《高等數(shù)學(xué)》授課中培養(yǎng)學(xué)生的科研能力①

耿鳳杰++廉海榮++褚寶增

摘 要：就講透基本概念、引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)學(xué)科的不足及類比教學(xué)說明了如何在高等數(shù)學(xué)授課中培養(yǎng)學(xué)生的科研能力。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué) 教學(xué)法 創(chuàng)新

中圖分類號(hào)：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-9795（2014）02（b）-0034-01

科研能力和科研成果標(biāo)志著一個(gè)國家的科技水平，培養(yǎng)具有創(chuàng)新意識(shí)和科研能力的人才是高等院校所面臨和必須解決的實(shí)際問題，然而科研能力的培養(yǎng)并非要從研究生階段才開始著重培養(yǎng)，在本科階段的教學(xué)中給學(xué)生盡早接觸科研的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生從本科階段開始培養(yǎng)一種標(biāo)新立異提問題的習(xí)慣至關(guān)重要。而對(duì)本科生科研能力的培養(yǎng)最主要的途徑就是在對(duì)其傳授知識(shí)的過程中完成的。高等數(shù)學(xué)作為高等院校各院系一門重要的公共基礎(chǔ)課之一對(duì)學(xué)生在四年大學(xué)生活中扮演著重要的角色，高等數(shù)學(xué)中微積分的創(chuàng)立、一元微積分到多元微積分的發(fā)展以及各個(gè)重要概念的產(chǎn)生無不透露出數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的思路，如果能夠從中進(jìn)行引導(dǎo)，找到適合的切入點(diǎn)，逐步在學(xué)習(xí)過程中讓學(xué)生積累素材并培養(yǎng)一種問“好”問題的習(xí)慣，本科學(xué)生一樣可以接觸科研。

培養(yǎng)學(xué)生的科研能力，最重要的是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)覺問題的能力，而這首先要求學(xué)生改變以往的學(xué)習(xí)模式，即由被動(dòng)的接受到主動(dòng)的思考創(chuàng)造的學(xué)習(xí)模式的轉(zhuǎn)變，這種學(xué)習(xí)模式的轉(zhuǎn)變進(jìn)而要求教師授課模式的轉(zhuǎn)變。本文就講透基本概念，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)學(xué)科的不足及類比教學(xué)等幾方面來談?wù)勅绾我龑?dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)模式，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的科研能力。

1 講透基本概念

數(shù)學(xué)中最重要的就是基本概念，基本概念把握不透到頭來學(xué)生可能只會(huì)做部分簡單的習(xí)題。事實(shí)上，高等數(shù)學(xué)授課的主要目的并非讓學(xué)生學(xué)會(huì)如何計(jì)算導(dǎo)數(shù)和微分，更多的是該讓學(xué)生把握數(shù)學(xué)思想，深刻理解數(shù)學(xué)概念。深刻理解概念即要把握概念的本質(zhì)。以極限概念為例，怎么理解數(shù)列，如果只是按照書上的定義把語言寫出來還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，應(yīng)該告訴學(xué)生極限最本質(zhì)的東西就是用距離去刻畫，即數(shù)列和某個(gè)定點(diǎn)的距離當(dāng)時(shí)無限接近。知道了這一點(diǎn)，平面上一個(gè)點(diǎn)列的概念自然就有了，同樣我們用點(diǎn)列和點(diǎn)的距離當(dāng)時(shí)無限接近去刻畫。只是需要注意的一點(diǎn)的是，平面上兩點(diǎn)間的距離不能再用絕對(duì)值了，而是用

