wahrscheinlichkeit daf¨ur,da? der Konvergenzkreis einer Potenzreihe ihre Nat¨urliche grenze ist[J].Math.Zeitschr.,1930,31:408-416.

[9]Riesz M.Neuer beweis des Fatouschen satzes[J].G¨ottinger Nachrichten,1916,1:62-65.

[10]Hurwitz A,P′olya G.Zwei beweise eines von herrn Fatou vermuteten satzes[J].Acta.Math.,1916,40: 179-183.

[11]Fauto Jentzsch R.¨Uber potenzreihen mit endlich vielen verschiedenen Koeffizienten[J].Mathematische Annalen,1918,78:276-285.

[12]P′olya G.¨Uber Potenzreihen mit endlich vielen verschiedenen Koeffizienten[J].Mathematische Annalen, 1918,78:286-293.

[13]Carlson F.¨Uber Potenzreihen mit endlich vielen verschiedenen Koeffizienten[J].Mathematische Annalen, 1919,79:237-245.

[14]Szeg¨o G.¨Uber Potenzreihen mit endlich vielen verschiedenen Koeffizienten[C].Berlin:Birkh¨auser Verlag, 1982.557-560.

[15]Duffin R J,Schae ff er A C.Power series with bounded coefficients[J].Amer.J.Math.,1945,67:141-154.

[16]Helson H.Note on harmonic functions[J].Proc.Amer.Math.Soc.,1953,4:686-691.

[17]Helson H.On a theorem of Szeg¨o[J].Proc.Amer.Math.Soc.,1955,6:235-242.

[18]Ilie ffL.Series of Faber polynomials whose coefficients assume a fi nite number of values[J].Dok.Akad. Nauk.SSSR.,1953,90:499-502.

[19]Russev P.A class of analytically uncontinuable series in orthogonal polynomials[J].Math.Ann.,1969,184: 61-64.

The research on the history of the theorem of Szeg¨o

Wang Quanlai
(The College of Computer and Information Engineering,Tianjin Normal University,Tianjin300387,China)

The behavior of power series on the boundary of the disc of convergence is very important to be discussed in holomorphic extension.The power series with only fi nitely many distinct coefficients is signi fi cant for this situation.The theorem of Szeg¨o is important result for power series.This paper discusses the history of this theorem on the basis of historical analysis and literature reviewing.It analyzes it′s background,the procedure and the development.Fatou′s conjecture is its thought origin.

Robert Jentzsch,holomorphic extension,Fatou′s conjecture,Szeg¨o′s theorem

O173.1

A

1008-5513(2014)01-0014-07

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.01.003

2008-02-10.

國家自然科學(xué)基金(11001199).

王全來(1974-),博士,副教授,研究方向：近現(xiàn)代數(shù)學(xué)史.

2010 MSC:40A05