平面向量問題的常規(guī)解法

單鵬

摘 要： 平面向量是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是解決數(shù)學(xué)問題的很好的工具，是聯(lián)系代數(shù)與幾何的橋梁，是江蘇高考的必考內(nèi)容，其中向量的數(shù)量積還是高考的C級(jí)要求，同時(shí)也是學(xué)生比較感興趣且有一定難度的一類問題.那么向量問題有哪些常規(guī)解法呢？本文就此問題作探討.

關(guān)鍵詞： 平面向量 常規(guī)解法 高中數(shù)學(xué)教學(xué)

平面向量是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是解決數(shù)學(xué)問題的很好的工具，是聯(lián)系代數(shù)與幾何的橋梁，是江蘇高考的必考內(nèi)容，其中向量的數(shù)量積還是高考的C級(jí)要求，同時(shí)也是學(xué)生比較感興趣而又有一定難度的一類問題.那么向量問題有哪些常規(guī)解法呢？我結(jié)合教學(xué)體會(huì)小結(jié)如下.

一、合理拆分法

例1：已知O為△ABC的外心，AB=4，AC=2，∠BAC為鈍角，M是邊BC的中點(diǎn)，則■·■的值等于多少？

分析：只要把向量■拆分為■+■，然后根據(jù)外心定義及一個(gè)向量■在■與■上的投影即可解決.答案為5.

例2：在平面上，■■⊥■■，|■■|=|■■|=1，■=■■+■■.若|■|<■，則|■|的取值范圍是？搖 ？搖.

分析：只要把已知向量與所求向量轉(zhuǎn)化成以O(shè)點(diǎn)為起點(diǎn)的向量即可解決問題.

解：∵■■⊥■■，

∴■■·■■=（■■-■）·（■■-■）=■■·■■-■■·■-■·■■+■■=0，

∴■■·■■-■■·■-■·■■=-■■.

∵■=■■+■■.

∴■-■=■■-■+■■-■，

∴■=■■+■■-■.

∵|■■|=|■■|=1，

∴■■=1+1+■■+2（■■·■■-■■·■-■■·■）=2+■■+2（-■■）=2-2■■.

∵|■|<■，∴0≤|■|■<■，∴0≤2-■■<■，

∴■<■■≤2，即|■|∈（■，■].

二、數(shù)形結(jié)合，建立坐標(biāo)系法

例3：

如圖，若a=■，b=■，a與b夾角為120°，|a|=|b|=1，點(diǎn)P是以O(shè)為圓心的圓弧■上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)■=x■+y■（x，y∈R），求x+y的最大值.

分析：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系可以把向量的運(yùn)算轉(zhuǎn)化成坐標(biāo)運(yùn)算.

解：以O(shè)為原點(diǎn)，OD為x軸建立直角坐標(biāo)系，

則D（1，0），E（-■，■）.

設(shè)∠POD=α（0≤α≤■），則P（cosα，sinα）.

由■=x■+y■，得cosα=x-■y，sinα=■y，

所以y=■sinα，x=cosα+■sinα，

所以x+y=cosα+■sinα=2sin（α+■）.

又0≤α≤■，故當(dāng)α=■時(shí)，x+y的最大值為2.

利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解題，主要就是根據(jù)相等向量坐標(biāo)相同這一原則，通過列方程（組）進(jìn)行求解；在將向量用坐標(biāo)表示時(shí)，要看準(zhǔn)向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)坐標(biāo)，也就是要注意向量的方向，不要寫錯(cuò)坐標(biāo).

三、兩邊平方或同時(shí)點(diǎn)乘同一個(gè)向量法

例3的解法二：設(shè)∠POD=α（0≤α≤■），由■·■=x■·■+y■·■，■·■=x■·■+y■·■，

可得cosα=x-■y，cos（■-α）=-■x+y.

于是x+y=2[cosα+cos（■-α]=2sin（α+■）.

又0≤α≤■，故當(dāng)α=■時(shí)，x+y的最大值為2.

例4：（2013·湖南改編）已知a，b是單位向量，a·b=0，若向量c滿足|c-a-b|=1，則|c|的取值范圍是？搖 ？搖.