進(jìn)而到維空間中乃至無窮維空間中如何定義點(diǎn)列收斂我們都可以知道，關(guān)鍵是距離起著重要作用。再以函數(shù)可微概念為例，很多學(xué)生只知道，至于為什么求微分，以及什么是可微函數(shù)不知道。這些就需要老師在講授這個(gè)基本概念的時(shí)候介紹清楚，讓學(xué)生搞透這個(gè)概念。事實(shí)上，一個(gè)函數(shù)是不是可微就是看這個(gè)函數(shù)的增量與其自變量的增量是否可成一個(gè)線性比例關(guān)系，即是否成立，知道了這一點(diǎn)，可以立即讓學(xué)生去思考如果是一個(gè)二元函數(shù)是否可微該如何定義？按照上面的說法，二元函數(shù)的增量和其自變量的增量是否成線性比例關(guān)系，二元函數(shù)的變量是兩個(gè)，即看是否成立？同樣多元函數(shù)的可微性乃至一個(gè)泛函的可微性理解起來都很簡單了。搞透數(shù)學(xué)中的基本概念這是讓學(xué)生能夠不斷思考并發(fā)現(xiàn)問題的前提。

2 引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)學(xué)科的不足

無論哪門學(xué)科之所以產(chǎn)生、發(fā)展，往往源于人們對(duì)已有相關(guān)學(xué)科的不滿以及該學(xué)科創(chuàng)立時(shí)的不完善。作為教師，應(yīng)當(dāng)更多地呈現(xiàn)給學(xué)生所講學(xué)科的不足及存在的問題，這樣學(xué)生才有思考的余地，把學(xué)科的不足及問題隱藏起來而只把學(xué)科完美的漂亮的結(jié)果展現(xiàn)給學(xué)生，那么他們就只會(huì)做練習(xí)而永遠(yuǎn)也不會(huì)去創(chuàng)作東西。要知道，正是當(dāng)年微積分的不完善才有了極限的產(chǎn)生。數(shù)學(xué)就是在不斷地發(fā)現(xiàn)學(xué)科的不足并改進(jìn)的過程中逐步完善起來的。眾所周知，數(shù)學(xué)史上曾發(fā)生過三次數(shù)學(xué)危機(jī)，可每一次危機(jī)都沒有推翻前人的理論而只是在數(shù)學(xué)這座漂亮的高樓大廈上添磚加瓦而已，危機(jī)使數(shù)學(xué)更加完善了，危機(jī)的產(chǎn)生正是由于學(xué)科本身的問題和不足導(dǎo)致的。

當(dāng)講完定積分時(shí)不能讓學(xué)生認(rèn)為定積分是完美無暇的，應(yīng)該讓學(xué)生尋找這個(gè)概念的不足之處，比如狄利克雷函數(shù)，這樣簡單的函數(shù)為何不可積？可能有人認(rèn)為這是實(shí)變函數(shù)的內(nèi)容超出了高等數(shù)學(xué)的范圍，事實(shí)上不是這樣的。通過讓學(xué)生尋找定積分的不足可以鍛煉學(xué)生的一種思維方式，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。人人都認(rèn)為所創(chuàng)造出來的學(xué)科是神圣不可侵犯的話就不會(huì)有所發(fā)展了，這給了學(xué)生一種提出質(zhì)疑的態(tài)度，培養(yǎng)了學(xué)生問問題的一種習(xí)慣，久而久之，學(xué)生的科研能力也能加強(qiáng)。另一方面，我們可以告訴學(xué)生黎曼積分不是那么完美的，因?yàn)檫€有一種更廣泛的積分就是勒貝格積分，告訴學(xué)生在微積分之后還有一門后續(xù)課程是實(shí)變函數(shù)，感興趣的同學(xué)會(huì)自己去查閱。同時(shí)我們可以用形象地?cái)?shù)錢地方式告訴學(xué)生什么是黎曼積分，什么是勒貝格積分。有一搭錢，我想知道數(shù)目是多少，從頭開始累加而不管其面值是多少可以得出最后的數(shù)目這就是黎曼積分，如果會(huì)打理一些，把面值相同的錢先放在一起，5元，10元，100元，再數(shù)各面值的有多少張，最后算和這就是勒貝格積分。這樣不僅提高了學(xué)生的興趣，加深了他們對(duì)概念的理解，也開闊了學(xué)生的思維。

3 類比教學(xué)

