二項分布參數(shù)的經(jīng)典估計與Bayes 估計相等的關(guān)系①

姚 麗

(吉林師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林四平136000)

0 引言

文獻[2]中稱“貝葉斯學(xué)派至今尚未證明總體分布p(x/θ)中的參數(shù)的任一經(jīng)典估計都存在一個先驗分布，使得其貝葉斯估計就是該經(jīng)典估計”，這一命題現(xiàn)在仍未解決．

由于二項分布是實際中常用的離散分布，并且最大似然估計和矩估計是主要的參數(shù)估計方法，為此，以二項分布為研究對象來探討命題真?zhèn)螌τ谧罱K解決問題是有益的．本文證明了二項分布中未知參數(shù)的經(jīng)典估計(最大似然估計和矩估計)，一定存在一個先驗分布，使其貝葉斯估計就是該參數(shù)的經(jīng)典估計的結(jié)論．

1 二項分布中未知參數(shù)的經(jīng)典估計

1．1 最大似然估計

從總體X中抽取簡單隨機樣本X1，X2，…，Xn，得到x1，x2，…，xn，則二項分布中樣本的似然函數(shù):

對數(shù)似然函數(shù):

令

則

1．2 矩估計

2 二項分布的后驗分布

我們?nèi)∝愃植糂e(α，β)作為二項分布中未知參數(shù)θ的先驗分布，其中，α和β已知，則

未知參數(shù)θ的后驗分布

3 二項分布中未知參數(shù)θ在取Be(α，β)下的 Bayes估計

由文獻[3]知，二項分布中未知參數(shù)在取先驗分布Be(α，β)下的Bayes估計B=E(θ/x)，由于

4 結(jié) 論

本文以二項分布為例，討論并證明了其未知參數(shù)θ的經(jīng)典估計(最大似然估計和矩估計)都存在一個先驗分布 Be(α，β)(α 和 β 滿足條件:β =)，使得其貝葉斯估計就是該經(jīng)典估計，這一結(jié)論的確定有利于繼續(xù)研究貝葉斯統(tǒng)計中未解決的問題．

[1] 彭燕．貝葉斯估計和經(jīng)典估計的對比研究[J]．岳陽師范學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版)，2002，15(01):1008 －620X．

[2] 茆詩松．貝葉斯統(tǒng)計[M]．北京:中國統(tǒng)計出版社，1999．

[3] 張堯庭，陳漢峰．貝葉斯統(tǒng)計推斷[M]．北京:科學(xué)出版社，1991．

[4] 茆詩松，王靜龍，濮曉龍．高等數(shù)理統(tǒng)計[M]．北京:高等教育出版社，2006．

[5] 茆詩松，程依明，濮曉龍．概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程[M]．北京:高等教育出版社，2008．