分析：對(duì)條件|c-a-b|=1兩邊平方，這樣可以很順利地打開解題思路，

解：∵a·b=0，且a，b是單位向量，∴|a|=|b|=1.

又∵|c-a-b|■=c■-2c·（a+b）+2a·b+a■+b■=1，

∴2c·（a+b）=c■+1.

∵|a|=|b|=1且a·b=0，∴|a+b|=■，

∴c■+1=2■|c|cosθ（θ是c與a+b的夾角）.

又-1≤cosθ≤1，∴0

∴c■-2■|c|+1≤0，

∴■-1≤|c|≤■+1.

如正弦定理的證明就是用的兩邊同時(shí)點(diǎn)乘一個(gè)向量的方法，余弦定理的證明就是用的兩邊平方法，兩種證法參見蘇教版必修五課本.

四、基底法（運(yùn)用平面向量基本定理、平行向量定理）

例5：（2012·湖州模擬）如圖，在△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，G為AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)G任作一直線MN分別交AB，AC于M，N兩點(diǎn)，若■=x■，■=y■，試問：■+■是否為定值？請(qǐng)證明你的結(jié)論.

分析：以不共線的兩個(gè)向量■、■為一組基底，把其他向量用這個(gè)基底線性表示.

解：■+■為定值，證明如下：

設(shè)■=a，■=b，則■=xa，■=yb，

■=■■=■（■+■）=■（a+b），

所以■=■-■=■（a+b）-xa=（■-x）a+■b，

■=■-■=yb-xa=-xa+yb.

因?yàn)椤雠c■共線，所以存在實(shí)數(shù)λ，使■=λ■，所以（■-x）a+■b=λ（-xa+yb）=-λxa+λyb，又因?yàn)閍與b不共線，所以■-x=-λx■=λy，

消去λ，得■+■=4為定值.

方法總結(jié)：

1.如果題目中已知兩個(gè)不共線的向量的模與夾角，一般都是以這兩個(gè)不共線的向量為一組基底，其他向量用它線性表示，這樣問題就可得以解決.

2.平行向量定理的條件和結(jié)論是充要條件關(guān)系，既可以證明向量共線，又可以由向量共線求參數(shù).利用兩向量共線證明三點(diǎn)共線要強(qiáng)調(diào)有一個(gè)公共點(diǎn).

3.對(duì)于向量的線性運(yùn)算，不但要掌握幾何法則，還要掌握坐標(biāo)運(yùn)算法則，使二者有機(jī)結(jié)合.

參考文獻(xiàn)：

[1]江蘇省考試說明.

[2]步步高二輪專題復(fù)習(xí)與增分策略.

[3]創(chuàng)新設(shè)計(jì).

摘 要： 平面向量是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是解決數(shù)學(xué)問題的很好的工具，是聯(lián)系代數(shù)與幾何的橋梁，是江蘇高考的必考內(nèi)容，其中向量的數(shù)量積還是高考的C級(jí)要求，同時(shí)也是學(xué)生比較感興趣且有一定難度的一類問題.那么向量問題有哪些常規(guī)解法呢？本文就此問題作探討.

關(guān)鍵詞： 平面向量 常規(guī)解法 高中數(shù)學(xué)教學(xué)

平面向量是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是解決數(shù)學(xué)問題的很好的工具，是聯(lián)系代數(shù)與幾何的橋梁，是江蘇高考的必考內(nèi)容，其中向量的數(shù)量積還是高考的C級(jí)要求，同時(shí)也是學(xué)生比較感興趣而又有一定難度的一類問題.那么向量問題有哪些常規(guī)解法呢？我結(jié)合教學(xué)體會(huì)小結(jié)如下.

一、合理拆分法

例1：已知O為△ABC的外心，AB=4，AC=2，∠BAC為鈍角，M是邊BC的中點(diǎn)，則■·■的值等于多少？

分析：只要把向量■拆分為■+■，然后根據(jù)外心定義及一個(gè)向量■在■與■上的投影即可解決.答案為5.