數(shù)學(xué)中有很多基本概念都是相近的，作好相似、相近或相關(guān)概念的歸納比較，展示概念之間的內(nèi)在聯(lián)系和本質(zhì)區(qū)別，讓學(xué)生在比較中學(xué)習(xí)，從比較中加深理解，從整體上把握所學(xué)到的諸多概念，這樣既可以學(xué)習(xí)新知識(shí)又可鞏固舊知識(shí)。以無窮積分與無窮級(jí)數(shù)為例，從定義來講，無窮級(jí)數(shù)與無窮積分的基本概念之間存在離散與連續(xù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系：

，

（前提是極限都存在）。這樣很容易得出p級(jí)數(shù)與有相同的斂散性（這是教材的一個(gè)定理），這樣學(xué)生能自己去給出這個(gè)定理，不僅很快掌握了，而且有著自己發(fā)現(xiàn)定理的成就感。

4 結(jié)語

高等數(shù)學(xué)的教學(xué)要使學(xué)生不僅知道許多重要的數(shù)學(xué)概念、方法，而且領(lǐng)會(huì)到數(shù)學(xué)的精神實(shí)質(zhì)和思想，從而在自己所學(xué)的領(lǐng)域中不斷發(fā)現(xiàn)問題并運(yùn)用其相同或相近的思想解決問題。只有轉(zhuǎn)變了學(xué)生從被動(dòng)接受到主動(dòng)思考創(chuàng)造的學(xué)習(xí)模式，才能培養(yǎng)其科研能力。

參考文獻(xiàn)

[1] 克萊因.古今數(shù)學(xué)思想[M].朱學(xué)賢，譯.上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，2002.

[2] 楊明俊，郭麗娜.關(guān)于高等數(shù)學(xué)教學(xué)的建議[J].教育理論與實(shí)踐，2012，31（9）：48-49.endprint

摘 要：就講透基本概念、引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)學(xué)科的不足及類比教學(xué)說明了如何在高等數(shù)學(xué)授課中培養(yǎng)學(xué)生的科研能力。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué) 教學(xué)法 創(chuàng)新

中圖分類號(hào)：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-9795（2014）02（b）-0034-01

科研能力和科研成果標(biāo)志著一個(gè)國家的科技水平，培養(yǎng)具有創(chuàng)新意識(shí)和科研能力的人才是高等院校所面臨和必須解決的實(shí)際問題，然而科研能力的培養(yǎng)并非要從研究生階段才開始著重培養(yǎng)，在本科階段的教學(xué)中給學(xué)生盡早接觸科研的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生從本科階段開始培養(yǎng)一種標(biāo)新立異提問題的習(xí)慣至關(guān)重要。而對(duì)本科生科研能力的培養(yǎng)最主要的途徑就是在對(duì)其傳授知識(shí)的過程中完成的。高等數(shù)學(xué)作為高等院校各院系一門重要的公共基礎(chǔ)課之一對(duì)學(xué)生在四年大學(xué)生活中扮演著重要的角色，高等數(shù)學(xué)中微積分的創(chuàng)立、一元微積分到多元微積分的發(fā)展以及各個(gè)重要概念的產(chǎn)生無不透露出數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的思路，如果能夠從中進(jìn)行引導(dǎo)，找到適合的切入點(diǎn)，逐步在學(xué)習(xí)過程中讓學(xué)生積累素材并培養(yǎng)一種問“好”問題的習(xí)慣，本科學(xué)生一樣可以接觸科研。

培養(yǎng)學(xué)生的科研能力，最重要的是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)覺問題的能力，而這首先要求學(xué)生改變以往的學(xué)習(xí)模式，即由被動(dòng)的接受到主動(dòng)的思考創(chuàng)造的學(xué)習(xí)模式的轉(zhuǎn)變，這種學(xué)習(xí)模式的轉(zhuǎn)變進(jìn)而要求教師授課模式的轉(zhuǎn)變。本文就講透基本概念，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)學(xué)科的不足及類比教學(xué)等幾方面來談?wù)勅绾我龑?dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)模式，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的科研能力。

