姚 麗
(吉林師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,吉林四平136000)
文獻[2]中稱“貝葉斯學(xué)派至今尚未證明總體分布p(x/θ)中的參數(shù)的任一經(jīng)典估計都存在一個先驗分布,使得其貝葉斯估計就是該經(jīng)典估計”,這一命題現(xiàn)在仍未解決.
由于二項分布是實際中常用的離散分布,并且最大似然估計和矩估計是主要的參數(shù)估計方法,為此,以二項分布為研究對象來探討命題真?zhèn)螌τ谧罱K解決問題是有益的.本文證明了二項分布中未知參數(shù)的經(jīng)典估計(最大似然估計和矩估計),一定存在一個先驗分布,使其貝葉斯估計就是該參數(shù)的經(jīng)典估計的結(jié)論.
從總體X中抽取簡單隨機樣本X1,X2,…,Xn,得到x1,x2,…,xn,則二項分布中樣本的似然函數(shù):
對數(shù)似然函數(shù):
令
則
我們?nèi)∝愃植糂e(α,β)作為二項分布中未知參數(shù)θ的先驗分布,其中,α和β已知,則
未知參數(shù)θ的后驗分布
由文獻[3]知,二項分布中未知參數(shù)在取先驗分布Be(α,β)下的Bayes估計B=E(θ/x),由于
本文以二項分布為例,討論并證明了其未知參數(shù)θ的經(jīng)典估計(最大似然估計和矩估計)都存在一個先驗分布 Be(α,β)(α 和 β 滿足條件:β =),使得其貝葉斯估計就是該經(jīng)典估計,這一結(jié)論的確定有利于繼續(xù)研究貝葉斯統(tǒng)計中未解決的問題.
[1] 彭燕.貝葉斯估計和經(jīng)典估計的對比研究[J].岳陽師范學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版),2002,15(01):1008 -620X.
[2] 茆詩松.貝葉斯統(tǒng)計[M].北京:中國統(tǒng)計出版社,1999.
[3] 張堯庭,陳漢峰.貝葉斯統(tǒng)計推斷[M].北京:科學(xué)出版社,1991.
[4] 茆詩松,王靜龍,濮曉龍.高等數(shù)理統(tǒng)計[M].北京:高等教育出版社,2006.
[5] 茆詩松,程依明,濮曉龍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程[M].北京:高等教育出版社,2008.