例2：在平面上，■■⊥■■，|■■|=|■■|=1，■=■■+■■.若|■|<■，則|■|的取值范圍是？搖 ？搖.

分析：只要把已知向量與所求向量轉(zhuǎn)化成以O(shè)點(diǎn)為起點(diǎn)的向量即可解決問題.

解：∵■■⊥■■，

∴■■·■■=（■■-■）·（■■-■）=■■·■■-■■·■-■·■■+■■=0，

∴■■·■■-■■·■-■·■■=-■■.

∵■=■■+■■.

∴■-■=■■-■+■■-■，

∴■=■■+■■-■.

∵|■■|=|■■|=1，

∴■■=1+1+■■+2（■■·■■-■■·■-■■·■）=2+■■+2（-■■）=2-2■■.

∵|■|<■，∴0≤|■|■<■，∴0≤2-■■<■，

∴■<■■≤2，即|■|∈（■，■].

二、數(shù)形結(jié)合，建立坐標(biāo)系法

例3：

如圖，若a=■，b=■，a與b夾角為120°，|a|=|b|=1，點(diǎn)P是以O(shè)為圓心的圓弧■上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)■=x■+y■（x，y∈R），求x+y的最大值.

分析：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系可以把向量的運(yùn)算轉(zhuǎn)化成坐標(biāo)運(yùn)算.

解：以O(shè)為原點(diǎn)，OD為x軸建立直角坐標(biāo)系，

則D（1，0），E（-■，■）.

設(shè)∠POD=α（0≤α≤■），則P（cosα，sinα）.

由■=x■+y■，得cosα=x-■y，sinα=■y，

所以y=■sinα，x=cosα+■sinα，

所以x+y=cosα+■sinα=2sin（α+■）.

又0≤α≤■，故當(dāng)α=■時(shí)，x+y的最大值為2.

利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解題，主要就是根據(jù)相等向量坐標(biāo)相同這一原則，通過列方程（組）進(jìn)行求解；在將向量用坐標(biāo)表示時(shí)，要看準(zhǔn)向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)坐標(biāo)，也就是要注意向量的方向，不要寫錯(cuò)坐標(biāo).

三、兩邊平方或同時(shí)點(diǎn)乘同一個(gè)向量法

例3的解法二：設(shè)∠POD=α（0≤α≤■），由■·■=x■·■+y■·■，■·■=x■·■+y■·■，

可得cosα=x-■y，cos（■-α）=-■x+y.

于是x+y=2[cosα+cos（■-α]=2sin（α+■）.

又0≤α≤■，故當(dāng)α=■時(shí)，x+y的最大值為2.

例4：（2013·湖南改編）已知a，b是單位向量，a·b=0，若向量c滿足|c-a-b|=1，則|c|的取值范圍是？搖 ？搖.

分析：對(duì)條件|c-a-b|=1兩邊平方，這樣可以很順利地打開解題思路，

解：∵a·b=0，且a，b是單位向量，∴|a|=|b|=1.

又∵|c-a-b|■=c■-2c·（a+b）+2a·b+a■+b■=1，

∴2c·（a+b）=c■+1.

∵|a|=|b|=1且a·b=0，∴|a+b|=■，

∴c■+1=2■|c|cosθ（θ是c與a+b的夾角）.

又-1≤cosθ≤1，∴0

∴c■-2■|c|+1≤0，

∴■-1≤|c|≤■+1.

如正弦定理的證明就是用的兩邊同時(shí)點(diǎn)乘一個(gè)向量的方法，余弦定理的證明就是用的兩邊平方法，兩種證法參見蘇教版必修五課本.

四、基底法（運(yùn)用平面向量基本定理、平行向量定理）

例5：（2012·湖州模擬）如圖，在△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，G為AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)G任作一直線MN分別交AB，AC于M，N兩點(diǎn)，若■=x■，■=y■，試問：■+■是否為定值？請(qǐng)證明你的結(jié)論.

分析：以不共線的兩個(gè)向量■、■為一組基底，把其他向量用這個(gè)基底線性表示.