1 講透基本概念

數(shù)學(xué)中最重要的就是基本概念，基本概念把握不透到頭來學(xué)生可能只會(huì)做部分簡單的習(xí)題。事實(shí)上，高等數(shù)學(xué)授課的主要目的并非讓學(xué)生學(xué)會(huì)如何計(jì)算導(dǎo)數(shù)和微分，更多的是該讓學(xué)生把握數(shù)學(xué)思想，深刻理解數(shù)學(xué)概念。深刻理解概念即要把握概念的本質(zhì)。以極限概念為例，怎么理解數(shù)列，如果只是按照書上的定義把語言寫出來還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，應(yīng)該告訴學(xué)生極限最本質(zhì)的東西就是用距離去刻畫，即數(shù)列和某個(gè)定點(diǎn)的距離當(dāng)時(shí)無限接近。知道了這一點(diǎn)，平面上一個(gè)點(diǎn)列的概念自然就有了，同樣我們用點(diǎn)列和點(diǎn)的距離當(dāng)時(shí)無限接近去刻畫。只是需要注意的一點(diǎn)的是，平面上兩點(diǎn)間的距離不能再用絕對(duì)值了，而是用

進(jìn)而到維空間中乃至無窮維空間中如何定義點(diǎn)列收斂我們都可以知道，關(guān)鍵是距離起著重要作用。再以函數(shù)可微概念為例，很多學(xué)生只知道，至于為什么求微分，以及什么是可微函數(shù)不知道。這些就需要老師在講授這個(gè)基本概念的時(shí)候介紹清楚，讓學(xué)生搞透這個(gè)概念。事實(shí)上，一個(gè)函數(shù)是不是可微就是看這個(gè)函數(shù)的增量與其自變量的增量是否可成一個(gè)線性比例關(guān)系，即是否成立，知道了這一點(diǎn)，可以立即讓學(xué)生去思考如果是一個(gè)二元函數(shù)是否可微該如何定義？按照上面的說法，二元函數(shù)的增量和其自變量的增量是否成線性比例關(guān)系，二元函數(shù)的變量是兩個(gè)，即看是否成立？同樣多元函數(shù)的可微性乃至一個(gè)泛函的可微性理解起來都很簡單了。搞透數(shù)學(xué)中的基本概念這是讓學(xué)生能夠不斷思考并發(fā)現(xiàn)問題的前提。

2 引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)學(xué)科的不足

無論哪門學(xué)科之所以產(chǎn)生、發(fā)展，往往源于人們對(duì)已有相關(guān)學(xué)科的不滿以及該學(xué)科創(chuàng)立時(shí)的不完善。作為教師，應(yīng)當(dāng)更多地呈現(xiàn)給學(xué)生所講學(xué)科的不足及存在的問題，這樣學(xué)生才有思考的余地，把學(xué)科的不足及問題隱藏起來而只把學(xué)科完美的漂亮的結(jié)果展現(xiàn)給學(xué)生，那么他們就只會(huì)做練習(xí)而永遠(yuǎn)也不會(huì)去創(chuàng)作東西。要知道，正是當(dāng)年微積分的不完善才有了極限的產(chǎn)生。數(shù)學(xué)就是在不斷地發(fā)現(xiàn)學(xué)科的不足并改進(jìn)的過程中逐步完善起來的。眾所周知，數(shù)學(xué)史上曾發(fā)生過三次數(shù)學(xué)危機(jī)，可每一次危機(jī)都沒有推翻前人的理論而只是在數(shù)學(xué)這座漂亮的高樓大廈上添磚加瓦而已，危機(jī)使數(shù)學(xué)更加完善了，危機(jī)的產(chǎn)生正是由于學(xué)科本身的問題和不足導(dǎo)致的。

