Sobolev 方程的各向異性非協(xié)調(diào)Crouzeix－Raviart 型有限元分析①

李書文， 王壽城， 謝燕燕

(合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽合肥230009)

0 引言

本文主要目的針對Sobolev方程在各向異性網(wǎng)格下，采用混合有限元方法建立有限元子空間，討論一個Crouzeix－Raviart型非協(xié)調(diào)線性三角形元的推廣應(yīng)用問題．首先構(gòu)造剖分單元，建立問題的半離散混合元格式，給出離散格式的解的唯一性．其次給出相應(yīng)的收斂性結(jié)果和誤差估計．在研究過程中摒棄了傳統(tǒng)的正則性假設(shè)和分析中必不可少的Ritz投影，得到了與傳統(tǒng)有限元相同的誤差估計．這表明傳統(tǒng)有限元分析所要求的正則性網(wǎng)格剖分的前提條件并不是必要的，同時驗證了文中采用的一類新的非協(xié)調(diào)C－R型三角形元的有效性，是對Sobolev方程研究的擴(kuò)充，也是豐富了各向異性問題研究和應(yīng)用．

1 單元構(gòu)造

設(shè)Ω是R2中的一個有界凸多邊形區(qū)域，Jh為Ω的一個三角形剖分族，但剖分不要求滿足通常的正則性假設(shè)．設(shè)Jh滿足文獻(xiàn)[4]中定義的最大角條件和坐標(biāo)系條件．對于任意的K∈Jh，頂點坐標(biāo)為ai(xi，yi)，i=1，2，3．存在可逆反射變換 FK→ K

2 半離散格式誤差分析

考慮的Sobolev方程如下

勘探部署方案包括井位數(shù)量、井位位置和鉆井設(shè)計3部分內(nèi)容。井位數(shù)量的確定要滿足探明可采儲量的需要；井位位置的確定要依據(jù)巖性油藏分布的特點，同時兼顧開發(fā)方案的需要；單井鉆探要依據(jù)實現(xiàn)地質(zhì)目的和降低成本的要求來設(shè)計。

其中a=a(X，t)，b=b(X，t)，f=f(X，t)，u0(X)，f(X，t)為已知函數(shù)且|b|≤ α0，0 ＜ α1≤a≤α2，|at|≤α3，(X，t)∈Ω × (0，T](α0，α1，α2，α3為常數(shù)，X=(x，y)，a，b∈W1，∞(Ω)，?t∈(0，T]，Ω為有界凸多邊形區(qū)域．引入中間變量p=a▽ut+b▽u，則問題(1)的變?yōu)?/p>

記 V=H10(Ω)，M=(L2(Ω))2，?v∈ V，w ∈M分別與式(2)中的一式和二式做內(nèi)積，結(jié)合Green公式，求(u，p):(0，T]→ V × M，使得

易知▽Vh?Mh滿足匹配關(guān)系．插值算子

則

其中 I|K=IK，∏K=∏K． 且 ‖·‖1，h=是Vh上的模．與(3)對應(yīng)的有限元逼近為:求(uh，ph):[0，T]→ Vh× Mh，使得(▽uh，▽vh)h以及(Vh，Mh)分別滿足連續(xù)和離散LBB條件，易知逼近問題的解存在唯一的．

引理 在各向異性網(wǎng)格下，?u，p∈H2(Ω)，vh∈ Vh，有

定理 設(shè)(u，p)，(uh，ph)別為(3)和(4)解，u，ut∈ H2(Ω)時，則有

證明: 令f=0．在(4)第一方程中令vh=uht，則(p，▽uht)=0．

記

由引理， 則 有‖η‖0+h‖η‖1，h≤ch2‖u‖2．‖ρ‖0≤ ch‖p‖2．

結(jié)合(3)和(4)式得誤差方程

注意到▽Vh?Mh，在(5)第一方程中令vh=ζ，第二方程令wh=▽ζ，代入并聯(lián)立可得

引理的三式，Cauchy不等式，Young不等式和

可得

作積分，由Gronwall引理

在(5)式第一、二方程中分別令vh=ζt，wh=▽ζt，則

由Cauchy不等式和引理得

由(6)，(7)得

在(5)式第二方程中令wh=θ，則有

由(6)和(8)得

證畢．

[1] 施德明．非線性濕氣遷移方程的邊值問題[J]．應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報，1990，13(1):31 －38．

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[4] 石東洋，許超．二階橢圓問題的各向異性非協(xié)調(diào)Crouzeix－Raviart型有限元方法[J]．應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)，2012，33(2):240－249．

[5] 張亞東，石東洋．各向異性網(wǎng)格下拋物方程一個新的非協(xié)調(diào)混合元收斂性分析[J]．計算數(shù)學(xué)，2013，35(2):171 －180．

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[8] 石東洋，王慧敏．Stokes型積分微分方程的質(zhì)量集中各向異性非協(xié)調(diào)你有限元分析[J]．應(yīng)用數(shù)學(xué)，2009，22(1):33 －41．

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[10] 石東洋，李志燕．二階橢圓問題的非協(xié)調(diào)混合元收斂性分析[J]．河南師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2008，36(4):1 －3．