解：■+■為定值，證明如下：

設(shè)■=a，■=b，則■=xa，■=yb，

■=■■=■（■+■）=■（a+b），

所以■=■-■=■（a+b）-xa=（■-x）a+■b，

■=■-■=yb-xa=-xa+yb.

因?yàn)椤雠c■共線，所以存在實(shí)數(shù)λ，使■=λ■，所以（■-x）a+■b=λ（-xa+yb）=-λxa+λyb，又因?yàn)閍與b不共線，所以■-x=-λx■=λy，

消去λ，得■+■=4為定值.

方法總結(jié)：

1.如果題目中已知兩個(gè)不共線的向量的模與夾角，一般都是以這兩個(gè)不共線的向量為一組基底，其他向量用它線性表示，這樣問題就可得以解決.

2.平行向量定理的條件和結(jié)論是充要條件關(guān)系，既可以證明向量共線，又可以由向量共線求參數(shù).利用兩向量共線證明三點(diǎn)共線要強(qiáng)調(diào)有一個(gè)公共點(diǎn).

3.對(duì)于向量的線性運(yùn)算，不但要掌握幾何法則，還要掌握坐標(biāo)運(yùn)算法則，使二者有機(jī)結(jié)合.

參考文獻(xiàn)：

[1]江蘇省考試說明.

[2]步步高二輪專題復(fù)習(xí)與增分策略.

[3]創(chuàng)新設(shè)計(jì).

摘 要： 平面向量是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是解決數(shù)學(xué)問題的很好的工具，是聯(lián)系代數(shù)與幾何的橋梁，是江蘇高考的必考內(nèi)容，其中向量的數(shù)量積還是高考的C級(jí)要求，同時(shí)也是學(xué)生比較感興趣且有一定難度的一類問題.那么向量問題有哪些常規(guī)解法呢？本文就此問題作探討.

關(guān)鍵詞： 平面向量 常規(guī)解法 高中數(shù)學(xué)教學(xué)

平面向量是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是解決數(shù)學(xué)問題的很好的工具，是聯(lián)系代數(shù)與幾何的橋梁，是江蘇高考的必考內(nèi)容，其中向量的數(shù)量積還是高考的C級(jí)要求，同時(shí)也是學(xué)生比較感興趣而又有一定難度的一類問題.那么向量問題有哪些常規(guī)解法呢？我結(jié)合教學(xué)體會(huì)小結(jié)如下.

一、合理拆分法

例1：已知O為△ABC的外心，AB=4，AC=2，∠BAC為鈍角，M是邊BC的中點(diǎn)，則■·■的值等于多少？

分析：只要把向量■拆分為■+■，然后根據(jù)外心定義及一個(gè)向量■在■與■上的投影即可解決.答案為5.

例2：在平面上，■■⊥■■，|■■|=|■■|=1，■=■■+■■.若|■|<■，則|■|的取值范圍是？搖 ？搖.

分析：只要把已知向量與所求向量轉(zhuǎn)化成以O(shè)點(diǎn)為起點(diǎn)的向量即可解決問題.

解：∵■■⊥■■，

∴■■·■■=（■■-■）·（■■-■）=■■·■■-■■·■-■·■■+■■=0，

∴■■·■■-■■·■-■·■■=-■■.

∵■=■■+■■.

∴■-■=■■-■+■■-■，

∴■=■■+■■-■.

∵|■■|=|■■|=1，

∴■■=1+1+■■+2（■■·■■-■■·■-■■·■）=2+■■+2（-■■）=2-2■■.

∵|■|<■，∴0≤|■|■<■，∴0≤2-■■<■，

∴■<■■≤2，即|■|∈（■，■].

二、數(shù)形結(jié)合，建立坐標(biāo)系法

例3：

如圖，若a=■，b=■，a與b夾角為120°，|a|=|b|=1，點(diǎn)P是以O(shè)為圓心的圓弧■上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)■=x■+y■（x，y∈R），求x+y的最大值.

分析：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系可以把向量的運(yùn)算轉(zhuǎn)化成坐標(biāo)運(yùn)算.