當(dāng)講完定積分時(shí)不能讓學(xué)生認(rèn)為定積分是完美無暇的，應(yīng)該讓學(xué)生尋找這個(gè)概念的不足之處，比如狄利克雷函數(shù)，這樣簡單的函數(shù)為何不可積？可能有人認(rèn)為這是實(shí)變函數(shù)的內(nèi)容超出了高等數(shù)學(xué)的范圍，事實(shí)上不是這樣的。通過讓學(xué)生尋找定積分的不足可以鍛煉學(xué)生的一種思維方式，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。人人都認(rèn)為所創(chuàng)造出來的學(xué)科是神圣不可侵犯的話就不會(huì)有所發(fā)展了，這給了學(xué)生一種提出質(zhì)疑的態(tài)度，培養(yǎng)了學(xué)生問問題的一種習(xí)慣，久而久之，學(xué)生的科研能力也能加強(qiáng)。另一方面，我們可以告訴學(xué)生黎曼積分不是那么完美的，因?yàn)檫€有一種更廣泛的積分就是勒貝格積分，告訴學(xué)生在微積分之后還有一門后續(xù)課程是實(shí)變函數(shù)，感興趣的同學(xué)會(huì)自己去查閱。同時(shí)我們可以用形象地?cái)?shù)錢地方式告訴學(xué)生什么是黎曼積分，什么是勒貝格積分。有一搭錢，我想知道數(shù)目是多少，從頭開始累加而不管其面值是多少可以得出最后的數(shù)目這就是黎曼積分，如果會(huì)打理一些，把面值相同的錢先放在一起，5元，10元，100元，再數(shù)各面值的有多少張，最后算和這就是勒貝格積分。這樣不僅提高了學(xué)生的興趣，加深了他們對(duì)概念的理解，也開闊了學(xué)生的思維。

3 類比教學(xué)

數(shù)學(xué)中有很多基本概念都是相近的，作好相似、相近或相關(guān)概念的歸納比較，展示概念之間的內(nèi)在聯(lián)系和本質(zhì)區(qū)別，讓學(xué)生在比較中學(xué)習(xí)，從比較中加深理解，從整體上把握所學(xué)到的諸多概念，這樣既可以學(xué)習(xí)新知識(shí)又可鞏固舊知識(shí)。以無窮積分與無窮級(jí)數(shù)為例，從定義來講，無窮級(jí)數(shù)與無窮積分的基本概念之間存在離散與連續(xù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系：

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（前提是極限都存在）。這樣很容易得出p級(jí)數(shù)與有相同的斂散性（這是教材的一個(gè)定理），這樣學(xué)生能自己去給出這個(gè)定理，不僅很快掌握了，而且有著自己發(fā)現(xiàn)定理的成就感。

4 結(jié)語

高等數(shù)學(xué)的教學(xué)要使學(xué)生不僅知道許多重要的數(shù)學(xué)概念、方法，而且領(lǐng)會(huì)到數(shù)學(xué)的精神實(shí)質(zhì)和思想，從而在自己所學(xué)的領(lǐng)域中不斷發(fā)現(xiàn)問題并運(yùn)用其相同或相近的思想解決問題。只有轉(zhuǎn)變了學(xué)生從被動(dòng)接受到主動(dòng)思考創(chuàng)造的學(xué)習(xí)模式，才能培養(yǎng)其科研能力。

參考文獻(xiàn)

[1] 克萊因.古今數(shù)學(xué)思想[M].朱學(xué)賢，譯.上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，2002.

[2] 楊明俊，郭麗娜.關(guān)于高等數(shù)學(xué)教學(xué)的建議[J].教育理論與實(shí)踐，2012，31（9）：48-49.endprint

摘 要：就講透基本概念、引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)學(xué)科的不足及類比教學(xué)說明了如何在高等數(shù)學(xué)授課中培養(yǎng)學(xué)生的科研能力。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué) 教學(xué)法 創(chuàng)新

中圖分類號(hào)：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-9795（2014）02（b）-0034-01

科研能力和科研成果標(biāo)志著一個(gè)國家的科技水平，培養(yǎng)具有創(chuàng)新意識(shí)和科研能力的人才是高等院校所面臨和必須解決的實(shí)際問題，然而科研能力的培養(yǎng)并非要從研究生階段才開始著重培養(yǎng)，在本科階段的教學(xué)中給學(xué)生盡早接觸科研的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生從本科階段開始培養(yǎng)一種標(biāo)新立異提問題的習(xí)慣至關(guān)重要。而對(duì)本科生科研能力的培養(yǎng)最主要的途徑就是在對(duì)其傳授知識(shí)的過程中完成的。高等數(shù)學(xué)作為高等院校各院系一門重要的公共基礎(chǔ)課之一對(duì)學(xué)生在四年大學(xué)生活中扮演著重要的角色，高等數(shù)學(xué)中微積分的創(chuàng)立、一元微積分到多元微積分的發(fā)展以及各個(gè)重要概念的產(chǎn)生無不透露出數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的思路，如果能夠從中進(jìn)行引導(dǎo)，找到適合的切入點(diǎn)，逐步在學(xué)習(xí)過程中讓學(xué)生積累素材并培養(yǎng)一種問“好”問題的習(xí)慣，本科學(xué)生一樣可以接觸科研。

培養(yǎng)學(xué)生的科研能力，最重要的是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)覺問題的能力，而這首先要求學(xué)生改變以往的學(xué)習(xí)模式，即由被動(dòng)的接受到主動(dòng)的思考創(chuàng)造的學(xué)習(xí)模式的轉(zhuǎn)變，這種學(xué)習(xí)模式的轉(zhuǎn)變進(jìn)而要求教師授課模式的轉(zhuǎn)變。本文就講透基本概念，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)學(xué)科的不足及類比教學(xué)等幾方面來談?wù)勅绾我龑?dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)模式，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的科研能力。

1 講透基本概念

數(shù)學(xué)中最重要的就是基本概念，基本概念把握不透到頭來學(xué)生可能只會(huì)做部分簡單的習(xí)題。事實(shí)上，高等數(shù)學(xué)授課的主要目的并非讓學(xué)生學(xué)會(huì)如何計(jì)算導(dǎo)數(shù)和微分，更多的是該讓學(xué)生把握數(shù)學(xué)思想，深刻理解數(shù)學(xué)概念。深刻理解概念即要把握概念的本質(zhì)。以極限概念為例，怎么理解數(shù)列，如果只是按照書上的定義把語言寫出來還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，應(yīng)該告訴學(xué)生極限最本質(zhì)的東西就是用距離去刻畫，即數(shù)列和某個(gè)定點(diǎn)的距離當(dāng)時(shí)無限接近。知道了這一點(diǎn)，平面上一個(gè)點(diǎn)列的概念自然就有了，同樣我們用點(diǎn)列和點(diǎn)的距離當(dāng)時(shí)無限接近去刻畫。只是需要注意的一點(diǎn)的是，平面上兩點(diǎn)間的距離不能再用絕對(duì)值了，而是用

進(jìn)而到維空間中乃至無窮維空間中如何定義點(diǎn)列收斂我們都可以知道，關(guān)鍵是距離起著重要作用。再以函數(shù)可微概念為例，很多學(xué)生只知道，至于為什么求微分，以及什么是可微函數(shù)不知道。這些就需要老師在講授這個(gè)基本概念的時(shí)候介紹清楚，讓學(xué)生搞透這個(gè)概念。事實(shí)上，一個(gè)函數(shù)是不是可微就是看這個(gè)函數(shù)的增量與其自變量的增量是否可成一個(gè)線性比例關(guān)系，即是否成立，知道了這一點(diǎn)，可以立即讓學(xué)生去思考如果是一個(gè)二元函數(shù)是否可微該如何定義？按照上面的說法，二元函數(shù)的增量和其自變量的增量是否成線性比例關(guān)系，二元函數(shù)的變量是兩個(gè)，即看是否成立？同樣多元函數(shù)的可微性乃至一個(gè)泛函的可微性理解起來都很簡單了。搞透數(shù)學(xué)中的基本概念這是讓學(xué)生能夠不斷思考并發(fā)現(xiàn)問題的前提。