解：以O(shè)為原點(diǎn)，OD為x軸建立直角坐標(biāo)系，

則D（1，0），E（-■，■）.

設(shè)∠POD=α（0≤α≤■），則P（cosα，sinα）.

由■=x■+y■，得cosα=x-■y，sinα=■y，

所以y=■sinα，x=cosα+■sinα，

所以x+y=cosα+■sinα=2sin（α+■）.

又0≤α≤■，故當(dāng)α=■時(shí)，x+y的最大值為2.

利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解題，主要就是根據(jù)相等向量坐標(biāo)相同這一原則，通過列方程（組）進(jìn)行求解；在將向量用坐標(biāo)表示時(shí)，要看準(zhǔn)向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)坐標(biāo)，也就是要注意向量的方向，不要寫錯(cuò)坐標(biāo).

三、兩邊平方或同時(shí)點(diǎn)乘同一個(gè)向量法

例3的解法二：設(shè)∠POD=α（0≤α≤■），由■·■=x■·■+y■·■，■·■=x■·■+y■·■，

可得cosα=x-■y，cos（■-α）=-■x+y.

于是x+y=2[cosα+cos（■-α]=2sin（α+■）.

又0≤α≤■，故當(dāng)α=■時(shí)，x+y的最大值為2.

例4：（2013·湖南改編）已知a，b是單位向量，a·b=0，若向量c滿足|c-a-b|=1，則|c|的取值范圍是？搖 ？搖.

分析：對(duì)條件|c-a-b|=1兩邊平方，這樣可以很順利地打開解題思路，

解：∵a·b=0，且a，b是單位向量，∴|a|=|b|=1.

又∵|c-a-b|■=c■-2c·（a+b）+2a·b+a■+b■=1，

∴2c·（a+b）=c■+1.

∵|a|=|b|=1且a·b=0，∴|a+b|=■，

∴c■+1=2■|c|cosθ（θ是c與a+b的夾角）.

又-1≤cosθ≤1，∴0

∴c■-2■|c|+1≤0，

∴■-1≤|c|≤■+1.

如正弦定理的證明就是用的兩邊同時(shí)點(diǎn)乘一個(gè)向量的方法，余弦定理的證明就是用的兩邊平方法，兩種證法參見蘇教版必修五課本.

四、基底法（運(yùn)用平面向量基本定理、平行向量定理）

例5：（2012·湖州模擬）如圖，在△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，G為AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)G任作一直線MN分別交AB，AC于M，N兩點(diǎn)，若■=x■，■=y■，試問：■+■是否為定值？請(qǐng)證明你的結(jié)論.

分析：以不共線的兩個(gè)向量■、■為一組基底，把其他向量用這個(gè)基底線性表示.

解：■+■為定值，證明如下：

設(shè)■=a，■=b，則■=xa，■=yb，

■=■■=■（■+■）=■（a+b），

所以■=■-■=■（a+b）-xa=（■-x）a+■b，

■=■-■=yb-xa=-xa+yb.

因?yàn)椤雠c■共線，所以存在實(shí)數(shù)λ，使■=λ■，所以（■-x）a+■b=λ（-xa+yb）=-λxa+λyb，又因?yàn)閍與b不共線，所以■-x=-λx■=λy，

消去λ，得■+■=4為定值.

方法總結(jié)：

1.如果題目中已知兩個(gè)不共線的向量的模與夾角，一般都是以這兩個(gè)不共線的向量為一組基底，其他向量用它線性表示，這樣問題就可得以解決.

2.平行向量定理的條件和結(jié)論是充要條件關(guān)系，既可以證明向量共線，又可以由向量共線求參數(shù).利用兩向量共線證明三點(diǎn)共線要強(qiáng)調(diào)有一個(gè)公共點(diǎn).

3.對(duì)于向量的線性運(yùn)算，不但要掌握幾何法則，還要掌握坐標(biāo)運(yùn)算法則，使二者有機(jī)結(jié)合.

參考文獻(xiàn)：

[1]江蘇省考試說明.

[2]步步高二輪專題復(fù)習(xí)與增分策略.

[3]創(chuàng)新設(shè)計(jì).