2 引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)學(xué)科的不足

無論哪門學(xué)科之所以產(chǎn)生、發(fā)展，往往源于人們對(duì)已有相關(guān)學(xué)科的不滿以及該學(xué)科創(chuàng)立時(shí)的不完善。作為教師，應(yīng)當(dāng)更多地呈現(xiàn)給學(xué)生所講學(xué)科的不足及存在的問題，這樣學(xué)生才有思考的余地，把學(xué)科的不足及問題隱藏起來而只把學(xué)科完美的漂亮的結(jié)果展現(xiàn)給學(xué)生，那么他們就只會(huì)做練習(xí)而永遠(yuǎn)也不會(huì)去創(chuàng)作東西。要知道，正是當(dāng)年微積分的不完善才有了極限的產(chǎn)生。數(shù)學(xué)就是在不斷地發(fā)現(xiàn)學(xué)科的不足并改進(jìn)的過程中逐步完善起來的。眾所周知，數(shù)學(xué)史上曾發(fā)生過三次數(shù)學(xué)危機(jī)，可每一次危機(jī)都沒有推翻前人的理論而只是在數(shù)學(xué)這座漂亮的高樓大廈上添磚加瓦而已，危機(jī)使數(shù)學(xué)更加完善了，危機(jī)的產(chǎn)生正是由于學(xué)科本身的問題和不足導(dǎo)致的。

當(dāng)講完定積分時(shí)不能讓學(xué)生認(rèn)為定積分是完美無暇的，應(yīng)該讓學(xué)生尋找這個(gè)概念的不足之處，比如狄利克雷函數(shù)，這樣簡單的函數(shù)為何不可積？可能有人認(rèn)為這是實(shí)變函數(shù)的內(nèi)容超出了高等數(shù)學(xué)的范圍，事實(shí)上不是這樣的。通過讓學(xué)生尋找定積分的不足可以鍛煉學(xué)生的一種思維方式，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。人人都認(rèn)為所創(chuàng)造出來的學(xué)科是神圣不可侵犯的話就不會(huì)有所發(fā)展了，這給了學(xué)生一種提出質(zhì)疑的態(tài)度，培養(yǎng)了學(xué)生問問題的一種習(xí)慣，久而久之，學(xué)生的科研能力也能加強(qiáng)。另一方面，我們可以告訴學(xué)生黎曼積分不是那么完美的，因?yàn)檫€有一種更廣泛的積分就是勒貝格積分，告訴學(xué)生在微積分之后還有一門后續(xù)課程是實(shí)變函數(shù)，感興趣的同學(xué)會(huì)自己去查閱。同時(shí)我們可以用形象地?cái)?shù)錢地方式告訴學(xué)生什么是黎曼積分，什么是勒貝格積分。有一搭錢，我想知道數(shù)目是多少，從頭開始累加而不管其面值是多少可以得出最后的數(shù)目這就是黎曼積分，如果會(huì)打理一些，把面值相同的錢先放在一起，5元，10元，100元，再數(shù)各面值的有多少張，最后算和這就是勒貝格積分。這樣不僅提高了學(xué)生的興趣，加深了他們對(duì)概念的理解，也開闊了學(xué)生的思維。

3 類比教學(xué)

數(shù)學(xué)中有很多基本概念都是相近的，作好相似、相近或相關(guān)概念的歸納比較，展示概念之間的內(nèi)在聯(lián)系和本質(zhì)區(qū)別，讓學(xué)生在比較中學(xué)習(xí)，從比較中加深理解，從整體上把握所學(xué)到的諸多概念，這樣既可以學(xué)習(xí)新知識(shí)又可鞏固舊知識(shí)。以無窮積分與無窮級(jí)數(shù)為例，從定義來講，無窮級(jí)數(shù)與無窮積分的基本概念之間存在離散與連續(xù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系：

，

（前提是極限都存在）。這樣很容易得出p級(jí)數(shù)與有相同的斂散性（這是教材的一個(gè)定理），這樣學(xué)生能自己去給出這個(gè)定理，不僅很快掌握了，而且有著自己發(fā)現(xiàn)定理的成就感。

4 結(jié)語

高等數(shù)學(xué)的教學(xué)要使學(xué)生不僅知道許多重要的數(shù)學(xué)概念、方法，而且領(lǐng)會(huì)到數(shù)學(xué)的精神實(shí)質(zhì)和思想，從而在自己所學(xué)的領(lǐng)域中不斷發(fā)現(xiàn)問題并運(yùn)用其相同或相近的思想解決問題。只有轉(zhuǎn)變了學(xué)生從被動(dòng)接受到主動(dòng)思考創(chuàng)造的學(xué)習(xí)模式，才能培養(yǎng)其科研能力。

參考文獻(xiàn)

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